二重积分的几何意义

第二十一章重积分

一、主要内容与教学要求

主要内容

平面图形的面积，二重积分的定义及其存在性，二重积分性质。直角坐标系下二重积分

的计算(化为累计积分)。格林公式，平面曲线积分与路线无关的等价条件，原函数。二重积

分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积

分，三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用：曲面的面积，重心，

转动惯量，引力。

教学要求

1深刻理解二重、三重积分概念和性质。

2了解二重积分存在的必要条件和充要条件，了解二重积分的可积函数类。

3熟练掌握二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法，会用二重积分的变量替换

公式。

4掌握三重积分在直角坐标系、柱面坐标系、球坐标系下的各种计算方法，熟练掌握直

角坐标系下“先一后二”的三重积分的计算方法。

5掌握应用二重积分计算由显函数给出的光滑曲面面积的方法，会用二重积分计算质量、

重心坐标、转动惯量、引力等物理量。

6熟练掌握格林公式极其应用,会应用平面曲线积分与路线无关的等价条件计算和证明

某些问题，会求全微分的原函数。

教学重点

1重积分的概念和性质。

2“先一后二”的三重积分的计算方法、柱面坐标系、球坐标系下的各种计算方法。

3格林公式极其应用，曲线积分与路径无关性及其应用。

教学难点

1三重积分的计算。

2二重积分的一般变量替换公式。

3平面曲线积分与路线无关的等价条件证明。