arctanx的导数

常见导数公式：

①C'=0(C为常数函数)；

②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q*)；

③(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(tanx)'=1/(cosx)^2=(cx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(cx)'=tanx·cx

(cscx)'=-cotx·cscx

④(sinhx)'=hcoshx

(coshx)'=-hsinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(chx)^2

(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

(chx)'=-tanhx·chx

(cschx)'=-cothx·cschx

⑤(e^x)'=e^x；

(a^x)'=a^xlna（ln为自然对数）

(Inx)'=1/x（ln为自然对数）

(logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)

另外就是复合函数的求导：

①(u±v)'=u'±v'

②(uv)'=u'v+uv'

③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

后面这些高中用不到，但是多掌握点遇到时就可以直接写出来，不用再换算成

常见函数来求解，

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arccx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

(artanhx)'=1/(x^2-1)(|x|<1)

(arcothx)'=1/(x^2-1)(|x|>1)

(archx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

1、x→0，sin(x)／x→1

2、x→0，（1+x）^（1／x）→e

x→∞，（1+1／x）^（1/x）→1

（其中e≈2.7182818...是一个无理数）

函数极限的运算法则

设limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=A,limg(x)=B，则有以下

运算法则，

线性运算

加减：

lim(f(x)±g(x))=A±B

数乘：

lim(c*f(x)）=c*A（其中c是一个常数）

非线性运算

乘除：

lim(f(x)*g(x))=A*B

lim(f(x)/g(x))=A/B(其中B≠0)

幂：

lim(f(x))^n=A^n

导数公式及证明

这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）:

1.y=c(c为常数)y'=0

2幂函数.y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*)熟记1/X的导数

3.(1)y=a^x,y'=a^xlna；(2)熟记y=e^xy'=e^x唯一一个导函数为本

身的函数

4.(1)y=logaX,y'=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)；熟记y=lnx,y'=1/x

5.y=(sinxy)'=cosx

6.y=（cosxy）'=-sinx

7.y=(tanxy)'=1/(cosx)^2

8.y=（cotxy）'=-1/(sinx)^2

9.y=（arcsinxy）'=1/√1-x^2

10.y=（arccosy）'=-1/√1-x^2

11.y=（arctanxy）'=1/(1+x^2)

12.y=（arccotxy）'=-1/(1+x^2)

在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而

g'(x)中把x看作变量』

2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

3.原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)

的反函数是x=g(y），则有y'=1/x'

证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行

于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：

y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到

n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公

式。在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导

给予证明。

3.y=a^x,

Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β＝

a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。

所以(a^Δx-1)/Δx＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以

limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到

limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。

可以知道，当a=e时有y=e^xy'=e^x。

4.y=logax

Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以

limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)＝logae,所以有

limΔx→0Δy/Δx＝logae/x。

也可以进一步用换底公式

limΔx→0Δy/Δx＝logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

可以知道，当a=e时有y=lnxy'=1/x。

这时可以进行y=x^ny'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以

y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

5.y=sinx

Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)

Δy/Δx=2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx=cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/(Δx/2)

所以

limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0cos(x+Δx/2)·limΔx→0sin(Δx/2)/(Δx/2)=c

osx

6.类似地，可以导出y=cosxy'=-sinx。

7.y=tanx=sinx/cosx

y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

8.y=cotx=cosx/sinx

y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

9.y=arcsinx

x=siny

x'=cosy

y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

10.y=arccosx

x=cosy

x'=-siny

y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

11.y=arctanx

x=tany

x'=1/cos^2y

y'=1/x'=cos^2y=1/c^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

12.y=arccotx

x=coty

x'=-1/sin^2y

y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和

其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

4.y=u土v,y'=u'土v'

5.y=uv,y=u'v+uv'

均能较快捷地求得结果。

对于y=x^ny'=nx^(n-1)，y=a^xy'=a^xlna有更直接的求导方法。

y=x^n

由指数函数定义可知，y>0

等式两边取自然对数

lny=n*lnx

等式两边对x求导，注意y是y对x的复合函数

y'*(1/y)=n*(1/x)

y'=n*y/x=n*x^n/x=n*x^(n-1)

幂函数同理可证

导数说白了它其实就是曲线一点斜率，函数值的变化率

上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所

以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比

值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在.

x/x,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限

为1.

建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,

但永远到不了那个岸.

并且要认识到导数是一个比值.

三角函数公式:

现列出公式如下:

sin2α=2sinαcosα

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)

cos3α=4cos^3(α)-3cosα

tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)

半角公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

万能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

积化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

其他

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(

n-1)/n]=0

cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(

n-1)/n]=0以及

sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

①C'=0(C为常数函数)；

②(x^n)'=nx^(n-1)(n∈Q*)；熟记1/X的导数

③(sinx)'=cosx；

(cosx)'=-sinx；

(tanx)'=1/(cosx)^2=(cx)^2=1+(tanx)^2

-(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2

(cx)'=tanx·cx

(cscx)'=-cotx·cscx

(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2

(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(arccx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2)

(arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)

④(sinhx)'=hcoshx

(coshx)'=-hsinhx

(tanhx)'=1/(coshx)^2=(chx)^2

(coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2

(chx)'=-tanhx·chx

(cschx)'=-cothx·cschx

(arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2

(arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2

(artanhx)'=1/(x^2-1)(|x|<1)

(arcothx)'=1/(x^2-1)(|x|>1)

(archx)'=1/(x(1-x^2)^1/2)

(arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2)

⑤(e^x)'=e^x；

(a^x)'=a^xlna（ln为自然对数）

(Inx)'=1/x（ln为自然对数）

(logax)'=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)

(1/x)'=-x^(-2)