第2节等差数列及其前n项和
知识梳理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝
a＋b
2
.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{a
n
}的首项是a
1
，公差是d，则其通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：S
n
＝na
1
＋
n（n－1）d
2
＝
n（a
1
＋a
n
）
2
.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{a
n
}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a
k
＋a
l
＝a
m
＋a
n
.
(3)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…(k，m∈N*)是公差为md
的等差数列.
(4)若S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，则数列S
m
，S
2m
－S
m
，S
3m
－S
2m
，…也是等
差数列.
(5)若S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，则数列
S
n
n
也为等差数列.
1.已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a
n
}一定是等
差数列，且公差为p.
2.在等差数列{a
n
}中，a
1
＞0，d＜0，则S
n
存在最大值；若a
1
＜0，d＞0，则S
n
存在最小值.
3.等差数列{a
n
}的单调性：当d＞0时，{a
n
}是递增数列；当d＜0时，{a
n
}是递
减数列；当d＝0时，{a
n
}是常数列.
4.数列{a
n
}是等差数列⇔S
n
＝An2＋Bn(A，B为常数).
诊断自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
.()
(2)等差数列{a
n
}的单调性是由公差d决定的.()
(3)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0关于n的二次函数.()
答案(1)√(2)√(3)×(4)×
解析(3)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.
(4)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数.
2.设数列{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，若a
6
＝2且S
5
＝30，则S
8
等于()
A.31B.32C.33D.34
答案B
解析由已知可得
a
1
＋5d＝2，
5a
1
＋10d＝30，
解得
a
1
＝
26
3
，
d＝－
4
3
，
∴S
8
＝8a
1
＋
8×7
2
d＝32.
3.一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多
降落9.80m，那么经过________秒落到地面.
答案20
解析设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数
列.
所以4.90t＋
1
2
t(t－1)×9.80＝1960，
即4.90t2＝1960，解得t＝20.
4.(2020·呼和浩特质检)在等差数列{a
n
}中，若a
1
＋a
2
＝5，a
3
＋a
4
＝15，则a
5
＋a
6
＝()
A.10B.20C.25D.30
答案C
解析等差数列{a
n
}中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d，若
a
1
＋a
2
＝5，a
3
＋a
4
＝15，则d＝15－5＝10，因此a
5
＋a
6
＝(a
3
＋a
4
)＋d＝15＋10＝
25.
5.(多选题)(2021·南京模拟)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
>0，且
a
6
a
5
＝
10
11
，则
当S
n
取最大值时，n的值可能为()
A.15B.16C.17D.18
答案AB
解析不妨设a
6
＝10t，a
5
＝11t，则公差
d＝－t(t>0)，∴a
16
＝a
6
＋10d＝0，
a
15
＝a
6
＋9d＝t>0，a
17
＝a
6
＋11d＝－t<0，
故当n＝15或n＝16时，S
n
最大，故选AB.
6.(2020·新高考山东卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数
列{a
n
}，则{a
n
}的前n项和为__________.
答案3n2－2n
解析法一(观察归纳法)数列{}2n－1
的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；
数列{3n－2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共
项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a
n
＝1＋6(n－1)＝6n
－5.
故其前n项和为S
n
＝
n（a
1
＋a
n
）
2
＝
n（1＋6n－5）
2
＝3n2－2n.
法二(引入参变量法)令b
n
＝2n－1，c
m
＝3m－2，b
n
＝c
m
，则2n－1＝3m－2，
即3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1，2，3，…).
a
t
＝b
3t－2
＝c
2t－1
＝6t－5，即a
n
＝6n－5.
以下同法一.
考点一等差数列基本量的运算
1.记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.已知S
4
＝0，a
5
＝5，则()
A.a
n
＝2n－5B.a
n
＝3n－10
C.S
n
＝2n2－8nD.S
n
＝
1
2
n2－2n
答案A
解析设首项为a
1
，公差为d.
由S
4
＝0，a
5
＝5可得
a
1
＋4d＝5，
4a
1
＋6d＝0，
解得
a
1
＝－3，
d＝2.
所以a
n
＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
S
n
＝n×(－3)＋
n（n－1）
2
×2＝n2－4n.
2.(2021·武汉调研)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
8
＝a
8
＝8，则公差d＝
()
A.
1
4
B.
1
2
C.1D.2
答案D
解析∵S
8
＝a
8
＝8，∴a
1
＋a
2
＋…＋a
8
＝a
8
，
∴S
7
＝7a
4
＝0，则a
4
＝0.
∴d＝
a
8
－a
4
8－4
＝2.
3.(2020·全国Ⅱ卷)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若a
1
＝－2，a
2
＋a
6
＝2，则S
10
＝________.
答案25
解析设等差数列{a
n
}的公差为d，
则a
2
＋a
6
＝2a
1
＋6d＝2×(－2)＋6d＝2.
解得d＝1.
所以S
10
＝10×(－2)＋
10×9
2
×1＝25.
4.(2019·全国Ⅰ卷)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.已知S
9
＝－a
5
.
(1)若a
3
＝4，求{a
n
}的通项公式；
(2)若a
1
>0，求使得S
n
≥a
n
的n的取值范围.
解(1)设{a
n
}的公差为d.
由S
9
＝－a
5
可知9a
5
＝－a
5
，所以a
5
＝0.
因为a
3
＝4，所以d＝
a
5
－a
3
2
＝
0－4
2
＝－2，
所以a
n
＝a
3
＋(n－3)×(－2)＝10－2n，
因此{a
n
}的通项公式为a
n
＝10－2n.
(2)由(1)得a
5
＝0，
因为a
1
>0，所以等差数列{a
n
}单调递减，即d<0，
a
1
＝a
5
－4d＝－4d，S
n
＝
n（n－9）d
2
，
a
n
＝－4d＋d(n－1)＝dn－5d，
因为S
n
≥a
n
，
所以
nd（n－9）
2
≥dn－5d，
又因为d<0，所以1≤n≤10.
感悟升华1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，
S
n
，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a
1
和d是等差
数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二等差数列的判定与证明
【例1】(经典母题)若数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n
＋2S
n
S
n－1
＝0(n≥2)，
a
1
＝
1
2
.
(1)求证：
1
S
n
成等差数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
(1)证明当n≥2时，由a
n
＋2S
n
S
n－1
＝0，
得S
n
－S
n－1
＝－2S
n
S
n－1
，所以
1
S
n
－
1
S
n－1
＝2，
又
1
S
1
＝
1
a
1
＝2，
故
1
S
n
是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)解由(1)可得
1
S
n
＝2n，∴S
n
＝
1
2n
.
当n≥2时，
a
n
＝S
n
－S
n－1
＝
1
2n
－
1
2（n－1）
＝
n－1－n
2n（n－1）
＝－
1
2n（n－1）
.
当n＝1时，a
1
＝
1
2
不适合上式.
故数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
1
2
，n＝1，
－
1
2n（n－1）
，n≥2.
【迁移1】若将本例中的条件“a
n
＋2S
n
S
n－1
＝0(n≥2)”变为“a
n＋1
＝
2a
n
2＋a
n
”其他
条件保持不变，试求解下面问题：
(1)求证：数列
1
a
n
是等差数列；
(2)若b
n
＝a
n
a
n＋1
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
(1)证明易知a
n
≠0，∵a
n＋1
＝
2a
n
2＋a
n
，
∴
1
a
n＋1
＝
2＋a
n
2a
n
，∴
1
a
n＋1
－
1
a
n
＝
1
2
，
又a
1
＝
1
2
，则
1
a
1
＝2，
∴数列
1
a
n
是以2为首项，
1
2
为公差的等差数列.
(2)解由(1)知，
1
a
n
＝2＋
1
2
(n－1)＝
n＋3
2
，即a
n
＝
2
n＋3
，
∴b
n
＝
4
（n＋3）（n＋4）
＝4
1
n＋3
－
1
n＋4
，
∴S
n
＝4
1
4
－
1
5
＋
1
5
－
1
6
＋…＋
1
n＋3
－
1
n＋4
＝4
1
4
－
1
n＋4
＝
n
n＋4
.
【迁移2】本例中，若将条件变为a
1
＝
3
5
，na
n＋1
＝(n＋1)a
n
＋n(n＋1)，试求数列
{a
n
}的通项公式.
解由已知可得
a
n＋1
n＋1
＝
a
n
n
＋1，即
a
n＋1
n＋1
－
a
n
n
＝1，
又a
1
＝
3
5
，
∴
a
n
n
是以
a
1
1
＝
3
5
为首项，1为公差的等差数列，
∴
a
n
n
＝
3
5
＋(n－1)·1＝n－
2
5
，
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝n2－
2
5
n.
感悟升华1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a
n
－a
n－1
为同一常数.
(2)等差中项法：验证2a
n－1
＝a
n
＋a
n－2
(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：
(1)通项公式：a
n
＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a
n
}是等差数列.
(2)前n项和公式：S
n
＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a
n
}是等差数列.问题的最终判定
还是利用定义.
【训练1】已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
n
≠0，a
n
a
n＋1
＝λS
n
－1，其中
λ为常数.
(1)证明：a
n＋2
－a
n
＝λ；
(2)是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由.
(1)证明由题设知，a
n
a
n＋1
＝λS
n
－1，a
n＋1
a
n＋2
＝λS
n＋1
－1.
两式相减得a
n＋1
(a
n＋2
－a
n
)＝λa
n＋1
.
由于a
n＋1
≠0，所以a
n＋2
－a
n
＝λ.
(2)解存在实数λ，理由如下：
由题设知，a
1
＝1，a
1
a
2
＝λS
1
－1，可得a
2
＝λ－1.
由(1)知，a
3
＝λ＋1.
令2a
2
＝a
1
＋a
3
，解得λ＝4.
故a
n＋2
－a
n
＝4，由此可得
{a
2n－1
}是首项为1，公差为4的等差数列，a
2n－1
＝4n－3；
{a
2n
}是首项为3，公差为4的等差数列，a
2n
＝4n－1.
所以a
n
＝2n－1，a
n＋1
－a
n
＝2.
因此存在λ＝4，使得数列{a
n
}为等差数列.
考点三等差数列的性质及应用
角度1等差数列项的性质
【例2】(1)在等差数列{a
n
}中，若a
2
＋a
8
＝8，则(a
3
＋a
7
)2－a
5
＝()
A.60B.56C.12D.4
(2)(多选题)(2021·武汉模拟)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
7
＝a
4
，则
()
A.a
1
＋a
3
＝0B.a
3
＋a
5
＝0
C.S
3
＝S
4
D.S
4
＝S
5
答案(1)A(2)BC
解析(1)∵在等差数列{a
n
}中，a
2
＋a
8
＝8，
∴a
2
＋a
8
＝a
3
＋a
7
＝2a
5
＝8，解得a
5
＝4，
所以(a
3
＋a
7
)2－a
5
＝82－4＝60.
(2)由S
7
＝
7（a
1
＋a
7
）
2
＝7a
4
＝a
4
，得a
4
＝0，所以a
3
＋a
5
＝2a
4
＝0，S
3
＝S
4
，故选
BC.
角度2等差数列前n项和的性质
【例3】(1)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足S
20
＝S
40
，则下列结论中
正确的是()
A.S
30
是S
n
中的最大值B.S
30
是S
n
中的最小值
C.S
30
＝0D.S
60
＝0
(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，
分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增
加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每
环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇
面形石板(不含天心石)()
A.3699块B.3474块
C.3402块D.3339块
答案(1)D(2)C
解析(1)∵S
40
－S
20
＝a
21
＋a
22
＋…＋a
39
＋a
40
＝10(a
30
＋a
31
)＝0，
∵a
30
＋a
31
＝0，故S
60
＝30(a
30
＋a
31
)＝0.
(2)设每一层有n环，由题可知由天心石向外的每环的扇面形石板数构成公差d
＝9，a
1
＝9的等差数列.
由等差数列的性质知S
n
，S
2n
－S
n
，S
3n
－S
2n
成等差数列，且(S
3n
－S
2n
)－(S
2n
－S
n
)
＝n2d，
则9n2＝729，得n＝9，
则三层共有扇面形石板数为S
3n
＝S
27
＝27×9＋
27×26
2
×9＝3402(块).
角度3等差数列前n项和的最值
【例4】设{a
n
}是等差数列，a
1
＝－10，且a
2
＋10，a
3
＋8，a
4
＋6成等比数列.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)记{a
n
}的前n项和为S
n
，求S
n
的最小值.
解(1)设{a
n
}的公差为d.
因为a
1
＝－10，
所以a
2
＝－10＋d，a
3
＝－10＋2d，a
4
＝－10＋3d.
因为a
2
＋10，a
3
＋8，a
4
＋6成等比数列，
所以(a
3
＋8)2＝(a
2
＋10)(a
4
＋6).
所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).
解得d＝2.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n－12.
(2)由(1)知，a
n
＝2n－12.
则当n≥7时，a
n
>0；当n＝6时，a
n
＝0，当n<6时，a
n
<0；
所以S
n
的最小值为S
5
＝S
6
＝－30.
感悟升华1.项的性质：在等差数列{a
n
}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则a
m
＋a
n
＝a
p
＋a
q
.
2.和的性质：在等差数列{a
n
}中，S
n
为其前n项和，则
(1)S
2n
＝n(a
1
＋a
2n
)＝…＝n(a
n
＋a
n＋1
)；
(2)S
2n－1
＝(2n－1)a
n
.
(3)依次k项和成等差数列，即S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
，…成等差数列.
3.求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其
正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差
不为零的等差数列的前n项和S
n
＝An2＋Bn(A，B为常数，A≠0)为二次函数，通
过二次函数的性质求最值.
【训练2】(1)(多选题)(2020·淄博调研)已知等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和
为S
n
，当首项a
1
和d变化时，a
2
＋a
8
＋a
11
是一个定值，则下列各数也为定值的
是()
A.a
7
B.a
8
C.S
13
D.S
15
(2)(2020·北京卷)在等差数列
{}a
n中，a
1
＝－9，a
5
＝－1.记T
n
＝a
1
a
2
…a
n
(n＝1，
2，…)，则数列
{}T
n()
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
答案(1)AC(2)B
解析(1)由题知a
2
＋a
8
＋a
11
＝a
1
＋d＋a
1
＋7d＋a
1
＋10d＝3a
1
＋18d＝3(a
1
＋6d)＝
3a
7
，∴a
7
是定值，∴S
13
＝
13（a
1
＋a
13
）
2
＝13a
7
是定值，故选AC.
(2)设等差数列{a
n
}的公差为d，∵a
1
＝－9，a
5
＝－1，
∴a
5
＝－9＋4d＝－1，则d＝2.
所以a
n
＝－9＋2(n－1)＝2n－11.
令a
n
＝2n－11≤0，得n≤5.5.
∴n≤5时，a
n
<0；
当n≥6时，a
n
≥1>0.
因为T
n
＝a
1
a
2
…a
n
(n＝1，2，…)，所以T
1
＝－9，T
2
＝63，T
3
＝－315，T
4
＝945，
T
5
＝－945.
当n≥6时，a
n
≥1，
∴T
n
<0，且T
n＋1
n
<0.
∴T
n
＝a
1
a
2
a
3
…a
n
(n＝1，2，…)有最大项T
4
，无最小项.
A级基础巩固
一、选择题
1.(2020·长春模拟)在等差数列{a
n
}中，3a
5
＝2a
7
，则此数列中一定为0的是()
A.a
1
B.a
3
C.a
8
D.a
10
答案A
解析设{a
n
}的公差为d(d≠0)，∵3a
5
＝2a
7
，
∴3(a
1
＋4d)＝2(a
1
＋6d)，得a
1
＝0.
2.(2021·昆明诊断)在数列{a
n
}中，已知a
n＋1
－a
n
＝a
n＋2
－a
n＋1
，a
1011
＝1，则该数列
前2021项的和S
2021
等于()
A.2021B.2020C.4042D.4040
答案A
解析∵a
n＋1
－a
n
＝a
n＋2
－a
n＋1
，∴2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
，
∴{a
n
}为等差数列，∵a
1011
＝1，
∴S
2021
＝
2021（a
1
＋a
2021
）
2
＝
2021×2a
1011
2
＝2021.
3.记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若3S
3
＝S
2
＋S
4
，a
1
＝2，则a
5
＝()
A.－12B.－10C.10D.12
答案B
解析设等差数列{a
n
}的公差为d，则3(3a
1
＋3d)＝2a
1
＋d＋4a
1
＋6d，即d＝
－
3
2
a
1
.又a
1
＝2得∴d＝－3，
∴a
5
＝a
1
＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多
十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，
分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八
个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分
得斤数为()
A.65B.176C.183D.184
答案D
解析根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a
n
}，其中d＝
17，n＝8，S
8
＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a
1
＋
8×7
2
×17＝996，
解得a
1
＝65.
由等差数列通项公式得a
8
＝65＋(8－1)×17＝184.
则第八个孩子分得斤数为184.
5.(2021·全国大联考)在等差数列{a
n
}中，若
a
10
a
9
<－1，且它的前n项和S
n
有最大值，
则使S
n
>0成立的正整数n的最大值是()
A.15B.16C.17D.14
答案C
解析∵等差数列{a
n
}的前n项和有最大值，
∴等差数列{a
n
}为递减数列，
又
a
10
a
9
<－1，∴a
9
>0，a
10
<0，
∴a
9
＋a
10
<0，
又S
18
＝
18（a
1
＋a
18
）
2
＝9(a
9
＋a
10
)<0，
且S
17
＝
17（a
1
＋a
17
）
2
＝17a
9
>0.
故使得S
n
>0成立的正整数n的最大值为17.
6.(多选题)(2020·浙江卷改编)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，公差d≠0，且
a
1
d
≤1.记b
1
＝S
2
，b
n＋1
＝S
2n＋2
－S
2n
，n∈N*，下列等式可能成立的是()
A.2a
4
＝a
2
＋a
6
B.2b
4
＝b
2
＋b
6
C.a2
4
＝a
2
a
8
D.b2
4
＝b
2
b
8
答案ABC
解析由b
n＋1
＝S
2n＋2
－S
2n
得
b
2
＝a
3
＋a
4
＝2a
1
＋5d，b
4
＝S
8
－S
6
＝a
7
＋a
8
＝2a
1
＋13d.
b
6
＝S
12
－S
10
＝a
11
＋a
12
＝2a
1
＋21d，
b
8
＝S
16
－S
14
＝a
15
＋a
16
＝2a
1
＋29d，
根据等差数列性质，A项2a
4
＝a
2
＋a
6
成立；
易验证2b
4
＝b
2
＋b
6
成立，B项成立；
当a
1
＝d时，a2
4
＝a
2
a
8
成立，即C项可能成立；
若b2
4
＝b
2
b
8
，则(2a
1
＋13d)2＝(2a
1
＋5d)(2a
1
＋29d)，
有
a
1
d
＝
3
2
这与
a
1
d
≤1矛盾，故D不可能成立.
二、填空题
7.(2019·全国Ⅲ卷)记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和.若a
1
≠0，a
2
＝3a
1
，则
S
10
S
5
＝
________.
答案4
解析由a
1
≠0，a
2
＝3a
1
，可得d＝2a
1
，
所以S
10
＝10a
1
＋
10×9
2
d＝100a
1
，
S
5
＝5a
1
＋
5×4
2
d＝25a
1
，所以
S
10
S
5
＝4.
8.等差数列{a
n
}与{b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n
，若
S
n
T
n
＝
3n－2
2n＋1
，则
a
7
b
7
等于
________.
答案
37
27
解析
a
7
b
7
＝
2a
7
2b
7
＝
a
1
＋a
13
b
1
＋b
13
＝
a
1
＋a
13
2
×13
b
1
＋b
13
2
×13
＝
S
13
T
13
＝
3×13－2
2×13＋1
＝
37
27
.
9.设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
2
＝－3，S
5
＝－10，则a
5
＝________，
S
n
的最小值为________.
答案0－10
解析由题意得a
2
＝a
1
＋d＝－3，S
5
＝5a
1
＋10d＝－10，
解得a
1
＝－4，d＝1，
所以a
5
＝a
1
＋4d＝0，
故a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝n－5.
令a
n
≤0，则n≤5，即数列{a
n
}中前4项为负，a
5
＝0，第6项及以后项为正.
∴S
n
的最小值为S
4
＝S
5
＝－10.
三、解答题
10.已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为S
n
，且S
k
＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{b
n
}的通项公式b
n
＝
S
n
n
，证明：数列{b
n
}是等差数列，并求其前n项和
T
n
.
(1)解设该等差数列为{a
n
}，则a
1
＝a，a
2
＝4，a
3
＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a
1
＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以S
k
＝ka
1
＋
k（k－1）
2
·d＝2k＋
k（k－1）
2
×2＝k2＋k，
由S
k
＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.
(2)证明由(1)得S
n
＝
n（2＋2n）
2
＝n(n＋1)，
则b
n
＝
S
n
n
＝n＋1，
故b
n＋1
－b
n
＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即数列{b
n
}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以T
n
＝
n（2＋n＋1）
2
＝
n（n＋3）
2
.
11.(2020·西安调研)已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
5
＝9，S
5
＝25.
(1)求数列{a
n
}的通项公式及前n项和S
n
；
(2)设b
n
＝(－1)nS
n
，求数列{b
n
}的前2n项和T
2n
.
解(1)由题意，设等差数列{a
n
}的公差为d，
则
a
5
＝a
1
＋4d＝9，
S
5
＝5a
1
＋
5×4
2
d＝25，
整理得
a
1
＋4d＝9，
a
1
＋2d＝5，
解得
a
1
＝1，
d＝2.
∴a
n
＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，
S
n
＝
n（1＋2n－1）
2
＝n2.
(2)由(1)知，b
n
＝(－1)nS
n
＝(－1)n·n2.
T
2n
＝b
1
＋b
2
＋…＋b
2n
＝(b
1
＋b
2
)＋(b
3
＋b
4
)＋…＋(b
2n－1
＋b
2n
)
＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2n－1)2＋(2n)2]
＝[(2－1)×(2＋1)]＋[(4－3)×(4＋3)]＋…＋[2n－(2n－1)]×[2n＋(2n－1)]
＝1＋2＋3＋4＋…＋(2n－1)＋2n
＝
2n·（1＋2n）
2
＝2n2＋n.
B级能力提升
12.(多选题)(2021·青岛模拟)已知数列{a
n
}是公差不为0的等差数列，前n项和为
S
n
.若对任意的n∈N*，都有S
n
≥S
3
，则
a
6
a
5
的值可能为()
A.2B.
5
3
C.
3
2
D.
4
3
答案ABC
解析设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0).∵对任意的n∈N*，都有S
n
≥S
3
，
∴
S
1
≥S
3
，
S
2
≥S
3
，
S
4
≥S
3
，
∴
a
1
≥3a
1
＋
3×2
2
d，
2a
1
＋d≥3a
1
＋
3×2
2
d，
4a
1
＋
4×3
2
d≥3a
1
＋
3×2
2
d，
∴－3d≤a
1
≤－2d(d>0)，
∴代入选项知当
a
6
a
5
＝
a
1
＋5d
a
1
＋4d
＝2时，a
1
＝－3d成立；
当
a
6
a
5
＝
a
1
＋5d
a
1
＋4d
＝
5
3
时，a
1
＝－
5
2
d成立；当
a
6
a
5
＝
a
1
＋5d
a
1
＋4d
＝
3
2
时，a
1
＝－2d成立；当
a
6
a
5
＝
a
1
＋5d
a
1
＋4d
＝
4
3
时，a
1
＝－d不成立，故选ABC.
13.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
7
＝5，S
5
＝－55，则nS
n
的最小值为
________.
答案－343
解析设等差数列{a
n
}的公差为d，
则
a
7
＝a
1
＋6d＝5，
S
5
＝5（a
1
＋2d）＝－55，
解得
a
1
＝－19，
d＝4.
∴S
n
＝－19n＋
n（n－1）
2
×4＝2n2－21n，则nS
n
＝2n3－21n2，
设f(x)＝2x3－21x2(x>0)，则f′(x)＝6x(x－7)，
当0
当x>7时，f′(x)>0，f(x)单调递增.
故f(x)的最小值为f(7)＝－343.
14.(2021·北京西城区模拟)从①前n项和S
n
＝n2＋p(p∈R)；②a
n
＝a
n＋1
－3；③a
6
＝11且2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
这三个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答.
在数列{a
n
}中，a
1
＝1，________，其中n∈N*.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若a
1
，a
n
，a
m
成等比数列，其中m，n∈N*，且m>n>1，求m的最小值.
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
解选择①：
(1)当n＝1时，由S
1
＝a
1
＝1，得p＝0.
当n≥2时，由题意，得S
n－1
＝(n－1)2，
所以a
n
＝S
n
－S
n－1
＝2n－1(n≥2).
经检验，a
1
＝1符合上式，
所以a
n
＝2n－1(n∈N*)
(2)由a
1
，a
n
，a
m
成等比数列，得a2
n
＝a
1
a
m
，
即(2n－1)2＝1×(2m－1).
化简，得m＝2n2－2n＋1＝2
n－
1
2
2
＋
1
2
.
因为m，n是大于1的正整数，且m>n，
所以当n＝2时，m有最小值5.
选择②：
(1)因为a
n
＝a
n＋1
－3，所以a
n＋1
－a
n
＝3，
所以数列{a
n
}是公差d＝3的等差数列，
所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝3n－2(n∈N*).
(2)由a
1
，a
n
，a
m
成等比数列，得a2
n
＝a
1
a
m
，
即(3n－2)2＝1×(3m－2).
化简，得m＝3n2－4n＋2＝3
n－
2
3
2
＋
2
3
.
因为m，n是大于1的正整数，且m>n，
所以当n＝2时，m取到最小值6.
选择③：
(1)因为2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
，
所以数列{a
n
}是等差数列.
设数列{a
n
}的公差为d.
因为a
1
＝1，a
6
＝a
1
＋5d＝11，
所以d＝2.
所以a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*).
(2)因为a
1
，a
n
，a
m
成等比数列，所以a2
n
＝a
1
a
m
，
即(2n－1)2＝1×(2m－1).
化简，得m＝2n2－2n＋1＝2
n－
1
2
2
＋
1
2
.
因为m，n是大于1的正整数，且m>n，
所以当n＝2时，m有最小值5.
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