cos2a

三角函

数诱导公式

一：六组诱导公式

组数一二三四五六

角

2kπ＋α(k

∈Z)

π＋α－απ－α

π

2

－α

π

2

＋α

正弦

sinsinsinsin

coscos

余弦

coscoscoscossinsin

正切

tantantantan

对于角“

kπ

2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，

意思是说

kπ

2

±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦

变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐

角时，原函数值的符号．

角

0

π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6

π

3π

2

2π

例1．sin585°的值为()

A．－

2

2

B.

2

2

C．－

3

2

D.

3

2

解：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－

2

2

.

例2：已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<

π

2

，则θ等于

()

A．－

π

6

B．－

π

3

C.

π

6

D.

π

3

解：因sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.

∵|θ|<

π

2

，∴θ＝

π

3

.

例3：如果sin(π＋A)＝

1

2

，那么cos













A

2

3的值是________．

解：∵sin(π＋A)＝

1

2

，∴－sinA＝

1

2

.∴cos













A

2

3＝－sinA＝

1

2

.

例4：如果f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么f(5)＝________.

解：令tanx＝5，即sinx＝5cosx.∴sin2x－5sinxcosx＝sin2x－5sinx·

1

5

sin

x＝0.∴f(5)＝0.

例5：若角α的终边落在第三象限，则

cosα

1－sin2α

＋

2sinα

1－cos2α

的值为

sin0

1

2

2

2

3

2

1

3

2

2

2

1

2

010

cos

1

3

2

2

2

1

2

0

1

2



2

2



3

2



1

01

tan

0

3

3

1

3

不存在

3

1

3

3



0

不存

在0

()

A．3B．－3C．1D．－1

解：由角α的终边落在第三象限得sinα<0，cosα<0，故原式＝

cosα

|cosα|

＋

2sinα

|sinα|

＝

cosα

－cosα

＋

2sinα

－sinα

＝－1－2＝－3.

例6：已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝

3

1，则cos

















2

3的值为

()

A.

10

10

B．－

10

10

C.

310

10

D．－

310

10

解：tanα＝

1

3

，cos

















2

3＝sinα.∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－

10

10

.

例7：sin600°＋tan240°的值等于()

A．－

3

2

B.

3

2

C.3－

1

2

D.3＋

1

2

解：sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°

＋tan60°＝－

3

2

＋3＝

3

2

.

例8：已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，f(2

011)＝5，则f(2012)＝()

A．3B．5C．1D．不能确定

解：f(2011)＝asin(2011π＋α)＋bcos(2011π＋β)＋4＝asin(π＋α)＋

bcos(π＋β)＋4＝－asinα－bcosβ＋4

＝5.∴asinα＋bcosβ＝－1.∴f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋

β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4

＝－1＋4＝3.

1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋

2B＋2C＝2π；

A

2

＋

B

2

＋

C

2

＝

π

2

.

2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．

例9：△ABC中，cosA＝

1

3

，则sin(B＋C)＝________.

解：∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝1－cos2A

＝

22

3

.

例10：在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π

－B)，求△ABC的三个内角．

解：由已知得







sinA＝2sinB①

3cosA＝2cosB②

①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA

＝

2

2

或cosA＝－

2

2

.

(1)当cosA＝

2

2

时，cosB＝

3

2

，又A、B是三角形的内角，∴A＝

π

4

，B＝

π

6

，

∴C＝π－(A＋B)＝

7

12

π.

300°的值（）

A．B．C．D．

（﹣30°）的值是（）

A．B．C．D．

秒杀秘籍：换元法与诱导公式

例11：已知

4

1

)

3

sin(

，则)

6

cos(

。

解：令

3

x



，则

3

x



；

1

cos()cos()cos()sin

66324

xxx





把已知式子中的角度设为一个整体，再根据诱导公式去分析和计算。

3.下列能与sin20°的值相等的是（）

A．cos20°B．sin（﹣20°）C．sin70°D．sin160°

4.已知，则下列各式中值为的是（）

A．B．sin（π+α）C．D．sin（2π﹣α）

5.设tan（5π+α）=m，则的值为（）

A．B．﹣1C．D．1

6.若sin（3π+α）=﹣，则cos等于（）

A．﹣B．C．D．﹣

7.已知sin（）=，则cos（）的值等于（）

A．B．C．D．

8.已知，且，则tanα=（）

A．B．C．D．

9.若sin（π+α）+cos（+α）=﹣m，则cos（﹣α）+2sin（2π﹣α）

的值为（）

A．﹣B．C．﹣D．

315°﹣cos135°+2sin570°的值是（）

A．1B．﹣1C．D．﹣

11.若n∈Z，在①，②，③，

④中，与sin相等的是（）

A．①和②B．③和④C．①和④D．②和③

1290°的值为（）

A．B．C．﹣D．﹣

13.设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a，b，α，β均为非

零的常数，若f（1988）=3，则f（2015）的值为（）

A．1B．3C．5D．不确定

14.若，则的值为（）

A．﹣mB．C．D．m

15.若sin2α+sinα=1，则cos4α+cos2α的值为（）

A．0B．1C．2D．3

16.若函数f（sinx）=cos2x，则f（cos15°）的值为（）

A．B．﹣C．﹣D．

17.设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，其中a、b、α、β均为非

零的常数，若f（﹣2015）=3，则f（2015）的值为（）

A．1B．3C．5D．﹣3

18若函数，则等于（）

A．B．C．2D．﹣2

19.A为△ABC的内角，若cosA=，则sin（B+C）等于．

20.在△ABC中，已知sin=，则cos=．

定理1：为三角形内角（第一第二象限角），则一定有0cossina

定理2：为三角形内角（第一第二象限角），若1cossina，则一定有0cosa

秒杀秘籍：cossin与cossin间的相互转化

（1）若tcossin，则

2

1

cossin

2



t

；cossin=22t

（2）若sincost，则21

sincos

2

t





；sincos=22t

（3）若tcossin，则t21cossin；t21cossin

判断sincos与sincos的符号法则

根据sin

y

r

，cos

x

r

，sincos,sincos0;

yx

yx

r





时，反之亦然

53

2,2sincos0;2,2sincos0;

4444

kkkk













，，

337

2,2sincos0;2,2sincos0;

4444

kkkk













，，

_y

_x

_O

sincos0

sincos0

sincos0

sincos0

_O

定理3：为三角形内角（第一第二象限角），若1cossina，则一定有0cosa

例12：已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝

3－1

2

，则tanθ的值为

()

A．－3或－

3

3

B．－

3

3

C．－3D．－

3

2

解：由sinθ＋cosθ＝

3－1

2

，两边平方得sinθ·cosθ＝－

3

4

，∴(sinθ

－cosθ)2＝1－2sinθ·cosθ＝1＋

3

2

＝

4＋23

4

＝2

2

13

















，∵θ∈(0，π)，

sinθ＋cosθ＝

1

2

(3－1)<1，∴θ∈

















，

2

，∴sinθ－cosθ>0，

∴sinθ－cosθ＝

3＋1

2

，由











sinθ＋cosθ＝

3－1

2

sinθ－cosθ＝

3＋1

2

得sinθ＝

3

2

，

cosθ＝－

1

2

.∴tanθ＝－3.

21.已知，sinα•cosα=．

22.已知，则sinθ﹣cosθ的值为（）

A．B．C．D．

23.已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）

A．B．C．D．或

24.已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα=（）

A．B．C．D．

25.函数y=sinxcosx+sinx+cosx取最大值时x的值为（）

A．2kπ+B．2kπ﹣C．2kπ+D．2kπ﹣

26.θ是△ABC的一个内角，且，则cosθ﹣sinθ的值为（）

A．B．C．﹣D．

27.已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x

﹣3sinxcosx．

28.已知角x∈[﹣π，0]，且sinx+cosx=，（Ⅰ）求sin4x+cos4x的值；（Ⅱ）

求sinx﹣cosx的值．

29.已知sinα+cosα∈[﹣，]，且满足4sinαcosα﹣5sinα﹣5cosα=1，（1）

求sinα+cosα的值；（2）求sin3α+cos3α的值．

1-5DBDCC6-10ABBCB11-15BCCDB16-20CBC

21.

_

22-26BBACC27.（1）（2）

28.（1），（2）

_

29.（1）（2）