勾股定理小论文

勾股定理小论文

勾股定理是一个基本的几何定理，直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）

边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直

角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c²。勾股定理现发现约有400种证明方法，

是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组成a²+b²=c²的正整数组(a,b,c)。

(3,4,5)就是勾股数。

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之

一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。当整数a,b,c满足a²+b²

=c²这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。也就是说，设直角三角形两直角边为a和

b，斜边为c，那么a²+b²=c²。”常见勾股数有（3,4,5）（5,12,13）（6,8,10）。

远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许

多勾股数组。古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应

用过勾股定理。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理

的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉

斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

中国记载勾股定理的古籍有《周髀算经》，《九章算术》。《九章算术》

中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可

以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦

成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开

方除之，复得勾矣。加差于勾即股。”用现代的数

学语言描述就是黄实的面积等于大正方形的面积

减去四个朱实的面积。2002年第24届国际数学家

大会（ICM）的会标即为该图。

加菲尔德证法在证出此结论5年后，成为美国

第20任总统，所以人们又称其为“总统证法”。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，

△AEC≌△CDB，

，

，

，

，

，

，

青朱出入图，是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾

股定理的几何证明法，特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，

因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意

直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱

方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各

从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。以及最为著名的欧

几里得证法：