双曲线准线方程

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双曲线渐近线方程

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双曲线渐近线方程

双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑

的时候的一些数据的处理。双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。分为

铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。是一种根据实际的生活需求研究出的一种

算法。

渐近线特点：无限接近，但不可以相交。分为铅直渐近线、水平渐近

线和斜渐近线。

当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无

限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲

线在无线延伸时的变化情况。

根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、

斜渐近线。

y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近

线方程

当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x

当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x

双曲线的简单几何性质

1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点

中心对称.

(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为

2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.

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(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方

程x^2/a^2-y^2/b^2＝1中的1为零即得渐近线方程.

(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y

＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程-＝1与-＝-1表

示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形

式.

注重：

1.与双曲线-＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为-＝λ(λ≠0

且λ为待定常数)

2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为-＝1(λ＜a2,

其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)

2.双曲线的第二定义

平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c的距离之比等

于常数e＝c/a(c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定

直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.

3.焦半径(-＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线-＝1

的右支上时，｜pF1｜＝ex0a,｜pF2｜＝ex0-a;

P在左支上时，那么｜PF1｜=ex1+a｜PF2｜＝ex1-a.

本节学习要求：

学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质

一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的

两种标准方程、图形、几何性质列表比照，便于把握.

双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线

与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达

定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是

高考的主要内容.

通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养

同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.

双曲线的渐近线教案

教学目的

(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双

曲线的图形．

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(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初

步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．

教学过程

一、揭示课题

师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？

生(众)：能画出来．

师：能画得比拟精确点吗？

(学生默然．)

其附近的点，比拟精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在

画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线

我们可以比拟精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远

处时，它逐渐地越

的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即

x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端那么不然，它伸向何处是不

够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向

如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向

何处去〞这样一个问题．

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(板书课题：双曲线的渐近线．)

二、讲述定义

师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一

下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的？

直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一

点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．

设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，那么

考察一下y变化的范围：

因为x2－a2＜x2，所以

这个不等式意味着什么？

(稍停，学生思考．)

平面区域．

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之间(含x轴局部)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．

为此，我们考虑以下问题：

经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y

＝±b，

以看出，双曲线

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．

下面，我们来证明这个事实．

双曲线在第一象限内的方程可写成

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设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线

上与M有相同横坐标的点，那么

设|MQ|是点M到直线

的距离，那么|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无

限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限

的局部从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．

在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线

叫做双曲线的渐近线．

现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实

轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母

对调所得到，自然，前者

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这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比拟

精确地画出双

手画出比拟精确的双曲线．

[提出问题，解决问题，善始善终．]

三、初步练习

(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线

方程这两要求，出四个小题让学生练习．)

1．求以下双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双

曲线：

(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．

2．双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：

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求双曲线方程并画出双曲线．

(练习毕，由学生答复，教师总结．)

解题的主要步骤：

第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据

定义写出渐近线方程．

第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近

线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，

得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写

出双曲线方程．

师：这是两个关于双曲线渐近线的最根本的练习．一个是由双曲线

求渐近线，比拟简单；一个是由渐近线求双曲线，却比拟复杂．这是因

为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同

时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双

曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显

然比拟困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的

能力．

[问题虽然简单，但确是根底，不仅掌握根本知识，同时有利于正、

逆两方面思考问题的训练．]

四、建立法那么

师：仔细分析一下上述练习的结果：

双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．

双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．

可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．

(启发学生讨论、归纳．)

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生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得

到渐近线方程．

生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号

连结起来等于零，就是渐近线方程．

生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，

与常数项无关．

生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，

常数可以不同．

生戊：应该说二次项系数成比例．

师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的答复，还不够严格，也

不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到

渐近线方程？

把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？

点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．

就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是

特殊的双曲线．同样，

b2x2－a2y2＝0，

即bx±ay＝0；

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b2y2－a2x2＝0，

即by±ax＝0．

所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有

一般性吗？也就是说对任意双曲线

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？答复是肯定的．

分情况证明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，

故渐近线方程为

也可以化成Ax±By＝0，

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即A2x2－B2y2＝0．

其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为

Ax±By＝0

的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实

轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到以下法那么：

(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常数)．

现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？

生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为

x2－4y2＝C．

∴双曲线方程为x2－4y2＝4．

∴双曲线方程为x2－4y2＝－4．

[建立解题法那么，既使解题比拟方便，又使学生得到解题能力的培

养．]

五、稳固应用

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师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法那么，下面大家使用

定义或者法那么再做两个练习．

2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．

(练习毕，由学生答复，教师总结解题步骤．)

师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．

由双曲线求渐近线：

由渐近线求双曲线：

二是直接运用法那么．

练习2的解法如下：

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六、布置作业

课本练习；略．

教案说明

(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突

然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于

课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认

为这些做法都是比拟自然的．

(2)本课的根底内容，一是定义和法那么，二是双曲线与其渐近线的

互求的方法．

本教案既注意狠抓根底，也注意综合提高．

(3)本教案建立了一个法那么，作为定义的补充，也是为了解题的方

便，建立法那么的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种

训练．