质数列

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page1of6

1.掌握质数与合数的定义

2.能够用特殊的偶质数2与质数5解题

3.能够利用质数个位数的特点解题

4.质数、合数综合运用

一、质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有

别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、

7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25

个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

二、判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我

们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个

大于且接近p的平方数2K

，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为

质数.例如：149很接近1441212，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

模块一、判断质数合数

【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊

欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请

你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，

将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．

【考点】判断质数合数【难度】1星【题型】填空

【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

11121314

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

62728

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

2936373839404142

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．

4344454647484956

将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．

【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山

例题精讲

知识点拨

知识框架

5-3-1.质数与合数（一）

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page2of6

【例2】著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于4的偶数都可以表示为两个质数的和”。如6=3+3，12=5+7，

等。那么，自然数100可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97和

100=97+3算作同一种形式）。

【考点】判断质数合数【难度】

2

星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，复赛，第

13

题，

15

分

【解析】逐一试验，可知：

753

为所有符合条件的情况，

所以共6种。

【答案】

6

【例3】在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（）.

（A）0(B)1(C)2(D)3

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】选择

【关键词】华杯赛初赛第4题

【解析】19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考查2009这个数是否是质数。实际上，

2009=7×41，是个合数，所以在19，197，2009这三个数中有2个质数。正确答案为C。

【答案】C

【例4】大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世

界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π的值计算到了小数点后515

亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是

质数，但314不是质数，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是

质数？．

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空

【关键词】祖冲之杯

【解析】注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，质数

是314159．

【答案】质数是314159

【例5】用L表示所有被3除余1的全体正整数．如果L中的数(1不算)除1及它本身以外，不能被L的任

何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】填空

【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛

【解析】“L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉1，16，

28，…，即为4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第8个“L—质数”是31．

【答案】31

【例6】9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答

【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101，

103，107，109是4个质数。

【答案】101，103，107，109是4个质数

【例7】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个

面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的

值？

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答

【解析】小于20的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，其中5197171113.每个木块掷在地上

后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是55515，最大是19191957，

经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。

【答案】22

【例8】自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数

有多少个？

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page3of6

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答

【关键词】全国小学奥林匹克

【解析】这样的自然数有4个：23，37，53，73．

【答案】4

【例9】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易

记住，因为它的形式为

abba

，其中

ab

，而且ab和ba都是质数(a和b是两个数字)．具有这种形

式的数共有多少个？

【考点】判断质数合数【难度】2星【题型】解答

【解析】若两位数ab、ba均为质数，则a、b均为奇数且不为5，故有1331，3113，1771，7117，7337，3773，

9779，7997共8个数．

【答案】8

【例10】炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、

陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明

了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)

的数组．例如，3k时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：

而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．

【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】填空

【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练

【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是

5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：

【答案】5、17、29答案不唯一

【例11】图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相

邻二质数之积填在下行方格中．

质数列

乙填“积数”

甲填“和数”

97

89

13

117

5

3

2

3515

6

128

5

...

...

.........

...

...

...

......

...

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?

【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答

【关键词】华杯赛，口试

【解析】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均

为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以

甲填的数与乙填的数都不相同．

【答案】质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均

为不小于8的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数．所以

甲填的数与乙填的数都不相同．

【例12】从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字

之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？

【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page4of6

【关键词】全国小学数学奥林匹克

【解析】由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相

邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9，

第二位选8，第三位最大可以选7，但7与8之和不是质数，再改选5，8与5之和是质数，符合要

求．第四位可选剩余的最大数字6，如此类推……十位可选3，个位选2．所以，可以读到的最大数

是98567432．数字排列如下图．

3

4

7

6

5

8

9

2

【答案】98567432

【例13】九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐

22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那

么有多少个老人？原有多少辆大巴？

【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答

【关键词】祖冲之杯

【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，

所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人222232323529(个)．

【答案】24辆车，529位老人

【例14】一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都

仍为质数．满足条件的两位数为

【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，8分

【解析】两位数乘以3之后，数字和一定被3整除。又因为是质数，所以只能是3。有102，111，120，201，

210这五种情况。依次分析：

3倍原数数字和5倍数字和7倍数字和

102347（质）1708（合）

1113710（合）

120404（合）

2016713（质）33511（质）46919（质）

210707（质）3508（合）

所以，满足条件的两位数为67

【答案】67

【例15】三位数A满足：它的所有质因数之和是26。这样的三位数A有个。

【考点】判断质数合数【难度】4星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级，1试，第6题

【解析】26以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23，所以这样的三位数有13个。

【答案】13

模块二、质数个位性质

【例16】哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的

质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1?

【考点】偶质数2【难度】2星【题型】填空

【关键词】华杯赛初赛第8题

【解析】个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71，其中168－11＝157，168－31＝137，168－41

＝127168－61＝107，都不是两位数，只有168－71＝97是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97

是唯一的解

【答案】

71

与

97

【例17】有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page5of6

【考点】判断质数合数【难度】3星【题型】解答

【关键词】走美杯，四年级，初赛，第7题

【解析】数要最小，首先位数高的要尽可能的小，则最小的为112，最大的为711.

【关键词】最小的为112，最大的为711

【例18】万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数

是几？

【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答

【关键词】俄罗斯数学奥林匹克

【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8也不可能是奇数5．如果末位数字是3或9，那

么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是7．这个

三位质数可以是167，257，347，527或617中间的任一个．

【答案】可以是167，257，347，527或617中间的任一个

【例19】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？

【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答

【解析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2；又质数中除了2和5，其余

质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个

位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12的数个位即为5，也不可能为

质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9，因此最小的数只能是5，这5个数依次是5，

17，29，41，53.这样的数只有一组.

【答案】1组

【例20】若A、

1A

、

2A

都是质数，则A__________（

1A

是指十位数字为1，个位数字为A的两位数)

【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，五年级，初赛，第2题

【解析】A是质数，只能为2、3、5、7，但是12、15、27都不是质数，所以A=3

【答案】3

【例21】已知n，6n，84n，102n，218n都是质数，那么n。

【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】填空

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】由于6，84，102，218除以5的余数分别为1，4，2，3所以n，6n，84n，102n，218n

这5个数除以5的余数互不相同，那么其中必然有除以5余0的，也就是有5的倍数，而这5个数都

是质数，那么只能是5。由于6n，84n，102n，218n都比5大，所以n为5。

【答案】5

【例22】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.

【考点】质数个位性质【难度】2星【题型】解答

【解析】有六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47.

【答案】6个，11，13，17，23，37，47.

【例23】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，

可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答

【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三

张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整

除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31.

【答案】2，3，13，23，31

【例24】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那

么这9个数字最多能组成多少个质数.

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答

【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、

5-3-1.质数与合数（一）.题库教师版page6of6

8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数

67．所以这9个数字最多可以组成6个质数。

【答案】6

【巩固】用0-9这10个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是。

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，6年级，决赛，第4题，10分

【解析】2+3+5+67+89+401=567.

【答案】567

【例25】用0～9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是

________．

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空

【关键词】迎春杯，六年级，初试，第5题）

【解析】根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有4、68、9，还剩

下0、1、2、3、5、7这六个数构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，则为1、2、3，个位上

的数有0、5、7，根据题意，10、27、35或15、27、30均为合数，所以合数的最小值为：

4+6+8+9+10+27+35=99。

【答案】99

【例26】用数字卡片1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把6倒过来当作9，也不许把9

倒过来当作6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________．

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】填空

【关键词】学而思杯，5年级，第2题

【解析】

23,29

；

53,59

；

41,47

；61和为23295359414761313

【答案】313

【例27】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答

【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为21的条件下数

量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说

明这些质数最多可能有8+1=9个，则大于21的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112，但112

不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19，使得结果为偶数，说明在

原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为112-19=93，仍

然不是质数，则可以做微调93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3，5，

7，11，13，19，89，最大的一个是89。

【答案】89

【例28】如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质

数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数

【考点】质数个位性质【难度】3星【题型】解答

【解析】由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p

的所有可能取值为5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是2p-1的所有可能

取值为9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2p-1应为质数，

因此2p-1只可能为13，37，61或73。再由条件③知2p-1除以9所得的余数应为4，于是2p-1

只可能是13，从而这个幸运数只能是2p=14。

【答案】14