三角形重心坐标公式

c语⾔求解三⾓形的重⼼,三⾓形的重⼼怎么求

三⾓形重⼼是三⾓形三边中线的交点.

根据重⼼的性质,三边中线必交于⼀点.

所以作三⾓形任意两边的中线,其交点就是此三⾓形的重⼼.

1、重⼼到顶点的距离与重⼼到对边中点的距离之⽐为2：1.

证明⼀

三⾓形ABC,E、F是AB,AC的中点.EC、FB交于G.

证明：过E作EH平⾏BF.

∵AE=BE且EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(中位线定理)

⼜∵AF=CF

∴HF=1/2CF

∴EG=1/2CG(⊿CFG∽⊿CHE)

2、重⼼和三⾓形3个顶点组成的3个三⾓形⾯积相等.

证明⼆

证明⽅法：

在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三⾓形的重⼼,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重⼼性质

知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上⾼H1,H可知OH1=1/3AH

则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC)所

以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重⼼到三⾓形3个顶点距离平⽅的和最⼩.(等边三⾓形)

证明⽅法：

设三⾓形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平⾯上任意⼀点为(x,y)则该点到三顶点距离平⽅和为：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+

(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2

=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2

=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-

1/3(y1+y2+y3)^2

显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重⼼坐标)时

上式取得最⼩值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2

最终得出结论.

4、在平⾯直⾓坐标系中,重⼼的坐标是顶点坐标的算术平均数,

即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

空间直⾓坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：(z1+z2+z3)/3

5、三⾓形内到三边距离之积最⼤的点.

6、在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0(向量),则M点为△ABC的重⼼,反之也成⽴.

7、设△ABC重⼼为G点,所在平⾯有⼀点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)

8、相同⾼三⾓形⾯积⽐为底的⽐,相同底三⾓形⾯积⽐为⾼的⽐.

证明⽅法：

∵D为BC中点,

∴BD=CD,

⼜∵h△ABD=h△ACD,h△BOD=h△COD,

∴S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD,

即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD,

∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE.

同理,

∵E为AC中点,

∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD.

∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD.

⼜∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE,

即S△BOF=S△AOF.

∴BF=AF,

∴CF为AB边上的中线,

即三⾓形的三条中线相交于⼀点.

解析看不懂？求助智能家教解答查看解答