糖水不等式

不等式的经典公式和经典例题讲解

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2

不等式的证明规律及重要公式总结

重

要

公

式

1、222)

2

(,2

ba

ababba



（可直接用）cabcabcba222

2、

),(

11

2

22

22













Rba

ba

ab

baba（要会证明）

3、

0(3333cbaabccba

即可）

4、33abccba，3)

3

(

cba

abc



；

),,(Rcba

5、||||||||||bababa，),,(Rcba

证明方法

方法一：作差比较法：

已知：1cba，求证：

3

1

222cba

。

证：左－右=)1333(

3

1

222cba])(333[

3

1

2222

1

cbacba

的代换

0])()()[(

3

1

222accbba

方法二：作上比较法，设a、b、cR，且cba，求证：

baaccbcbacbacba222

证：accbbabcacabcbcaba

baaccb

cba

a

c

c

b

b

a

ccbbaa

cba

cba





)()()(

222

右

左

当a>b>0时1)(0,1ba

b

a

ba

b

a

当0

b

a

ba

b

a

∴不论a>b还是a

b

a

，同理可证，1)(cb

c

b

，1)(ac

a

c

，……

方法三：公式法：设a>0,b>0，且a+b=1，求证：

①

8

1

44ba②

2

25

)

1

()

1

(22

b

b

a

a

证①由公式：2

2222

)

2

(

222

BABABABA













得：

8

1

16

1

])

2

[()

2

(

2

44222

2244













ba

bababa

证②由

2

)(

)

2

(

2

2

222

22BA

BA

BABA









∴左222)

1

1(

2

1

][

2

1

)]

1

()

1

[(

2

1

abab

ba

ba

b

b

a

a



（*）

∵4

1

4

1

)

2

(2





ab

ba

ab

3

∴(*)

2

25

)41(

2

1

2

方法四：放缩法：)1(loglog)2(

)1(

)1(



nn

n

n

n

∵n>1，∴0log)1(n

n

∴只要证：1loglog)2(

)1()1(





n

n

n

n

即可

左<2)2(

)1(

2)2(

11

]log

2

1

[)]log(log

2

1

[







nn

n

n

n

n

n

<1]log

2

1

[](log

2

1

[2)1(

)1(

2)12(

1

22







n

n

nn

n

方法五：分析法：设a

1，a2，b1，b2

R，求证：

21212211

))((bbaababa

(自证)

方法六：归纳猜想、数学归纳法：设0,0ba，求证：

2

)

2

(

nn

n

baba





（自

证）

高考数学百大经典例题——不等式性质

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,abcd，则

acbd（若,abcd，则acbd），但异向不等式不可以相加；同

向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可

以相除，但不能相乘：若0,0abcd，则acbd（若

0,0abcd，则

ab

cd

）；

4

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或

nnab；

4．若0ab，ab，则

11

ab

；若0ab，ab，则

11

ab

。如

（1）对于实数

cba,,

中，给出下列命题：

①22,bcacba则若

；②

babcac则若,22；

③22,0bababa则若

；④

ba

ba

11

,0则若；

⑤

b

a

a

b

ba则若,0；⑥baba则若,0；

⑦

bc

b

ac

a

bac







则若,0；⑧

11

,ab

ab

若，则0,0ab。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是______

（答：137xy）；

（3）已知cba，且,0cba则

a

c

的取值范围是______

（答：

1

2,

2









）

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；

3．分析法；

4．平方法；

5．分子（或分母）有理化；

6．利用函数的单调性；

7．寻找中间量或放缩法；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设

0,10taa且

，比较

2

1

loglog

2

1t

t

aa

和的大小

（答：当1a时，

11

loglog

22aa

t

t



（1t时取等号）；当01a时，

11

loglog

22aa

t

t



（1t时取等号））；

（2）设2a，

1

2

pa

a





，2422aaq，试比较qp,的大小

（答：pq）；

（3）比较1+3log

x

与)10(2log2xx

x

且的大小

（答：当01x或

4

3

x时，1+3log

x

＞2log2

x

；当

4

1

3

x时，1+3log

x

＜2log2

x

；当

4

3

x时，1+3log

x

＝2log2

x

）

5

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定

积最大，积定和最小”这17字方针。如

（1）下列命题中正确的是

A、

1

yx

x

的最小值是2

B、

2

2

3

2

x

y

x







的最小值是2

C、

4

23(0)yxx

x

的最大值是243

D、

4

23(0)yxx

x

的最小值是243

（答：C）；

（2）若21xy，则24xy的最小值是______

（答：22）；

（3）正数,xy满足21xy，则

yx

11



的最小值为______

（答：322）；

4.常用不等式有：（1）222

2211

abab

ab

ab







(根据目标不等式左

右的运算结构选用)；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当

abc时，取等号）；（3）若

0,0abm

，则

bbm

aam







（糖水的浓度问

题）。如

如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是_________

（答：9,）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大

小，然后作出结论。).

常用的放缩技巧有：

2

1111111

1(1)(1)1nnnnnnnnn





111

11

121

kkkk

kkkkk





如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；

(2)已知Rcba,,，求证：)(222222cbaabcaccbba；

（3）已知,,,abxyR，且

11

,xy

ab

，求证：

xy

xayb





；

(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：

lglglglglglg

222

abbcca

abc



；

（5）已知Rcba,,，求证：2222abbc22()caabcabc；

(6)若*nN，求证：2(1)1(1)nn21nn；

6

(7)已知||||ab，求证：

||||||||

||||

abab

abab







；

（8）求证：

222

111

12

23n

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一

次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次

因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意

奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现

()fx

的符号变化规律，写出不等式的

解集。如

（1）解不等式2(1)(2)0xx

。

（答：{|1xx或2}x）；

（2）不等式2(2)230xxx的解集是____

（答：{|3xx或1}x）；

（3）设函数()fx、()gx的定义域都是R，且()0fx的解集为

{|12}xx，()0gx的解集为，则不等式()()0fxgx的解集为______

（答：(,1)[2,)）；

（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的

值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范

围是______.

（答：

81

[7,)

8

）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再

通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最

后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒

为负时可去分母。如

（1）解不等式

2

5

1

23

x

xx







（答：(1,1)(2,3)）；

（2）关于x的不等式0bax的解集为),1(，则关于x的不等式

0

2







x

bax

的解集为____________

（答：),2()1,(）.

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式|

2

1

|2|

4

3

2|xx

（答：xR）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式|||1|3xx

（答：(,1)(2,)）

（4）两边平方：如

若不等式|32||2|xxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为______。

7

（答：

4

{}

3

）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，

分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。

注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，

最后应求并集.如

（1）若

2

log1

3a

，则a的取值范围是__________

（答：1a或

2

0

3

a）；

（2）解不等式

2

()

1

ax

xaR

ax





（答：0a时，{|x0}x；0a时，

1

{|xx

a

或0}x；0a时，

1

{|0}xx

a

或0}x）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；

（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端

点值。如关于x的不等式0bax的解集为)1,(，则不等式0

2







bax

x

的解集

为__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

ab、同号或有0||||||abab||||||||abab

；

ab、异号或有0||||||abab||||||||abab

.

如设2()13fxxx，实数a满足||1xa，求证：

|()()|2(||1)fxfaa

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住

所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

min

fxA

若不等式Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

max

fxB

如（1）设实数,xy满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取值范围是

______

（答：21,







）；

（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围

_____

（答：1a）；

（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值

范围_____

（答：（

71

2



,

31

2



））；

8

（4）若不等式

n

a

n

n

1)1(

2)1(



对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是_____

（答：

3

[2,)

2

）；

（5）若不等式22210xmxm对01x的所有实数x都成立，求m

的取值范围.

（答：

1

2

m）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式Axf

成立,则等价于在区间D上



max

fxA；

若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立,则等价于在区间D上的



min

fxB.如

已知不等式axx34在实数集

R

上的解集不是空集，求实数a的取

值范围____

（答：1a）

3).恰成立问题

若不等式Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式Axf的解集为

D；

若不等式Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式Bxf的解集为D.