分部积分法公式

内容要点

分部积分公式：

udvuvvdu

uvdxuvuvdx

(3.1)

(3.2)

(或微分)的逆运算.一般地,下列类型

的被

n

xsinmx

nx

esinmx

xncosmx

nx

ecosmx

xn(lnx)n

xarccosmx

xnarctanmx等.

第三节分部积分法

★分部积分公★几点说

★例1★例2★

例

3

★

例

4

★例5★例6★

例

7

★

例

8

★例9★例10★

例

11

★

例

12

★例13★例14★

例

15

★

例

16

★例17★例18

★

分部积分的列表法

★例19★例20★

例

21

★

例

22

★内容小结★课堂练

★习题4-3

积函数常考虑应用分部积分法(其中m,n都是正整数).

例题选讲

例1(E01)求不定积分xcosxdx.

x

2

解一令ucosx,xdxdxdv,

2

分布图

示

2cosxd

2

2

x

cosx

2

xcosxdx

分部积分法实质上就是求两函数乘积

xcosxdxxdsinxxsinx

sinxdxxsinxcosxC.

显然,u,选择不当，积分更难进行

解二令ux,cosxdxdsinxdv,

2

sinxdx,

2

例2(E02)求不定积分x2exdx.

解ux2

,exdxdexdv

x

2

e

x

dx

2x2xx

xdexe2xedx

2xx2xxx

xe2xdexe2(xee)C.

注：若被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘

积,可设幂函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,幂

函数的幂次降低一次.

例3(E03)求不定积分

解令uarctanx,xdx

xarctanxdx.

dv,

xarctanxdx

2

x

arctanxd

2

x

arctanx

22

x

2

dx

x

arctanx

2

1

2dx

1x

2

2

x

arctanx

2

1

(xarctanx)

2

C.

例4(E04)求不定积分x3lnxdx.

3x4

解令ulnx,x3dxddv,

4

4

3xxlnxdxlnxd1x4lnx1x3dx1x4lnx1x4C

444416

注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积,可设对数函数或反

三角函数

为u,而将幂函数凑微分进入微分号,使得应用分部积分公式后,对数函数或反三角函

数消失.

例5(E05)求不定积

分

exsinxdx.

解exsindxsindex

xesinx

exd(sinx)exsinxexcosxdx

x

esinx

cosxdex

xx

esinx(ecosx

exdcosx)

ex(sinxcosx)exsinxdx

exsindx

x

(sinxcosx)C.

注：若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积,u,dv可随意选取,但在两次分

22

xx

d(arctanx)arctanx

2

部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求

积分.

xsin(lnx)xcos(lnx)

1dx

xsin(lnx)xcos(lnx)

xd[cos(lnx)]

由于上式右端的第三项就是所求

2，便得

例6(E06)求不定积分sin(lnx)dx.

解sin(lnx)dxxsin(lnx)xd[sin(lnx)]

x[sin(lnx)cos(lnx)]sin(lnx)dx

sin(lnx)dx

x

[sin(lnx)cos(lnx)]C.

灵活应用分部积分法,可以解决许多不定积分的计算问题.下面再举一些例子,

请读者

悉心体会其解题方法.

例7(E07)求不定积分c3xdx.

解c3xdxcxdtanxcxtanxcxtan234xdx

23

cxtanxcx(cx1)dxcxtanxcxdxcxdx

3

cxtanxln|cxtanx|cxdx

c3xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以

31

cxdx(cxtanxln|cxtanx|)C.

2

21xarcsinx

dx.

4x2

2arcsinxd1x

求不定积

分

arcsinx

dx.

1x

arcsinx

dx

1x

21xdarcsinx

求不定积

分

xarctanx

21xarcsinx

1x

x1

dx

21xarcsinx

2xC.

xarctanx

dx

1x

2

arctanxd1x2

1x

2

1x

2

12求I

1/3

e

3

xdx.

再

解1先分部积分，后换

元

3

2/3x

t3,则dx

x1/3

e

x

dx

du

e

x1/31e

x1/3dx

2

3t2dt,

于是

2t2

3tedt3te

.设u

1/3

xe

2/3

,dv

1/3

xe

tetdt

3

1dx,则

3x

dx,v

3t

2

e

t

32/3

x

2

6tetetdt3(t22t

2)etC.

原式1x2arctanxln(x1x2)C.

例10(E08)求不定积分exdx.

解令tx,则xt2,dx2tdt,于是

exdx2ettdt2tdet2tet2etdt

1x2arctanx1x2d(arctanx)

1x2arctanx

x

21

2dx

1x

2

1x2arctanx

1

1dxxtant

x

2

1c2tdt

1tan2t

ctdtln(cttant)Cln(x1x2)C.

代入上式,得

2tet

2e

tC2et(t1)C2e

x(x1)

C.

11求不定积分

ln(1x)dx.

令tx,则x

t2,

ln(1x)dxln(1

22

t)dt2t2ln(1t)t2dln(1t)t2ln(1t)1

2

tdtt

2dt2

t

2

t)C

t2ln(1

t)(t1)dtt2ln(1t)

1t

2

tln(1

(x1)ln(1x)xxC.

例

解

I3x

2/3

e

x1/3

2

3(3x2

2

23xx1/32)exC3(3xx1/31)exC.

解法2先换元,后分部积分.设x

t3,dx

3t2dt,则

t

e2t3t2dt3tetdtt

再设u

t,dvetdt,则

I3tet3etdt

3tet3etc3(3x1/31)exc.

13求不定积分

(1x)arcsin(1x)

dx.

2xx2

x,则dxdt,

原

式

tarcsintdt

1t2

arcsintd(1t2)

其中C

C11.

14(E09)求不定积

分

I

n

用分部积分

法，

dx

(x2a2)n1

I

n

In

1t2arcsint

1t2arcsint

2xx2arcsin(1

dx

(x

2

a

1时

有

x

(x2a2)n1

x

(x2a2)n1

x

22n1(xa)

2(n1)(In

2(n

2(n

1

2a2(n1)

以此作递推公式，并

由

例15(E10)已知

C1

x)

2

)

n

,其中

t

2

1t2dt

C.

n为正整

数.

2

1)(x2

xa2)n

dx

1)(x2

1a2)n1

a

2

(x2a2)ndx,

a2In),

(x

2

x

a

2

)

n1(2n3)In1

I1

1arctanx

C,即可得

x2f(x)的一个原函数是ex,求xf(x)dx.

xf(x)dxxf(x)

f(x)dx

2x2e

x2x2e

C.

2根据题意f(x)dxexC,再注意到f(x)dxf(x),

2

两边同时对x求导，得f(x)2xex,

x

2更能使解题方便.(x2)2

xf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dx,

cosxln(tanx)

cotx|C.

2x

xe

x22x

xexxxeedxx2

exC.

3

例16求不定积分

e

sinxxcosx

2

sinx

dx.

cos2x

解先折成两个不定积分，再利用分部积分法

1

dxcosxln(tanx)ln|cscx

sinx

2x

xxexxedxxde

x2

2xxexxex2

注:本题选ux2ex

比选

2

x

例19计算不定积分xlnxdx.

解lnx不易求积分，只能放在左列，而x放在右列,列表如下:

17

原式

e

sinx

xcosxdx

sinxe

sin

2

xdx

2cosx

sinxsinx

sinxesinx

xeedxedx

cosx

sinxxde

sinx

xe

求不定积分sinxln(tanx)dx.

sinxln(tanx)dxln(tanx)dcosxcosxln(tanx)

e

sinx

d

1

cosx

1sinx

C.

cosx

cosxdln(tanx)

18求不定积

分

(x

x2ex

2dx.

2)

2

选u

2x

xe,于是

2x

xe

2dx

(x2)2

x

2

e

x

d

x

2

e

x1

x2

1d(x2ex)

2

x

2

e

x

x2

2xex

x

x2

2exdx

2

lnx可看作乘积形

xcosxsinxc.

e

x

和

(

)lnxx

112

()x

x2

2

xlnxdxlnxxx

2

dxxlnxxdxxlnxxc

2x22224

例20计算不定积分lnxdx.

1lnx,将lnx放在左列,1放在右列，列表如下

1

lnxdxxlnxxdxxlnxxc.

x

例21计算不定积分xsinxdx.

解函数x和sinx都是易求原函数的函数,都可放右列，但考虑到左列的函

数应是求

导后逐渐简单的，故x放左列,sinx放右列列表如下:

excosxdxexsinxex(cosx)ex(cosx)dx，

xsinxdxxcosx1(sinx)c

cosx

sinx

cosx

x

移项得excosxdxe(sinxcosx)c.

2

课堂练习

2

1.求不定积分xsin2xdx;

2.求不定积分exsin2xdx.

最新文件------仅供参考-----------已改成word文本------------方便更

改

例22计算不定积分excosxdx..

解函数ex,cosx都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的

sinx（或cosx）形式，故它们的左右位置可随意选取.例如选取ex为左,cosx为右,

可得