两个向量垂直

1

数学·选修2-1

利用空间向量证明垂直关系

主讲教师：巫宇霞

【知识概述】

利用空间向量证明垂直关系

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则

线线垂直：l⊥ma⊥ba·b=0；

线面垂直：l⊥αa//ua=ku；

面面垂直：α⊥βu⊥vu·v=0.

【学前诊断】

1.[难度]易

已知空间四边形

ABCD

中，

ABCD

，

ACBD

，求证：

ADBC

．

2．[难度]易

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥

底面ABCD．

证明：AB⊥平面VAD．

3．[难度]中

正方体ABCD-A

1

B

1

C

1

D

1

中，E、F分别是BB

1

、CD的中点，

求证：平面AED⊥平面A

1

FD

1

.

D

C

B

A

V

2

数学·选修2-1

【经典例题】

例1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面

ABC，PA=AB，∠ABC=600，∠BCA=900，

点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

求证：BC⊥平面PAC.

例2．在圆锥PO中，已知=2PO，⊙O的直径AB=2，C是AB弧的中点，D为AC

的中点．

证明：平面

POD

平面PAC．

例3．如图，在四棱锥

PABCD

中，

PA

平面

ABCD

，

底面

ABCD

是菱形，

2AB

，60BAD，当

平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

例4.如图,已知平行六面体

1111

ABCDABCD的底面ABCD是菱形，且

11

60CCBCCDBCD，当

1

CD

CC

的值为多少时能使

11

ACCBD平面？请给出证明.

3

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F

C

B

A

E

C

1

B

1

A

1

例5.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，

PO

平面ABC，垂足O

落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2，在线段AP上是否存在点M，

使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.

D

O

C

B

A

P

【本课总结】

1.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直.

2.证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.

3.证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直的处理；

②证明两个平面的法向量互相垂直.

【活学活用】

1.[难度]易

如图，已知正三棱柱111ABCABC

的各棱长都是4，

E

是

BC

的中点，动点

F

在侧棱1CC

上，且不与点

C

重合．当

CF

=1时，求证：

EF

⊥1AC

.

4

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2.[难度]中

如图，在圆锥

PO

中，已知

PO

=

2

，⊙O的直径

2AB

,

C

是



AB

的中点，

D

为

AC

的中点．证明：平面

POD



平面

PAC

;

3．[难度]难

如图，在四棱锥

PABCD

中，PAABCD平面，底面

ABCD

是菱形，

260ABBAD，

.

(Ⅰ)求证：BDPAC平面;

（Ⅱ）若

PAAB

，求

PB

与

AC

所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面

PBC

与平面

PDC

垂直时，求

PA

的长.