一元一次方程组

第一篇方程和方程组

方程与方程组包含四章内容:一元一次方程，一次方程组,分式方程,一元二次方程。方

程与方程组是初中核心知识之一，就其解法来说，是一种重要的数学技能；就其应用来说,

不管是实际问题，还是纯粹的数学问题,不管是代数方面的问题,还是几何方面的问题，乃至

更为一般化的问题，只要是求未知量数值的问题，一般要借助方程（组)解决，因此方程与

方程组是初中数学最重要的基础知识之一。

方程与方程组在中考中占据着重要地位，考查的重要内容为：有关概念、解法、应用；

考查方式为:有关概念、简单解法一般在选择、填空题中考查；解法、应用一般以解答题的

形式考查，且往往单独考查,有时也与函数等其它知识综合考查.

课标要求:

（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有

效模型。

（2）经历估计方程解的过程.

（3）掌握等式的基本性质。

（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。

（5）掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组.

（6）＊能解简单的三元一次方程组.

(7）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。

（8)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。

（9)了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个关系解决其他问题）.

（10）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

（凡是打星号的内容是选学内容，不作考试要求）.

知识结构图：

方程和方程组

一元一次方程

一次方程组

分式方程

一元二次方程

有关概念

解法

应用

等式的基本性质

第一章一元一次方程

第1讲一元一次方程及其解法

一、学习目标

1.理解一元一次方程、方程的解等基本概念.

2.掌握等式的基本性质.

3。会解数字系数的一元一次方程。

考情分析

一元一次方程是方程的起始内容，是以后学习其它方程(组）、不等式（组）、函数等知

识的基础，在中考中也占据一定的地位。在中考中，一元一次方程的有关概念及解法一般

以选择、填空题的形式单独考查,更多地是与其它知识综合考查.

二、基础知识·轻松学

1。一元一次方程的有关概念

（1）含有未知数的等式叫做方程.

(2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

【精讲】要检验一个数是不是方程的解，可采用尝试检验法，即将该数分别代入方程的

左边、右边，若左右两边的值相等,则这个数是方程的解，否则不是.

(3）只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1,像这样

的方程叫做一元一次方程.

【精讲】对于一元一次方程的定义要抓住3个要点，（1）只含有一个未知数;（2）含有

未知数的式子都是整式；（3）未知数的次数都是1.

2。等式的基本性质

基本性质1：等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式。

数学符号：如果a=b，那么a+c=b+c,a-c=b-c.

基本性质2:等式两边都乘以（或都除以)同一个数（除数不能为0）,所得结果仍是等式.

数学符号：如果a=b，那么ac=bc,

ab

cc



(c≠0）.

【精讲】由于0不能做除数,所以等式两边不能除以0（或值为0的式子），这一点一定

要注意。运用等式的性质还要把握两个要点：一是等式两边，是指两边的整体，两边的各

项;二是两边发生的变化相同，即两边各项发生的变化相同。

3。一元一次方程的解法

解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为

1等步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式.

三、重难疑点·轻松破

1.识别一元一次方程

对于一元一次方程的定义要抓住3个要点，（1）只含有一个未知数；（2）含有未知数的

式子都是整式;（3）未知数的次数都是1.

在含有字母参数的一元一次方程中,若未知数的系数中含有字母，该字母的取值应使系

数不为0，否则未知数不存在；若未知数的次数中含有字母参数，则根据次数是1，可列方

程求出字母参数的取值。

例1下列是一元一次方程的是（)

A.x—3y=y-2B。x2—2x=0C.

57

234

x

x

D。

1

32

3

1

x

x



解析：

A×

含有两个未知数

B×

未知数的最高次数是2

C√

符合一元一次方程的定义

D×

1

x

不是整式

故选C。

变式1：已知23520nx是关于x的一元一次方程，则n=.

2。利用等式的基本性质进行等式的变形

等式的性质1中，等式两边加（或减）的同一个数或式子，没有限制条件，这个数可以

是任何数，包括0，这个式子也可以为任何取值.但一般来说，等式两边都加或减0，没有

什么意义.

等式的性质2中,等式两边乘同一个数，这里的数也可以是任何数,包括0，但由于等式

两边都乘0，等式两边都得0,虽然等式成立，但没什么意义,尤其对于解方程来说，有时反而

会导致方程的解发生变化或其它情况出现。等式两边除以同一个不为0的数,一定注意条件

“不为0的数”,原因是0不能作除数，否则没有意义。

注意无论应用等式的哪条性质，等式两边都要发生相同的变化，否则等式不成立.

等式的性质是等式变形、方程变形及解方程的依据.

例2下列变形正确的是(）

A。如果am=bm，那么a=bB。如果(m＋1)x=m＋1，那么x=1

C.如果x=y，则x－5=5－yD。如果2(1)1ax，则

2

1

1

x

a





解析：A,缺少条件m≠0，错误;B，缺少条件m+1≠0，错误；C，等式两边变化不同,违背

等式的性质,错误；D，由于2a≥0，所以21a≥1,21a≠0，据等式的性质2，知该项正确.故

选D。

变式2：若方程3x-2=8-x与方程3x—2-5=8—x+k的解相同,不解方程，你能迅速得出k

的值吗？能说明你的理由吗?

3.解一元一次方程

具体如下表所示：

步骤依据方法注意事项

去分母

等式的基

本性质2

方程两边都乘以最简公分母

1。方程两边的各项都要乘以最简公

分母，注意不要漏乘没有分母的项.

2。若分子是多项式,为将其作为一个

整体处理，应添加括号.

去括号

去括号法

则

去括号

括号前是负号,去掉括号后，括号里的

各项都要变号

移项

等式的基

本性质1

一般地将含有未知数的项移

到左边,常数项移到右边。

移项要变号,落项不变号

合并同

类项

合并同类

项法则

合并同类项只把系数相加，未知数及其指数不变

系数化

为1

等式的基

本性质2

方程两边都除以未知数的系

数,或都乘以未知数系数的

倒数.

注意不要倒除，并确定对符号

例3解方程：

2131

1

34

yy

y





。

解析：去分母，得12y－4（2y－1）=12+3(3y－1）,

去括号，得12y－8y+4=12+9y－3,

移项，得12y－8y－9y=12－3－4,

合并同类项，得－5y=5，

两边同除以－5，得y=－1.

点评：解此题的关键是明确解方程的步骤,及每步的依据。

变式3：解方程:

111

(25)(3)

3412

xx

.

4。利用分数的基本性质进行方程的变形

对于分子、分母中含有小数或分数的较为复杂的方程,需先利用分数的基本性质：即将

分子、分母都乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变，进行分数的变形，化分子、分

母中的小数或分数为整数，然后再按照解方程的步骤解方程.

注意利用分数的基本性质进行的某一项的恒等变形,而利用等式的基本性质,是方程两边

的整体变形.

例4依据下列解方程

0.30.521

0.23

xx



的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在

后面的括号内填写变形依据.

解：原方程可变形为

3521

23

xx



（__________________________）

去分母，得3(3x+5）=2（2x—1）。(__________________________)

去括号，得9x+15=4x-2。（____________________________）

(____________________),得9x—4x=-15—2.（____________________________）

合并，得5x=-17.(合并同类项）

(____________________)，得x=

17

5



。(_________________________）

解析：原方程可变形为

3521

23

xx



（分数的基本性质)

去分母，得3（3x+5)=2(2x—1）。(等式的基本性质2)

去括号，得9x+15=4x—2。（去括号法则或乘法分配律)

（移项)，得9x—4x=—15—2。(等式的基本性质1)

合并，得5x=-17.(合并同类项）

（系数化为1)，得x=

17

5



。（等式的基本性质2）

变式4：将方程

1.20.3

1

0.30.2

xx



中分母化为整数，正确的是(）

A.

10123

10

32

xx



B.

10123

1

32

xx



C.

1.20.3

10

32

xx



D.

1.20.3

1

32

xx



5。构造一元一次方程解决问题

主要是指通过列、解一元一次方程组解决问题,一般有以下两种情况：

（1）利用一元一次方程解的意义列一元一次方程求字母的取值.

（2）通过定义、公式、法则、性质,或题中的等量关系列一元一次方程求字母的取值。

例5关于x的方程2x+a－9=0的解是x=2，则a的值为（)

A。2B.3C.4D.5

解析：根据方程解的意义，将x=2代入方程2x+a－9=0，得4+a－9=0.解得a=5。故

选D.

点评：此题根据方程解的意义，将方程的解x=2代入原方程，将方程转化为以所求字母

a为未知数的方程.

变式5：若代数式3y－5的值与

1

6



互为倒数，则y的值为.

四、课时作业·轻松练

A.基础题组

1。下列是一元一次方程的有(）

①2x＋1=4;②2x2＋1=1；③x＋y=5；④

2

x

＋3=5。

A。①②B。③④C。②③D.①

2.根据方程的变形规则，下列变形错误的是()

A。由yy56得65yyB.由42y得24y

C。由25.0y得)2(2yD.由

yy

3

1

1

得yy33

3.据m的4倍比m的

1

3

小5，可列方程为________________。

4.方程2（x－1）＋1=0的解是________．

5。解方程:(1）

3521

23

xx



；（2）

31

2

36

xx



。

6。解方程：

34

1.6

0.50.2

xx



.

B.提升题组

7.

已知

3

是关于

x

的方程

2x

－

a=1

的解，则

a

的值是（

)

A。－5B.5C。7D.2

8。若代数式123(9)y与代数式5(4)y的值相等，则y=________．

9.已知关于x的方程1(2)

是一元一次方程，则a=.

10。马小虎解方程2214ax（x是未知数)，在将方程两边都减去2a时，错将右边

写成加2a,得方程的解9x,请求出原方程的解.

11。若方程

121

63

xx



=1－

21

4

x

与关于x的方程x+

6

3

xa

=

6

a

－3x的解相同，求a

的值。

中考试题初体验

12.（2013福建晋江）已知关于x的方程2x-a—5=0的解是x=—2,则a的值为()

A．1B．-1C．9D．—9

13.(2013广西梧州）解方程：

15

2(1)8

24

xxx

。

五、我的错题本

参考答案：

变式1:2解析:根据x的次数是1,得2n-3=1.解得n=2.故填2.

变式2：由于3x—2=8—x，所以方程3x-2-5=8-x+k的左右两边可分别减去3x-2与8-x，

得k=—5.

变式3：

111

(25)(3)

3412

xx

去分母，得4(25)3(3)1xx，

去括号，得820391xx，

移项，得839120xx，

合并同类项，得510x，

方程两边同除以5,得2x；

变式4：B解析：将方程中两个分数分别分子、分母乘以10，得到

10123

1

32

xx



.

变式5:

1

3



解析：据题意，得

1

(35)1

6

y

.解得y=

1

3



。故填

1

3



.

课时作业·轻松练

A.基础题组

1。D解析：①是一元一次方程；②未知数x的次数是2，不是一元一次方程;③含有

两个未知数，不是一元一次方程;④含有未知数的式子

2

x

不是整式，不是一元一次方程。故

只有①是一元一次方程,应选D.

2。B解析：B应为：由42y，得y=

4

2

.

3。

1

45

3

mm

解析：比可译为=，所以可列方程：

1

45

3

mm

.

4。x=错误!解析：2(x－1)＋1=0,去括号，得2x-2+1=0。移项，合并同类项,2x=1。

两边都除以2，得x=错误!

5.（1)解:去分母，得3(3x+5）=2（2x－1)．

去括号,得9x+15=4x－2．

移项、合并同类项，得5x=－17．

系数化为1，得x=

17

5



．

（2）解：

31

2

36

xx



去分母,得2x=（3x+1）+2×6

去括号，得2x=3x+1+12

移项、合并同类项，得—x=13

方程两边同除以-1,得x=—13.

6.整理,得2(3)5(4)1.6xx。

去括号，得265201.6xx.

移项，得251.6620xx.

合并同类项，得327.6x。

系数化为1,得9.2x。

B.提升题组

7。B解析：根据方程解的意义,把x=3代入方程2x－a=1中,得6-a=1,解得a=5。

8。错误!解析:由题意列方程123(9)y=5(4)y，解得y=错误!.

9.—2解析：由一元一次方程的定义知方程中x的指数是1，含未知数的项的系数不

为0。所以

11a

,且a—2≠0.解得a=－2.

10.解:将9x代入方程2142xa,解得：a=2。

把a=2代入原方程,解得x=-5.

11。解：将方程

121

63

xx



=1－

21

4

x

化简，得2（1－2x)+4（x+1）=12－3（2x+1），

即2－4x+4x+4=12－6x－3。

解得x=

1

2

。

把x=

1

2

代入方程x+

6

3

xa

=

6

a

－3x。

得到以a为未知数的方程，得

13

23

a



=

3

62

a



.

3+2(3－a）=a－3×3。

解得a=6。

中考试题初体验

12.D解析:根据一元一次方程解的意义，将x=—2代入方程得：-4-a—5=0，解得：

a=-9．故选D

13.解：去括号，得

15

28

22

xxx

，

合并同类项,得3x+2=8+x,

移项，得3x-x=8-2，

合并同类项，得2x=6.

两边都除以2，得x=3.