奇偶性的判断口诀

函数奇偶性的判断方法

（周口卫生学校马爱华466000）

摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、

利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）

法判断；3、用求商法判断。

关键词：奇函数偶函数定义域求和（差）法求商法

函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数

的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？

函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关

于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(xf与)(xf的关系。判断

方法有以下三种：

1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）

定义：如果对于函数y=f（x）的定义域A内的任意一个值x，

都有f（-x）=-f（x）则这个涵数叫做奇函数

f（-x）=f（x）则这个函数叫做偶函数

2、用求和（差）法判断

若0)()(xfxf(()()2())fxfxfx则)(xf为奇函数

若)(2)()(0)()(xfxfxfxfxf则)(xf为偶函数

3、用求商法判断

若0)(1

)(

)(





xf

xf

xf

则)(xf为奇函数

若0)(1

)(

)(





xf

xf

xf

则)(xf为偶函数

例1、判断函数

xxxf21lg)(的奇偶性（对口升学07年高考题）

解法一（定义法）

函数的定义域为R，关于原点对称



xxxf21lg)(

=22

2

(1)(1)

lg

1

xxxx

xx





=

1

2

2

1lg

1

1

lg



xx

xx

=2lg(1)xx()fx

)(xf为奇函数

解法二（求和（差）法）







xxxxxfxf221lg1lg)()(







xxxx2211lg

=01lg

)(xf为奇函数

解法三（求商法）



















xx

xx

xx

xx

xx

xx

xf

xf





















2

2

2

2

2

2

1lg

1lg

1lg

1

1

lg

1lg

1lg

)(

)(



)0(1x

)(xf为奇函数

例2判断函数



















2

1

12

1

)(

x

xxf的奇偶性（对口升学08年高考题）

解法一（定义法）

函数的定义域为0x的全体实数，关于原点对称









































2

1

21

2

2

1

12

1

)(

x

x

x

xxxf

为偶函数

而

)(

)()(

2(2

21

)12(2

122

2

1

12

1

)(

)12(2

12

)21(2

12

)21(2

2122

xf

xfxf

xxxxf

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx











































































































•



解法二（求和（差）法）



















2

1

12

1

)()(

x

xxfxf

为偶函数)(

0

12

)21(

12

2

12

2

21

2

2

12

xf

xxx

x

x

xx

xxxx

x

x

x

x

x

x

x

x



































解法二（求商法）

2

1

12

1

2

1

2

2

2

1

12

1

2

1

12

2

2

1

12

1

2

1

21

2

2

1

12

1

2

1

12

1

)(

)(1























































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xf

xf



1

12

12

12(2

122

)12(2

1222



















x

x

x

x

x

xx

为偶数函数)(xf

例3已知0)(xf是定义在R上的函数，试判断)(xf的奇偶性

解：)(xf的定义域为R，关于原点对称

为偶函数)(

)(0)(

xf

xfxf





又)(00)(xfxf

为既奇偶函数

为奇函数

)(

)(

xf

xf





由例3可知，确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值

恒为零。

因此，函数可分为四类：

1、奇函数（非偶函数）

2、偶函数（非奇函数）

3、既是奇函数又是偶函数（既奇又偶函数）

4、既不是奇函数又不是偶函数（非奇非偶函数）

另外，我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。

偶函数



其图象关于y轴对称

奇函数



其图象关于原点对称

从上面两个等价命题可以得出：奇函数在原点两侧的单调性相同（即

同增同减）；偶函数在原点两侧的单调性相反（即左增右减或左减右增）

因此，我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性，进而解决有关

奇偶性的问题。

参考文献：

[1]《数学》（基础模块）上册中等职业教育课程改革国家规划教材2012年

[2]《数学》河南省职业技术教育教学研究室编

2013年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导