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1.2-子集、全集、补集讲义教学

1/14

1.2子集、全集、补集

要点一子集、真子集[重点]

在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们

会发现这样一个现象：

正整数集中的所有元素都在自然数集中；

自然数集中的所有元素都在整数集中；

整数集中的所有元素都在有理数集中；

有利数集中的所有元素都在实数集中.

其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.

1．子集

(1)定义：

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集

合B的子集，记作AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A”.

(2)举例：

例如，{4，5}Z，{4，5}Q，ZQ，QR.AB可以用图1-2-1来表示.

(3)理解子集的定义要注意以下四点：

①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由

x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1}{-1，0，1，2}.

②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属

于集合A本身，记作AA.

③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有A.

④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若

A=，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A

是集合B的子集.

以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.

(4)例题：

例1设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且AB，求a的值.

解：∵AB，∴a2-a+1=3或a2-a+1=a，

由a2-a+1=3，得a=2或a=-1；由a2-a+1=a，得a=1.

经检验，当a=1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合

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题意的a的值为-1，2.

2．真子集

(1)定义：

如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB或BA，读作

“A真包含于B”或“B真包含A”.

(2)举例：

{1，2}{1，2，3}.

(3)理解子集的定义要注意以下四点：

①空集是任何非空集合的真子集.

②对于集合A、B、C，如果AB，BC，那么AC.

③若AB，则









A=BAB且BA

A≠BAB

.

④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“”表示；集合

与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“”“”

“”和“=”.

(4)例题：

例2写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集.

解：{a,b,c}的所有子集是：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，

c}.

其中除了{a，b，c}外，其余7个集合都是它的真子集.除了，{a，b，c}外，其余6

个都是它的非空真子集.

练习：

1．判断下列命题的正误：

(1){2，4，6}{2，3，4，5，6}；(2){菱形}{矩形}；

(3){x|x2+1=0}{0}；(4){(0，1)}{0，1}.

解题提示：根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否

都是后一个集合的元素.

解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他

的菱形不是矩形；(3)中集合{x|x2+1=0}是，而是任何集合的子集；(4)中{(0，1)}

是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4).

判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合

评

点

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中.

2．写出集合A={p，q，r，s}的所有子集.

解题提示：根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏

掉.

解：集合A的子集分为5类，即

(1)；

(2)含有一个元素的子集：{p}，{q}，{r}，{s}；

(3)含有两个元素的子集：{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}；

(4)含有三个元素的子集有：{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}；

(5)含有四个元素的子集有：{p，q，r，s}．

综上所述：集合A的子集有，{p}，{q}，{r}，{s}，{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，

p}，{p，r}，{q，s}，{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}，{p，q，r，s}，共

16个．

给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.

以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m个元素，则其子集有2m

个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个.

3．给出下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若

A，则A≠．其中正确的序号有____④______．

解题提示：从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.

解析：①错误，空集是任何集合的子集，；②错误，如空集的子集只有1个；③

错误，不是的真子集；④正确，∵是任何非空集合的真子集.

求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子

集，即对于任意一个集合A，有A.

(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A，有AA.

4．满足集合{1，2，3}M{1，2，3，4，5}的集合M的个数是__2____．

评

点

评

点

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解题提示：根据所给关系式，利用{1，2，3}是M的真子集，且M真包含于{1，2，

3，4，5}的关系判断集合M中的元素个数.

解析：依题意，集合M中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M{1，

2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．

(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，

然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.

(2)若{a

1

，a

2

，…，a

m

}A{a

1

，a

2

，…，a

m

，a

m+1

，…，a

n

}，则A的个数为

2n

－

m.

若{a

1

，a

2

，…，a

m

}A{a

1

，a

2

，…，a

m

，a

m+1

，…，a

n

}，则A的个数为2n

－

m-1.

若{a

1

，a

2

，…，a

m

}A{a

1

，a

2

，…，a

m

，a

m+1

，…，a

n

}，则A的个数为2n

－

m-2.

要点二补集、全集[重点]

1．补集

设AS，由S中不属于A的所有

元素组成的集合称为S的子集A的补集，

记作

S

A(读作“A在S中的补集”)，即



S

A={x|x∈S，且xA}.C

S

A可用图1-2-2中的阴影部分来表示.

2．全集.

(1)定义：

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作

U.

(2)举例：

例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合

时，N便可看做一个全集U.

3．理解补集、全集要注意以下两点：

(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与

所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集

时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个

评

点

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子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.

(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的

元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U=a，b，c，d，e，f，A=b，f，求

C

U

A.该题中显然AU，从U中除去子集A的元素b、f，乘下的

a、c、d、e组成的集合即为

U

A=a，c，d，e.另外，原题若是无限集，在实数范围内

求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A=xx>3，求

U

A.

用数轴表示如图1-2-3，可知

U

A=xx>3.

4．例题

例2不等式组









2x-1>0，

3x-6≤0

的解集为A，U=R.试求A及C

U

A，并把它们分别表示在

数轴上.

解：A=x2x-1>0且3x–6≤0=

1

2

2









，在数轴上表示如图1-2-4(1).

C

U

A=

1

,2

2

xxx









或

，在数轴上表示如图1-2-4(2).

练习

5．已知全集U=R，集合A={x|1

U

A.

解题提示：在数轴上标出集合A，结合补集的定义求解.

解：根据补集的定义，在实数集R中，由所有不属于A的实数组成的集合，就是C

U

A，

如图1-2-5，结合数轴可知，C

U

A={x|1

涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取

舍.

6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x|x∈A，且x<1}，C={x|x-1A，

且x∈U}.

(1)判断A、B的关系；

(2)求C

U

B、C

U

C，并判断其关系.

1

2

21

2

2

x

016

评

点

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6/14

解题提示：根据题意，先写出全集U，按所给集合B、C的含义，写出B、C，并

求其补集后求解第(2)题.

解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C中的元素必须满足以下两

个条件：x∈U，x-1A.

若x=0，此时0-1=-1A，∴0是C中的元素；

若x=1，此时1-1=0∈A，∴1不是C中的元素；

若x=2，此时2-1=1∈A，∴2不是C中的元素；

同理可知3，4，5是集合C中的元素，∴C={0，3，4，5}.

(1)∵A={0，1}，B={0}，∴BA；

(2)C

U

B={1，2，3，4，5}，C

U

C={1，2}，∴C

U

CC

U

B.

若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集.

7．设全集U={1，2，x2-2}，A={1，x}，求C

U

A.

解题提示：要求C

U

A，必须先确定集合A，实际上就是确定x的值，从而需要分类

讨论.

解：由条件知AU，∴x∈U={1，2，x2-2}，又x≠1，∴x=2或x=x2-2.

若x=2，则x2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去.

由x=x2-2得x2-x-2=0，解得x=-1或x=2(舍去).

此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C

U

A={2}.

求解此题首先确定参数x的值，然后确定出U和A的具体结果.在求解集合问题时必

须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.

8．已知A={x|x<5}，B={x|x

(2)AB.

解题提示：紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a范围.

解：(1)因为BA，B是A的子集，如图1-2-6(1)，故a≤5.

评

点

评

点

A

B

a

5

x

(2)

A

B

a

5

x

(1)

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7/14

(2)因为AB，B是A的子集，如图1-2-6(2)，故a≥5．

9．已知M={x|x=a2+1，a∈N*}，P={y|y=b2-6b+10，b∈N}，判断集合M与P之间

的关系.

解法一：集合P中，y=b2-6b+10=(b-3)2+1

当b=4，5，6，…时，与集合M中a=1，2，3，…时的值相同，而当b=3时，y=1∈P，

1M，∴MP.

解法二：对任意的x

0

∈M，有x

0

=a2

0

+1=(a

0

+3)2-6(a

0

+3)+10∈P(∵a

0

∈N*，∴a

0

+3∈

N)，∴MP，又b=3时，y=1，∴1∈P.

而1<1+a2

0

+1=(a

0

∈N*)，∴1M，从而MP.

10．已知全集U，集合A={1，3，5，7，9}，C

U

A={2，4，6，8}，C

U

B={1，4，6，8，

9}，求集合B.

解题提示：求集合B，需根据题意先求全集U，由于集合A及C

U

A已知，因此可

用Venn图来表示所给集合，将A及C

U

A填入即可得U

解：借助Veen图，如图1-2-7.

由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

∵C

U

B={1，4，6，8，9}

∴B={2，3，5，7}.

求本题中的全集，用Veen较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C

U

(C

U

B)=B.

教材问题探究

1.教材第8页“思考”

提示：对于集合A、B，如果AB，同时BA，那么A=B.这是因为由AB可知，

集合A的元素都是集合B的元素，又由BA知，集合B的元素也都是集合A的元素，

这就是说，集合A和集合B的元素是完全相同的，因而说集合A与集合B是相等的.

当A=B时，集合A中的每一个元素都在集合B中，集合B中的元素也都在集合A

中，即AB与BA同时成立.

综上所述，AB与BA同时成立的等价条件是A=B.

例判断下列两个集合的关系：

(1)A={x|(x-1)(x+1)=0}，B={x|x2=1}；

(2)C={x|x=2n，n∈Z}，D={x|x=2(n-1)，n∈Z}.

解：∵(1)A={-1，1}，B={-1，1}，∴A=B.

U

A

13，，

579，，

2

4

6

8

评

点

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8/14

(2)易知集合C为偶数，∵n∈Z，n-1∈Z，∴集合D也为偶数集，∴C=D.

2.教材第9页“思考”

提示：在(1)(2)(3)中除有AS，BS外，不难看出在S中属于A的所有元素均不

属于B，即x

i

∈S，x

i

∈A，但x

i

B，在S中属于B的所有元素均不属于A，即x

i

∈S，x

i

∈A，但x

i

A，也就是说，A、B两个集合没有公共元素，且它们的元素合在一起，恰好

是集合S的全部元素.

探究学习

1．教材第8页“?”

提示：集合{a

1

，a

2

，a

3

，a

4

}的子集有：，{a

1

}，{a

2

}，{a

3

}，{a

4

}，{a

1

，a

2

}，{a

2

，

a

3

}，{a

3

，a

4

}，{a

1

，a

4

}，{a

1

，a

3

}，{a

2

，a

4

}，{a

1

，a

2

，a

3

}，{a

1

，a

2

，a

4

}，{a

2

，a

3

，a

4

}，

{a

1

，a

3

，a

4

}，{a

1

，a

2

，a

3

，a

4

}.

拓展：集合{a

1

，a

2

，a

3

，a

4

}有多少个真子集？有多少个非空真子集？

提示：由上可知，集合{a

1

，a

2

，a

3

，a

4

}有15个真子集，有14个非空真子集.

一个集合含有n个元素，则它的所有自己有2n个，真子集有(2n-1)个(去掉集合本身)，

非空真子集有(2n-2)个(去掉集合本身及空集).

典型例题解析

例1设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的

真子集？

解题提示：要确定集合A的子集、真子集，首先必须清楚集合A中的元素，由于

集合A中的元素是方程(x2-16)(x2+5x+4)=0的根，所以要先解该方程.

解：将方程(x2-16)(x2+5x+4)=0变形，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，则可得方程的根为x=-4

或x=-1或x=4.故集合A={-4，-1，4}，真子集有，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，

4}，{-1，4}，{-4，-1，4}，真子集有，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4，4}，{-1，

4}

写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集—和自身；其次，依次按含

考点一确定集合的子集与真子集

评

点

考点二集合间的关系问题

1.2-子集、全集、补集讲义教学

9/14

有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集等一一写处，就可避免重

复和遗漏现象的发生.

例2设全集U={1，4，a2+4a-2}，A={|3a-2|，4}，C

U

A={3}，求实数a的值.

解题提示：∵C

U

A={3}，∴3∈U，且3A，由补集的定义知A={1,4}.

解：∵C

U

A={3}，说明3∈U，且3A，∴a2+4a-2=3，∴a=-5或a=1.

①当a=1时，|3a-2|=1≠3，此时A={1，4}，满足题意.

②当a=-5时，|3a-2|=17，此时A={17，4}U，不满足题意.

∴a的值为1.

例3已知{1，2}M{1，2，3，4，5}，则这样的集合M有8.

解题提示：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1、2，至多含有元

素1、2、3、4、5，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M，

解析：(1)当M中含有两个元素时，M为{1，2}；

(2)当M中含有三个元素时，M可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；

(3)当M中含有两个元素时，M可能为{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；

(4)当M中含有两个元素时，M为{1，2，3，4，5}；

所有满足条件的M为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，

{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个.

首先根据子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有

元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.

例4已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求实数m的取

值范围.

解题提示：对B要进行讨论，分B为空集和非空集合两种情况.

考点三利用集合与函数、不等式、方程的关系求参数问题

1.2-子集、全集、补集讲义教学

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解：(1)若B≠，则由BA(如图1-2-5)，得











m+1≤2m-1，

m+1≥-2，

2m-1≤5，

解的2≤m≤3.

(2)若B=，则m+1>2m-1，m<2，此时BA也成立.

由(1)和(2)，得m≤3，所以实数

m的取值范围是{m|m≤3}.

在处理含有参数的子集问题市场借助数轴，数形结合，理清条件，使关系明朗，易于

求解.

例5已知集合A={x|1≤ax≤2}，B={x||x|<1}，求满足AB的实数a的取

值范围.

解题提示：对参数进行讨论，写出集合A、B，使其满足，求a的值.

解：(1)当a=0时，A=，满足AB.

(2)当a>0时，2

1

A=.B=11,ABxxxx

a

a













又

.∴

1

1

2.

2

1

a

a

a





















(3)当a<0时，

2

1

21

A=B=112.

1

1.

a

xxxxa

aa

a





























，

，又，AB.

综上所述，a=0，或a≥2，或a≤-2.

根据子集的定义，把形如AB的问题转化为不等式组问题，使问题得以解决.在解决

问题的过程中，应首先考虑A=的情况.在建立不等式的过程中，借助数轴，是解决本题

重要一环，若不等式中含有参数，一般需对参数进行讨论，进而正确解出不等式.

例6已知全集S={1，3，x3+3x2+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果C

S

A={0}，

那么这样的实数x是否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由.

解题提示一：由C

S

A={0}可知0∈S，但0A，所以x3+3x2+2x=0，且|2x-1|=3，

从中求出x即可.

评

点

B

-2

1m21m

5

A

x

评

点

1.2-子集、全集、补集讲义教学

11/14

解法一：∵S={1，3，x3+3x2+2x}，A={1，|2x-1|}，C

S

A={0}，∴0∈S，但0A，

∴

32320

1.

213

xxx

x

x

















，

解的

，

综上知，实数x存在，且x=-1.

解题提示二：由C

S

A={0}可知0∈S，但0A，由0∈S可求x，然后结合0A来

验证是否有AS及是否符合集合中元素的互异性，从而得出结论.

解法二：∵C

S

A={0}，∴0∈S，但0A，∴x3+3x2+2x=0，即x(x+1)(x+3)=0，

∴x=0或x=-1或x=-2.

当x=0时，|2x-1|=1，A中已有元素1，故不符合互异性，舍去；

当x=-1时，|2x-1|=3，而3∈S，符合题意；

当x=-2时，|2x-1|=5，而5S，舍去.

综上知，实数x存在，且x=-1.

例7已知A={x|x<-1或x>5}，B={x∈R|a

范围.

解题提示：注意到B≠，将A在数轴上保释出来，再将B在数轴上表示出来，使

得AB，即可得a的取值范围.

解：如图-2-6，∵AB，∴a+4≤-1或a≥5，∴a≤-5或a≥5.

本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的

思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是

各端点的取值情况,

方法一数形结合思想

A

14a

a

BA

4a

a

B

5

A

A

5

1

评

点

1.2-子集、全集、补集讲义教学

12/14

例8设2A=8150B=10,xxxxax，若BA，求实数a的值.

解题提示：集合B是方程ax-1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a=0时，

B=，此时符合BA.

解：集合A={3，5}，当a=0时，B=，满足BA.∴a=0符合题意.

当a≠0时，B≠，

1

.x

a



∵BA，∴

综上，a的值为0或

1

3

或

1

5

.

当BA时，B中含有参数，而A是一个确定的非空集合，要特别注意B=的情况，

不要遗漏，否则会丢解.

考点点击：高考中对子集、真子集、补集以及集合相等的概念考察较多，但难度不大，

命题多为填空题.

例1(2010·重庆高考)设，若，则实数.2

U

U=0123.A=U0A=12xxmx，，，，若，，ð



U

0A=12mx，若，，ð则实数m=-3.

解析：2

U

A=12A=，，，，，是方程的根，ð

例2(2010·天津高考)设集合A=1RB=2RABxxaxxxbx，，，，若，

2RABx，，若，

则实数a，b满足3ab.

解析：A=11B=22xaxaxxbxb，或，

由AB



得

1

2

a

b



或

1

2

a

b





，即3ab或3ab



，即

例3(2007·北京高考)记关于x的不等式

0

1

xa

x







的解集为P，不等式11x的解

集为Q.

(1)若a=3，求P；

(2)若QP，求整数a的取值范围.

方法二分类讨论思想

评

点

1.2-子集、全集、补集讲义教学

13/14

解：3

(1)0P=13.

1

x

xx

x







由得

(2)Q=11,

02

xxx

x



0P=2axxaa由，得又，所以，

即a的取值范围是(2，+∞).

学考相联

原形类型教材内容直通高考

教材问题教材第9页例3考点点击例2、例3

点评

两者均考察了简单不等式问题及集合之间的关系，虽然教材例题侧重

于不等式与补集，高考题侧重于不等式与子集，但因不等式问题与集合关

系之间存在共性，解题方法大同小异.在解不等式问题时，要充分利用数轴，

体现数形结合的解题思想；集合之间的关系要分析透彻，是子集，还是真

子集，亦或是补集.另外要注意特殊集合.

如何判断集合间的关系

判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点之一.下面举两例介绍

几种常用的方法，帮助你开拓思想.

1.对比集合的元素

例1*A=N8B=2N05,xxxxkkk已知，，，且

那么集合A与B的关

系为(BA).

解析：因为A={1，2，3，4，5，6，7，8}，B={2，4，6，8}，集合B中的元素2，4，

6，8都是集合A中的元素，而集合A中的元素1，3，5，7不是集合B中的元素，所以

BA.

2.数形结合比较范围

例2已知2A=yy=26RB=475xxxxx，，，

那么集合A与B的关系为

(BA).

解析：对于二次函数2A=yy=26RB=475xxxxx，，，

，4(6)4

7A=yy7.

4

y







最小

，

又

7

3

1.2-子集、全集、补集讲义教学

14/14

B=3xx，

由图1-2-7知，BA.

3.利用传递性判断

例3已知集合

11

ABB=ZC=Z

4284

kk

xxkxxk











，，，，，

那么集合

A与C的关系为(AC).

解析：将B、C变形得

242

B=ZC=Z

88

kk

xxkxxk









，，，，

可知BC.

又ABC，即AC.

例4已知集合22A=4640B=06xxmxm，，，若AB，求实数m的取值

范围.

解：ABB=06A=A=0A=6A=06.



，，，或或或，

(1)当A=时，Δ=(4m+6)2-4×4m2<0，解得m<－

3

4

.

(2)当A={0}时，由根与系数的关系得

2

0+0=46

004

m

m











，

，

此方程组无解.

(3)当A={6}时，由根与系数的关系得

2

6+6=46

664

m

m











，

，

此方程组无解.

(4)当A={0，6}时，由根与系数的关系得

2

0+6=46

06=4

m

m











，

，

解得m=0.

综上知实数m的取值范围为m<－

3

4

或m=0

解决子集问题时，往往易溢漏“”和它“本身”，所以杂解决有关子集的问题时，

一定要考虑到两个特殊的子集：“”和它“本身”，并注意单独验证它们是否符合题意.