多元线性回归模型公式
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二、多元线性回归模型
在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相
互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的
意义。
（一）多元线性回归模型的建立
假设某一因变量y受k个自变量
k
xxx,...,,
21
的影响，其n组观测值为
（
kaaaa
xxxy,...,,,
21
），na,...,2,1。那么，多元线性回归模型的结构形式
为：
akakaaa
xxxy...
22110
（3.2.11）
式中：
k
,...,
1,0
为待定参数；
a
为随机变量。
如果
k
bbb,...,,
10
分别为
k
...,,,
210
的拟合值，则回归方程为
ŷ=
kk
xbxbxbb...
22110
（3.2.12）
式中：
0
b为常数；
k
bbb,...,,
21
称为偏回归系数。
偏回归系数
i
b（ki,...,2,1）的意义是，当其他自变量
j
x（ij）都固
定时，自变量
i
x每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。
根据最小二乘法原理，
i
（ki,...,2,1,0）的估计值
i
b（ki,...,2,1,0）应
该使
min...
2
1
22110
1
2
n
a
kakaaa
n
a
aa
xbxbxbbyyyQ（3.2.13）
多元线性回归模型公式
2/4
有求极值的必要条件得
n
a
jaaa
j
n
a
aa
kjxyy
b
Q
yy
b
Q
1
1
0
),...,2,1(02
02
（3.2.14）
将方程组（3.2.14）式展开整理后得：
n
a
akak
n
a
ka
n
a
kaa
n
a
kaa
n
a
ka
n
a
aak
n
a
kaa
n
a
a
n
a
aa
n
a
a
n
a
aak
n
a
kaa
n
a
aa
n
a
a
n
a
a
n
a
ak
n
a
ka
n
a
a
n
a
a
yxbxbxxbxxbx
yxbxxbxbxxbx
yxbxxbxxbxbx
ybxbxbxnb
11
2
2
1
21
1
10
1
1
2
1
22
1
2
21
1
210
1
2
1
1
1
12
1
211
1
2
10
1
1
11
2
1
21
1
10
)(...)()()(
...
)(...)()()(
)(...)()()(
)(...)()(
（3.2.15）
方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。
如果引入一下向量和矩阵：
knnn
k
k
k
n
k
xxx
xxx
xxx
xxx
X
y
y
y
Y
b
b
b
b
b
...1
...............
...1
...1
...1
,
...
,
...
21
32313
22212
12111
2
1
2
1
0
knnn
k
k
k
knkkk
n
n
T
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
XXA
...1
...............
...1
...1
...1
...
...............
...
...
1...111
21
32313
22212
12111
321
2232221
1131211
n
a
ka
n
a
kaa
n
a
kaa
n
a
ka
n
a
kaa
n
a
a
n
a
aa
n
a
a
n
a
kaa
n
a
aa
n
a
a
n
a
a
n
a
ka
n
a
a
n
a
a
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxn
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
21
1
2
1
1
1
21
1
2
1
1
1
11
2
1
1
...
...............
...
...
...
多元线性回归模型公式
3/4
n
a
aka
n
a
aa
n
a
aa
n
a
a
nknkkk
n
n
T
yx
yx
yx
y
y
y
y
y
xxxx
xxxx
xxxx
YXB
1
1
2
1
1
1
3
2
1
321
2232221
1131211
...
...
...
...............
...
...
1...111
则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式
BAb（3.2.15’）
求解（3.2.15’）式可得：
YXXXBAbTT11)(（3.2.16）
如果引入记号：
),...,2,1,())((
1
kjixxxxLL
n
a
jjaiiajiij
),...,2,1())((
1
kiyyxxL
n
a
aiiaiy
则正规方程组也可以写成：
kk
kykkkkk
ykk
ykk
xbxbxbyb
LbLbLbL
LbLbLbL
LbLbLbL
...
...
............
...
...
22
1
10
2211
22222121
11212111
（3.2.15’’）
（二）多元线性回归模型的显著性检验
与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进
行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值
n
yyy,...,,
21
之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量
多元线性回归模型公式
4/4
k
xxx,...,,
21
的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了
从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分
析，也就是将y的离差平方和
T
S或（Lyy）分解成两个部分，即回归平
方和U与剩余平方和Q：
QULS
yyT
在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的
变差的总影响，它可以按公式
k
i
iyi
n
a
a
LbyyU
1
2
1
)(
计算，而剩余平方和为
ULyyQ
yy
n
a
aa
2
1
)(
以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代
表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归
模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由
度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平
方和的自由度等于1kn，所以F统计量为：
)1/(
/
knQ
kU
F
当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。
本文发布于:2022-12-02 19:49:31，感谢您对本站的认可！
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