log2

专题7对数运算

1．对数的概念

如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真

数．

2．对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alog

aN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．

(2)换底公式：logab＝

logcb

logca

(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．

(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；

②loga

M

N

＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，

然后正用对数运算法则化简合并．

2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、幂再运算．

3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．

(1)设2a＝5b＝m，且

1

a

＋

1

b

＝2，则m等于()

A.10B．10

C．20D．100

(2)计算：













lg

1

4

－lg25

÷100－

1

2

＝________.

1.(2015·浙江高考)计算：log2

2

2

＝________，2log23＋log43＝________.

【解析】log2

2

2

＝log22－log22＝

1

2

－1＝－

1

2

；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log23＝33.

2.(2017·东城区综合练习(二))已知函数f(x)＝









2x，x≥4，

fxx＜4，

则f(2＋log23)的值为()

A．24B．16

C．12D．8

【解析】A(2)－

1

2

33[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝

23＋log

2

3＝8×3＝24，故选A.

3.计算：













lg

1

4

－lg25

÷100－

1

2

＝________.

【解析】原式＝(lg2－2－lg52)×100

1

2

＝













lg

1

22·52×10＝(lg10－2)×10＝－2×10＝－20.]

1．已知函数3

log,0

{

2,0x

xx

fx

x







，则

1

9

ff













等于（）

A.4B.

1

4

C.-4D.

1

4

【答案】D

【解析】由题意得

3

11

log2

99

f









，

∴2

11

22

94

fff















。选D。

2．

1

2

6

2

36

log2

49









的值是（）．

A.

4

3

B.1C.1D.

3

4

【答案】B

3．已知ln2a，ln3b，那么

3

log2用含

a

，b的代数式表示为（）．

.

a

b

【答案】D

【解析】∵ln2a，ln3b，

∴

3

ln2

log2

ln3

a

b

．故选D．

4．已知3

log,0

={

,0x

xx

fx

abx





，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝()

A.－2B.2C.3D.－3

【答案】B

【解析】0121,fbb又因为

11

1313

2

fa

a

－＝，



1

1

2

x

fx









，3189f－，

3

9log923fff

故结果为B；

5．求下列各式的值：

（1）

2

1

log4lg20lg5

2



（2）

12

23

0

ln2

427

lg3

98

e









（其中2.71828e…）

【答案】⑴3；⑵

9

4

6．计算（Ⅰ）1

10

20.



；

（Ⅱ）7

log2

3

log27lg25lg47.

【答案】(Ⅰ)0；(Ⅱ)

3

2

.

【解析】试题分析：

(1)利用分数指数幂的运算法则可得算式的值为0；

(2)利用对数的运算法则可得所给算式的值为

3

2

.

试题解析：

（Ⅰ）1

10

20.









1052

10

5002010520

52

5252









1

（Ⅱ）7

3

2

2

33

27254732522logloglglgloglglg

33

22

22



7．计算:

（1）

4

0

1

3

3

2

11

40.25

2

2

















（2）

23

1

lg25lg2lg0.1log9log2

2



【答案】（1）3;（2）

1

2



【解析】试题分析：

试题解析：

（1）原式41

4123

2

；

(2)

11

2

22

23

lg25lg2lg10log3log2

11

3

22

3

3

log3

lg252102log2

log2









3

2

31

lg1022

22



8．lglg2lg2lglg,

x

xyxyxy

y

若则____________

【答案】2

9．若，则___________.

【答案】

【解析】，可知，即，，故答案为.

10．计算：__________．

【答案】26

【解析】因为

，故

答案为.

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