二元一次方程求根公式

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二元一次方程解法大全

1、直接开平方法：

直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如

(*-m)2=n(n≥0)的方程，其解为*=±根号下n+m.

例1．解方程（1）(3*+1)2=7（2）9*2-24*+16=11

分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3*-4)2，

右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3*+1)2=7×

∴(3*+1)2=5

∴3*+1=±(注意不要丢解)

∴*=

∴原方程的解为*1=,*2=

（2）解：9*2-24*+16=11

∴(3*-4)2=11

∴3*-4=±

∴*=

∴原方程的解为*1=,*2=

2．配方法：用配方法解方程a*2+b*+c=0(a≠0)

先将常数c移到方程右边：a*2+b*=-c

将二次项系数化为1：*2+*=-

方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：*2+*+()2=-+()2

方程左边成为一个完全平方式：(*+)2=

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当b^2-4ac≥0时，*+=±

∴*=(这就是求根公式)

例2．用配方法解方程3*^2-4*-2=0(注：*^2是*的平方）

解：将常数项移到方程右边3*^2-4*=2

将二次项系数化为1：*2-*=

方程两边都加上一次项系数一半的平方：*2-*+()2=+()2

配方：(*-)2=

直接开平方得：*-=±

∴*=

∴原方程的解为*1=,*2=.

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac

≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式*=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到

方程的根。

例3．用公式法解方程2*2-8*=-5

解：将方程化为一般形式：2*2-8*+5=0

∴a=2,b=-8,c=5

b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴*=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)

∴原方程的解为*1=,*2=.

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式

的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程

所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

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(1)(*+3)(*-6)=-8(2)2*2+3*=0

(3)6*2+5*-50=0(选学）(4)*2-2(+)*+4=0（选学）

(1)解：(*+3)(*-6)=-8化简整理得

*2-3*-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)

(*-5)(*+2)=0(方程左边分解因式)

∴*-5=0或*+2=0(转化成两个一元一次方程)

∴*1=5,*2=-2是原方程的解。

(2)解：2*2+3*=0

*(2*+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)

∴*=0或2*+3=0(转化成两个一元一次方程)

∴*1=0，*2=-是原方程的解。

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉*=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

(3)解：6*2+5*-50=0

(2*-5)(3*+10)=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

∴2*-5=0或3*+10=0

∴*1=,*2=-是原方程的解。

(4)解：*2-2(+)*+4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）

(*-2)(*-2)=0

∴*1=2,*2=2是原方程的解。

小结：

一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先

将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

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直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能

法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应

先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以

一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握

的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待

定系数法）。

二元一次方程练习题

一、判断

1、是方程组的解…………（）

2、方程组的解是方程3*-2y=13的一个解（）

3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组（）

4、方程组，可以转化为（）

5、若(a2-1)*2+(a-1)*+(2a-3)y=0是二元一次方程，则a的值为±1（）

6、若*+y=0，且|*|=2，则y的值为2…………（）

7、方程组有唯一的解，则m的值为m≠-5…………（）

8、方程组有无数多个解…………（）

9、*+y=5且*，y的绝对值都小于5的整数解共有5组…………（）

10、方程组的解是方程*+5y=3的解，反过来方程*+5y=3的解也是方程组的解………（）

11、若|a+5|=5，a+b=1则………（）

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12、在方程4*-3y=7里，如果用*的代数式表示y，则（）

二、选择：

13、任何一个二元一次方程都有（）

（A）一个解；（B）两个解；

（C）三个解；（D）无数多个解；

14、一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，则符合条件的两位数的个数有（）

（A）5个（B）6个（C）7个（D）8个

15、如果的解都是正数，则a的取值范围是（）

（A）a<2；（B）；（C）；（D）；

16、关于*、y的方程组的解是方程3*+2y=34的一组解，则m的值是（）

（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；

17、在下列方程中，只有一个解的是（）

（A）（B）

（C）（D）

18、与已知二元一次方程5*-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）

（A）15*-3y=6（B）4*-y=7（C）10*+2y=4（D）20*-4y=3

19、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

（A）（B）

（C）（D）

20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）

（A）a=-3,b=-14（B）a=3,b=-7

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（C）a=-1,b=9（D）a=-3,b=14

21、若5*-6y=0，且*y≠0，则的值等于（）

（A）（B）（C）1（D）-1

22、若*、y均为非负数，则方程6*=-7y的解的情况是（）

（A）无解（B）有唯一一个解

（C）有无数多个解（D）不能确定

23、若|3*+y+5|+|2*-2y-2|=0，则2*2-3*y的值是（）

（A）14（B）-4（C）-12（D）12

24、已知与都是方程y=k*+b的解，则k与b的值为（）

（A），b=-4（B），b=4

（C），b=4（D），b=-4

三、填空：

25、在方程3*+4y=16中，当*=3时，y=________，当y=-2时，*=_______

若*、y都是正整数，则这个方程的解为___________；

26、方程2*+3y=10中，当3*-6=0时，y=_________；

27、如果0.4*-0.5y=1.2，则用含有y的代数式表示的代数式是_____________；

28、若是方程组的解，则；

29、方程|a|+|b|=2的自然数解是_____________；

30、如果*=1，y=2满足方程，则a=____________；

31、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；

32、若方程*-2y+3z=0，且当*=1时，y=2，则z=______；

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33、若4*+3y+5=0，则3(8y-*)-5(*+6y-2)的值等于_________；

34、若*+y=a，*-y=1同时成立，且*、y都是正整数，则a的值为________；

35、从方程组中可以知道，*:z=_______；y:z=________；

36、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；

四、解方程组

37、；38、；

39、；40、；

41、；42、；

43、；44、；

45、；46、；

五、解答题：

47、甲、乙两人在解方程组时，甲看错了①式中的*的系数，解得；乙看错了方程②中

的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误，请写出这个方程组，并求出此方程组的解；

48、使*+4y=|a|成立的*、y的值，满足(2*+y-1)2+|3y-*|=0，又|a|+a=0，求a的值；

49、代数式a*2+b*+c中，当*=1时的值是0，在*=2时的值是3，在*=3时的值是28，

试求出这个代数式；

50、要使下列三个方程组成的方程组有解，求常数a的值。

2*+3y=6-6a，3*+7y=6-15a，4*+4y=9a+9

51、当a、b满足什么条件时，方程(2b2-18)*=3与方程组都无解；

52、a、b、c取什么数值时，*3-a*2+b*+c程(*-1)(*-2)(*-3)恒等？

53、m取什么整数值时，方程组的解：

（1）是正数；

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（2）是正整数？并求它的所有正整数解。

54、试求方程组的解。

六、列方程（组）解应用题

55、汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误30分钟到达；若每小时行驶

50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？

56、*班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱，教师安排

他们与女生一起抬土，两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排

劳动时恰需筐68个，扁担40根，问这个班的男女生各有多少人？

57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟就可以追上乙；如果

甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？

58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩

下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰

好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。

59、甲、乙两人在A地，丙在B地，他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、

乙相向而行，甲每分钟走100米，乙每分钟走110米，丙每分钟走125米，若丙遇到乙后

10分钟又遇到甲，求A、B两地之间的距离。

60、有两个比50大的两位数，它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11

的倍数，且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。

【参考答案】

一、1、√；2、√；3、×；4、×；5、×；6、×；

7、√；8、√；9、×；10、×；11、×；12、×；

二、13、D；14、B；15、C；16、A；17、C；18、A；

19、C；20、A；21、A；22、B；23、B；24、A；

三、25、，8，；26、2；27、；28、a=3，b=1；

29、30、；31、3，-432、1；33、20；

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34、a为大于或等于3的奇数；35、4:3，7:936、0；

四、37、；38、；39、；40、；

41、；42、；43、；44、；

45、；46、；

五、47、，；48、a=-149、11*2-30*+19；

50、；51、，b=±352、a=6,b=11,c=-6；

53、（1）m是大于-4的整数，（2）m=-3，-2，0，，，；

54、或；

六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时；

56、设女生*人，男生y人，

57、设甲速*米/秒，乙速y米/秒

58、甲的容量为63升，乙水桶的容量为84升；

59、A、B两地之间的距离为52875米；

60、所求的两位数为52和62。

二元一次方程组练习题100道（卷二）

一、选择题：

1．下列方程中，是二元一次方程的是（）

A．3*－2y=4zB．6*y+9=0C．+4y=6D．4*=

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

A．

3．二元一次方程5a－11b=21（）

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A．有且只有一解B．有无数解C．无解D．有且只有两解

4．方程y=1－*与3*+2y=5的公共解是（）

A．

5．若│*－2│+（3y+2）2=0，则的值是（）

A．－1B．－2C．－3D．

6．方程组的解与*与y的值相等，则k等于（）

7．下列各式，属于二元一次方程的个数有（）

①*y+2*－y=7；②4*+1=*－y；③+y=5；④*=y；⑤*2－y2=2

⑥6*－2y⑦*+y+z=1⑧y（y－1）=2y2－y2+*

A．1B．2C．3D．4

8．*年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数*的2倍少2人，•则下面所列

的方程组中符合题意的有（）

A．

二、填空题

9．已知方程2*+3y－4=0，用含*的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示*

为：*=________．

10．在二元一次方程－*+3y=2中，当*=4时，y=_______；当y=－1时，*=______．

11．若*3m－3－2yn－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

12．已知是方程*－ky=1的解，则k=_______．

13．已知│*－1│+（2y+1）2=0，且2*－ky=4，则k=_____．

14．二元一次方程*+y=5的正整数解有______________．

15．以为解的一个二元一次方程是_________．

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16．已知的解，则m=_______，n=______．

三、解答题

17．当y=－3时，二元一次方程3*+5y=－3和3y－2a*=a+2（关于*，y的方程）•有相

同的解，求a的值．

18．如果（a－2）*+（b+1）y=13是关于*，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？

19．二元一次方程组的解*，y的值相等，求k．

20．已知*，y是有理数，且（│*│－1）2+（2y+1）2=0，则*－y的值是多少？

21．已知方程*+3y=5，请你写出一个二元一次方程，•使它与已知方程所组成的方程组

的解为．

22．根据题意列出方程组：

（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，•问明明两种邮票

各买了多少枚？

（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；•若每个笼

里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？

23．方程组的解是否满足2*－y=8？满足2*－y=8的一对*，y的值是否是方程组的解？

24．（开放题）是否存在整数m，使关于*的方程2*+9=2－（m－2）*在整数范围内有

解，你能找到几个m的值？你能求出相应的*的解吗？

答案：

一、选择题

1．D解析：掌握判断二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知

数的项的次数是1；③等式两边都是整式．

2．A解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的

项次数为1；③每个方程都是整式方程．

3．B解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．

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4．C解析：用排除法，逐个代入验证．

5．C解析：利用非负数的性质．

6．B

7．C解析：根据二元一次方程的定义来判定，•含有两个未知数且未知数的次数不超

过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．

8．B

二、填空题

9．10．－10

11．，2解析：令3m－3=1，n－1=1，∴m=，n=2．

12．－1解析：把代入方程*－ky=1中，得－2－3k=1，∴k=－1．

13．4解析：由已知得*－1=0，2y+1=0，

∴*=1，y=－，把代入方程2*－ky=4中，2+k=4，∴k=1．

14．解：

解析：∵*+y=5，∴y=5－*，又∵*，y均为正整数，

∴*为小于5的正整数．当*=1时，y=4；当*=2时，y=3；

当*=3，y=2；当*=4时，y=1．

∴*+y=5的正整数解为

15．*+y=12解析：以*与y的数量关系组建方程，如2*+y=17，2*－y=3等，

此题答案不唯一．

16．14解析：将中进行求解．

三、解答题

17．解：∵y=－3时，3*+5y=－3，∴3*+5×（－3）=－3，∴*=4，

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∵方程3*+5y=•－•3•和3*－2a*=a+2有相同的解，

∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．

18．解：∵（a－2）*+（b+1）y=13是关于*，y的二元一次方程，

∴a－2≠0，b+1≠0，•∴a≠2，b≠－1

解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．

（•若系数为0，则该项就是0）

19．解：由题意可知*=y，∴4*+3y=7可化为4*+3*=7，

∴*=1，y=1．将*=1，y=•1•代入k*+（k－1）y=3中得k+k－1=3，

∴k=2解析：由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，

化"二元”为"一元”，从而求得两未知数的值．

20．解：由（│*│－1）2+（2y+1）2=0，可得│*│－1=0且2y+1=0，∴*=±1，y=－．

当*=1，y=－时，*－y=1+=；

当*=－1，y=－时，*－y=－1+=－．

解析：任何有理数的平方都是非负数，且题中两非负数之和为0，

则这两非负数（│*│－1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到│*│－1=0，2y+1=0．

21．解：经验算是方程*+3y=5的解，再写一个方程，如*－y=3．

22．（1）解：设0．8元的邮票买了*枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得．

（2）解：设有*只鸡，y个笼，根据题意得．

23．解：满足，不一定．

解析：∵的解既是方程*+y=25的解，也满足2*－y=8，•

∴方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2*－y=8的解有无数组，

如*=10，y=12，不满足方程组．

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24．解：存在，四组．∵原方程可变形为－m*=7，

∴当m=1时，*=－7；m=－1时，*=7；m=•7时，*=－1；m=－7时*=1．

二元一次方程应用题

题型一：配套问题

1．*服装厂生产一批*种款式的秋装，已知每2米的*种布料可做上衣的衣身3个或衣袖

5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使

做的衣身和衣袖恰好配套？

题型二：年龄问题

2．甲对乙说："当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说："当我的岁数是

你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁？

题型三：百分比问题

3．有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%，现在要熔制

含银30%的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少？

题型四：数字问题

4．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，

则所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.

题型五：古算术问题

5．巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，

四人共吃一碗羹。请问先生明算者，算来寺内几多僧。诗句的意思是：寺内有三百六十四只

碗，如果三个和尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用，寺内共有和尚多少个？

题型六：行程问题

6．甲乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行，1小时

20分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再

次出发半小时后追上了拖拉机，这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？

题型七：工程问题

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7．*城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河

的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了

30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米，10天

后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0.4千米，结果

如期完成。问甲乙两队原计划每天各修多少千米？

题型八：方案决策问题

8．已知*电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000

元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该

电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选

择，并说明理由。

9．*地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后

销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家农工商公

司收获这种蔬菜140吨．该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工

16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件

限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种加工

方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工．方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及

进行加工的蔬菜在市场上直接销售．方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，

并恰好用15天完成．你认为选择哪种方案获利最多？为什么？