立方和公式

1-3立方公式

在國中時期，同學們較少接觸到立方的乘法運算，事實上，在多項式的乘法和因式分

解的過程中，立方公式也經常被引用。

【完全立方公式】

如下圖，一個邊長為(ab)的正立方體可切割成2個邊長分別為a、b的正立方體，3

個體積為2ab的長方體和3個體積為2ab的長方體，即33223()33abaababb。

至於33223()33abaababb圖形的切割，請同學自行試驗。

事實上，展開3()ab時，可先將3()ab

寫成2()()abab，再利用二項和的平方公式

與分配律展開即可，也就是說：

3()ab

2()()abab

22()(2)abaabb

32222322aababababb

322333aababb

由此，我們可得到和的完全立方公式：

3()ab

322333aababb【公式6】

同樣的，展開3()ab的乘積，並經化簡後即可得到差的完全立方公式：

3()ab

322333aababb【公式7】

其實，只要將公式6中的b以



b代入，同樣可得公式7。

【範例1】展開下列各式：

a

b

b

a

b

a

b

b

b

b

a

b

a

b

b

a

a

b

a

b

a

a

a

a

b

a

b

a

a

b

(1)3(2)x(2)3(32)xy(3)3(45)ab

【解】(1)3(2)x

322332322xxx

326128xxx

(2)3(32)xy

3223(3)3(3)(2)3(3)(2)(2)xxyxyy

32232754368xxyxyy

(3)3(45)ab

3223(4)3(4)(5)3(4)(5)(5)aababb

322364240300125aababb

【類題練習1】展開下列各式：

(1)3

31

()

22

xy(2)23

5

(4)

2

ab

【立方和與立方差】

我們可利用分配律來展開22()()abaabb即可得到：

22()()abaabb=322223aababababb

=33ab

因此，得到立方和公式：

22()()abaabb=33ab【公式8】

【範例2】利用公式8展開下列各式：

(1)2(2)(24)xxx(2)22(25)(41025)abaabb

【解】(1)由2(2)(24)xxx

22(2)(22)xxx，與公式8比較可知，以x取代

a，以2取代b，可得

2(2)(24)xxx

332x

38x。

(2)22(25)(41025)abaabb

22(25)[(2)(2)(5)(5)]abaabb

33(2)(5)ab

338125ab

同樣的，我們可以展開22()()abaabb並經合併化簡後，而得到立方差公式：

22()()abaabb

33ab【公式9】

其實，只要把公式8中的b以b代入，即可得公式9。

【範例3】利用公式9展開下列各式：

(1)2(21)(421)xxx(2)

22

()()

32964

abaabb



【解】(1)2(21)(421)xxx22(21)[(2)(2)11]xxx

33(2)1x

381x

(2)

22

()()

32964

abaabb

22()[()()]

323322

abaabb



33()()

32

ab





33

278



ab

【類題練習2】(1)試展開

2

2

5

(5)(25)

224

babb

aa。

(2)試展開2222(3)(2)(24)(39)xyxyxxyyxxyy。

(3)已知32x，求2(3)(39)xxx的值。

【重點整理】

1.常用的立方公式有:

【和的立方公式】33223()33abaababb

【差的立方公式】33223()33abaababb

【立方和公式】2233()()abaabbab

【立方差公式】2233()()abaabbab

【家庭作業】

基礎題

1.展開下列各式：

○1

3(2)x○2

3(23)ab

○3

22

()()

32964

xyxxyy

○4

2

2(2)(4)

24

bb

aaab

○5

22(3)(3)(39)(39)aaaaaa

2.利用乘法公式回答下列各題：

○1已知23x，求)1)(1(242xxx的值。

○2求33

12

(5)(4)

33

。

進階題

3.回答下列各題：

○1展開22(1)(1)(1)(1)aaaaaa。

○2設38a

，求22(1)(1)(1)(1)aaaaaa的值。

○3設25a

，求22(1)(1)(1)(1)aaaaaa的值。

4.回答下列各題：

○1已知ab3且ab2，求(1)22ab(2)33ab的值。

○2已知1ba且

522ba

，求(1)ab(2)33ba

的值。

五、數列與級數

5-1等差數列

將一些(通常為有限個)數排成一列，稱為(有限)數列。在一數列中，我們稱第一個數為

第一項或首項(通常記為

1

a)，第二個數為第二項(通常記為

2

a)，…。當數列只有有限個項時，

最後一個數則稱為末項。例如：在數列20，30，40，50，60，70中，首項為20，第二項

為30，末項為70。

如果在一數列中，任意相鄰兩項的後面的項減去前面的項所得的差都是一樣，就稱此數

列為等差數列，並稱所得的差為公差。通常以d代表公差，

1

a代表首項，

n

a代表第n項。

例如：在數列20，30，40，50，60，70中，

首項

1

20a，末項

6

70a，又因為後面的項減去前面的項所得的差都是10，所以這是一個

公差為10的等差數列。

又如：在數列7，4，1，2，



5，



8，



11中，

10

2

10101010

首項

1

7a，末項

7

11a，又因為後面的項減去前面的項所得的差都是3，所以這是一個

公差為3的等差數列。

【範例1】在下列各空格中填入適當的數，使得每個數列成為等差數列：

(1)5，8，_____，_____。

(2)3，1，_____，_____。

【解】(1)因為公差d853，所以此數列為

5，8，11，14。

(2)因為公差d134，所以此數列為

3，1，5，9。

【類題練習1】在下列空格中填入適當的數，使得每個數列成為等差數列：

(1)5，11，_____，_____，_____。

(2)2，9，_____，_____。

如果一個等差數列的首項為a

1

，公差為d，則由等差數列的定義可知：

第二項a

2

a

1

+da

1

+(2



1)d；

第三項a

3

a

1

+2da

1

+(3



1)d；

第四項a

4

a

1

+3da

1

+(4



1)d；



第n項a

n

=a

1

+(n



1)d

【範例2】(1)已知一個等差數列的首項為18且公差為

2

1

，求第十二項。

(2)求等差數列90，77，64，…的公差及第十三項。

(3)已知某等差數列的首項為6且第四項為18。求其公差並寫出此數列的前五

項。

【解】(1)a

12

a

1

+(121)d18+(121)

2

1



47

2

(2)∵首項為90，公差為77



90

13

7

3

4

3

1

3

2

3

5

118

33

－3

∴a

13

90+(131)×(13)66

(3)假設公差為d。

∵a

1

6，a

4

18且a

4

a

1

+(41)d

∴186+3d

d4

所以公差為4，且前五項為6，10，14，18，22。

【類題練習2】(1)已知某等差數列的首項為16且公差為3，求第二十項。

(2)求等差數列35，29，…的公差及第十項。

(3)已知某等差數列的首項為2且第三項為8，求其公差並寫出此數列的前

六項。

事實上，由a

m

a

1

+(m1)d，a

n

a

1

+(n1)d，可得

a

n

a

m

(nm)d，

也就是說，

a

n

a

m

+(nm)d。

【範例3】(1)已知某等差數列的第五項為11，且公差為3，求第十四項。

(2)已知某等差數列的第三項為9，且第六項為21，求首項、公差及第十項。

【解】(1)∵a

14

a

5

+(145)d

∴a

14

a

5

+9d

a

14

11+93=38

答：第十四項為38。

(2)∵a

6

a

3

+(6

3)d

∴219+3d

d4

又a

3

a

1

+(3



1)d

9a

1

+24

a

1

1

a

10

a

1

+(10

1)d

1+94

37

答：首項為1，公差為4，第十項為37。

【類題練習3】已知某等差數列的第三項為10且公差為5，求首項及

第二十項。

【範例4】已知243，237，231，…為一等差數列。請問第幾項

開始為正數？

【解】設第n項開始為正數。

∵a

1

243，公差d237(243)6

∴a

n

243+(n1)60



6n2490



n

1

41

2

因為n必頇為正整數，所以n最小為42。

答：第42項開始為正數。

【類題練習4】已知241，215，…為一等差數列。請問第幾項開始為負數？

若a，b，c三數為一等差數列，則稱b為a與c的等差中項(或算術中項或算術平均數)。

例如：9是5與13的等差中項。換句話說，當a，b，c三

數成等差數列時，由bacb可知2ba＋c，所以b=

2

ac

。

【範例5】找出適當的m值使得



1，m和5三數為一等差數列。

【解】∵2m

1+54

∴m2

【類題練習5】找出適當的n值使得8，n，2三數成等差數列。

【重點整理】

1.在一數列中，如果任意相鄰兩項的後面的項減去前面的項所得的差都是一樣，就稱此數列

為等差數列，並稱所得的差為公差。通常以d代表公差，

1

a代表首項，

n

a代表第n項。

2.如果一個等差數列的首項為a

1

，公差為d，則第n項a

n

a

1

+(n1)d。

3.等差數列第n項a

n

與第m項a

m

的關係式為a

n

a

m

+(nm)d。

4.若a，b，c三數成等差數列，則稱b為a與c的等差中項，且b

2

ac

。

【家庭作業】

基礎題

1.在下列各空格中填入適當的數，使得每個數列成為等差數列：

○16，10，_____，_____。○25，1，_____，_____。

2.已知一個等差數列的首項為20且公差為

1

4

，求第十三項。

3.求等差數列25，23，…的公差及第十一項。

4.已知某等差數列的首項為4，且第三項為10，求其公差並寫出此數列的前六項。

5.已知某等差數列的第三項為12，且公差為3，求第十八項。

6.已知某等差數列第二項為9，且第七項為24，求首項、公差及第九項。

7.請問等差數列141，132，…從第幾項開始為正數？

8.已知2，7，m三數為一等差數列，求m的值。

進階題

9.請問在2與11之間插入哪兩個數後，可以成為等差數列？

10.在6與30之間插入5個數後，成為等差數列，請問公差為多少？

11.某人將寬10公分的白紙黏貼起來，如右圖，

已知接縫重合處寬度1公分。試回答下列問

題：

（1）全長82公分是幾張白紙黏貼成的？

10公分

1公分

（2）20張白紙黏貼成全長幾公分？

5-2等差級數

一個級數就是將一個數列的各項依次用「+」號連接。例如：1，5，25，125，625為

一個數列，而1+5+25+125+625就是一個級數。因此，一個等差級數就是將一個等差數列

的各項依次用「+」號連接。例如：

1+4+7+10為一個等差級數。

如果一個等差級數共有n項，其首項為a

1

，末項為a

n

，公差為d，則這個等差級數的和通常

以S

n

表示，即

S

n

=a

1

+a

2

+a

3

+…+a

n

。

由

S

n

a

1

+(a

1

+d)+(a

1

+2d)+…+[a

1

+(n1)d]○1

將○1式等號右邊各項的順序重新排列成為

S

n

[a

1

+(n1)d]+…+(a

1

+2d)+(a

1

+d)+a

1

，○2

再將○1、○2兩式相加，即可得到：

2S

n

[2a

1

+(n1)d]+[2a

1

+(n1)d]+…+[2a

1

+(n1)d]

2S

n

n[2a

1

+(n



1)d]S

n





2

)1(2

1

dnan

S

n



2

)(

1n

aan

如果已經知道等差級數的首項，公差和項數，就可用下列的公式來求等差級數的和：

S

n





2

)1(2

1

dnan

當然，如果已經知道等差級數的首項，末項和項數，就可用下列的公式來求等差級數的和：

S

n



2

)(

1n

aan

【範例1】(1)已知一等差級數的首項為3且公差5，求前20項的和。

(2)求等差級數



16+(



13)+(



10)+…+第十五項的和。

(3)求等差級數18+21+24+…+45的和。

【解】(1)∵首項a

1

3，公差d5，項數n20

共n組

∴

1

20

202(201)

2

ad

S







2

5)120(3220

1010

(2)∵首項a

1

－16，公差d13(16)3

∴

15

S

1

152(151)

2

ad





2

3)115()16(215

75

(3)假設此數列共有n項。

∵首項a

1

18，公差d21183

∴末項a

n

18+(n1)345

項數n10

∴S

10

110

10()

2

aa



10(1845)

2



315

【類題練習1】(1)求等差級數217+225+233+…+第九項的和。

(2)求等差數列1，4，7，…的前10項的和。

(3)求等差級數7+14+21+…+196的和。

【範例2】(1)已知一等差級數的首項為8，前十項和為200，求公差及第十項。

(2)設一等差級數的首項為15，末項為



42，和為



270，求此等差級數的項數及

公差。

(3)已知等差級數(



6)+(



2)+2+…+第n項的和為64。求n的值。

【解】(1)設公差為d。

∵首項a

1

8，項數n10

∴S

10





2

)110(8210d

200



d

8

3



a

10

8+9

8

3

32

(2)假設數列共有n項，公差d。

∵首項a

1

15，末項a

n



42

∴

n

S

2

)(

1n

aan





2

)42(15n



270



n20

∵a

20



4215+(20



1)d

∴d3

(3)∵a

1

6，d(2)(6)4

∴

n

S

2(6)(1)4

2

nn

64



(1244)

2

nn

64



2416

2

nn

64



4n216n1280



n24n320



(n+4)(n



8)0



n8或n4(不合，因為項數必頇為正數。)

【類題練習2】(1)設一等差級數的首項為4，前十項和為100，求公差及第十項。

(2)設一等差級數的首項為20，末項為92，和為616，求此等差級數的項數及

公差。

(3)已知等差級數11+14+17+…+第n項的和為245，求n的值。

【範例3】已知某戲院共有30排座位，依次每一排比前一排多2個座位，且最後一排有82

個座位，請問這家戲院共有多少個座位？

【解】假設第一排有a

1

個座位。

∵n30，d2，a

30

82

∴a

30

a

1

+(30



1)282



a

1

24



S

30



30(2482)

2



1590

答：共有1590個座位。

【類題練習3】已知某戲院共有20排座位，依次每一排比前一排多4個座位，且最後一排有92

個座位，請問這家戲院共有多少個座位？

【範例4】100到300的整數中，所有7的倍數的和等於多少？

【解】∵在100到300的整數中，7的倍數中最小的為105，

7的倍數中最大的為294。

∴a

1

105，a

n

294，d7



294105+(n1)7



n28



S

28

=

28(105294)

2



5586

【範例5】有一凸n邊形，內角度數依次成等差數列，公差為10，角度最小的為99，則

n為多少？

【解】依題意列式180(n2)

299(1)10

2

nn



180(n2)

10188

2

nn



5n286n+3600



n10或

36

5

（不合）

答：n10

【類題練習4】200到400的整數中，能被3整除的所有數的和等於多少？

【重點整理】

1.若一個等差級數共有n項，且其首項為a

1

，末項為a

n

，公差為d，則此

級數的和為S

n

，其中S

n





1

2(1)

2

nand

或S

n

1

()

2



n

naa

。

【家庭作業】

基礎題

1.求等差級數17+25+33+…+第十項的和。

2.求等差數列2，5，8，…的前20項的和。

3.求等差級數3+6+9+…+210的和。

4.設一等差級數的首項為5，前十一項和為440，求公差及第十項。

5.已知等差級數(10)+(4)+2+…+第n項的和為170，求n的值。

6.設某一三角形的三個角的度數成等差數列，若已知最大的角是105度，則最小的角是幾

度？

7.假設一等差數列的前十項和為120，前九項和為99，求公差。

進階題

8.從100到500的整數中，試回答下列問題:

○1除以5餘2的整數共有多少個？

○2承○1，所得整數的總和是多少？

9.如右圖：第一排有一個三角形，第二排有3個三角形，

第三排有5個三角形，依此類推，共有11排。試回答

下列問題：

（1）第11排有幾個三角形？

（2）全部共有幾個三角形？

10.在4與28之間插入5個數後，成為等差數列，請問這5個數和為多少？

11.在1與49之間，插入m個數，使其成為一等差數列，且其總和為250，則m為多少？

12.等差級數共有15項，且知第8項為5，求此級數和。

13.自1到50的正整數中，2或3的倍數共有幾個？它們的和為多少？

5-3等比數列

觀察數列：2，6，18，54，162，…，我們發現：

6

2



18

6



162

54

…3。

如果一個數列，任意相鄰兩項的後面一項與前面一項的比值相等時，則稱此數列為等比

數列。我們稱其比值為公比，且通常以r表示公比。

如果一個等比數列的首項為a

1

，公比為r，則由等比數列的定義可知：

2

1

a

a

3

2

a

a

4

3

a

a

…

1

n

n

a

a



r，

即

2

a

1

ar；

231

32111

aararrarar；

341

432111

aararrarrrarar；



1

121

n

nnn

aararrar



。

【範例1】在下列各空格填入適當的數，使得每個數列成為等比數列：

(1)5，10，_____，_____。

(2)



5，15，_____，_____。

【解】(1)因為公比r1052，所以此數列為

5，10，20，40。

(2)因為公比r15(



5)



3，所以此數列為



5，15，

45

，

135

。

【類題練習1】在下列空格中填入適當的數，使得每個數列成為等比數列：

(1)2，10，_____，____。

(2)3，



15，_____，_____。

事實上，由1

1

n

n

aar，1

1

m

m

aar可知

11(1)(1)

11

()nmnmnm

nm

aaararrr，

也就是說，

nm

nm

aar。

【範例2】(1)已知某一等比數列的首項為10，公比為2，求第四項。

(2)已知某一等比數列的首項為16，第四項為2。寫出此數列的前五項。

(3)已知某一等比數列第三項為12，第六項為96，求首項及公比。

(4)已知某一等比數列第四項為24，公比為2，求第八項。

【解】(1)4141

41

10280aar

(2)設公比為r。

∵首項a

1

16，第四項a

4

2

∴33

41

162aarr

3r

1

8

，r

1

2

所以，前五項為16，8，4，2，1。

(3)由63

63

aar

可得96123r

r2

由31

31

aar

可得



12a

1

(



2)2



1

a

3

所以，首項為



3，公比為



2。

(4)84

84

aar

24(



2)4

384

【類題練習2】(1)已知某一等比數列的首項為2，公比為3，求第五項。

(2)已知某一等比數列的首項為4，第四項為32。寫出此數列的前五項。

(3)已知某一等比數列第二項為8，第五項為1，求首項及公比。

(4)已知某一等比數列第七項為64，公比為2，求第十項。

【範例3】籃球自1.5公尺處落下，每次反彈的高度為上次落下高度的

4

5

，求籃球落地後第

三次反彈高度。

【解】因為每次反彈的高度為上次落下高度的

4

5

，所以，第三次反彈高度為

1.5



(0.8)30.768(公尺)。

答：0.768公尺

【範例4】假設某鎮每年的人口數逐年成長且成一等比數列，已知此鎮十年前約有10萬

人，現在約有20萬人，那麼二十年後，此鎮人口約有多少人？

【解】因為十年前人口為10萬人，若設每年人口成長率為r，

所以經過10年此鎮人口成長為10r10萬人。也就是說，

10r1020

即r102

再經過20年，人口成長為：

20



r2020



(r10)2

20



(2)2

80（萬人）

答：80萬人

【類題練習3】假設某發卡銀行開辦信用卡業務，第一年的辦卡總張數為10000張，第二年

的新辦卡總張數為20000張，預計逐年的新辦卡張數成一等比數列。那麼第

五年新辦卡總張數為幾張？

【比例中項】

當a，b，c三數為一等比數列時，稱b為a與c的等比中項(或者稱為或比例中項)。例

如：10是5與20的等比中項。

如果a，b，c三數為一等比數列，由

bc

ab

可知b2ac，所以bac。

【範例5】已知



2，m，



8三數成等比數列，求m的值。

【解】∵m2(2)(8)16

∴m4

【類題練習4】已知5，m，20三數成等比數列，求m的值。

【重點整理】

1.在一個數列中，如果任意相鄰兩項的後項與前項的比值相等時，則稱此數列為等比數列。

我們稱其比值為公比，且通常以r表示之。

2.如果等比數列首項為a

1

時，那麼第n項1

1

n

n

aar。

3.等比數列中，第n項a

n

與第m項a

m

的關係式為nm

nm

aar。

4.當a、b、c三數成等比數列時，我們稱b為a與c的等比中項，且bac。

【家庭作業】

基礎題

1.在下列各空格填入適當的數，使得每個數列成為等比數列：

○13，18，_____，_____。○2

8，2，_____，_____。

2.已知某一等比數列的首項為4，公比為2，求第五項。

3.已知某一等比數列的首項為8，第四項為1，寫出此數列的前五項。

4.已知某一等比數列第三項為24，第六項為3，求首項及公比。

5.已知某一等比數列第五項為24，公比為2，求第十項。

6.已知2，m，18三數成等比數列，求m的值。

7.已知放射性同位素碳14之半衰期約為6000年，今有此元素6



1023個原子，請問24000

年後原子個數多少個？(說明：半衰期指放射性原子衰變成原來數量的一半所需的時

間。)

進階題

8.已知a、b、c、d四正數成等比數列，且ab8，cd72。求此四個數。

9.已知四整數a，b，c，d，其中a，b，c為等比數列，b，c，d為等差數列，且ad7，

bc6，則此四數為何？

10.已知三正數成等差數列，其和為30。若各數依次加1，5，29後成為等比數列，則此三

數為何？

5-4等比級數

如同等差級數，一個等比級數就是將一個等比數列的每一項依次用「+」號連接，例

如：若a

1

，a

2

，a

3

，…，a

n

為一等比數列，則a

1

+a

2

+a

3

+…+a

n

就是一個等比級數。

如果一個等比級數的公比為r，怎麼計算這個等比級數的和呢？

(1)當r1時，S

n

a

1

+a

1

+a

1

+…+a

1

na

1

。

(2)當r1時，S

n

a

1

+a

2

+a

3

+…+a

n-1

+a

n

。

所以S

n

a

1

+a

1

r+a

1

r2+…+2

1

nar+1

1

nar○1

各項乘以r，rS

n

a

1

r+a

1

r2+a

1

r3+…+1

1

nar+

1

nar○2

將○1、○2兩式相減即可得到：

rS

n

S

n

(r1)S

n

(a

1

r



a

1

)+(a

1

r2

a

1

r)+(a

1

r3

a

1

r2)+…+(a

1

rn-1

a

1

rn-2)+(a

1

rn

a

1

rn-1)

(r1)S

n

a

1

rna

1

a

1

(rn1)

因此，

S

n



1

)1(

1





r

ran

(或寫成S

n



r

ran





1

)1(

1)。

※特別說明：當a

1

1，n3時，S

3

1+r+r2

31

1

r

r





○3

由○3式可得(1+r+r2)(1r)1r3，此與立方差公式

2233()()abaabbab中，a1、br代入的結果相同。

【範例1】(1)已知某一等比級數的首項為7，公比為3，且有10項，求此級數的和。

(2)已知一等比級數，首項為4，公比為2，和為1020，求項數。

【解】(1)因為S

10

107(31)

31





10

7

(31)

2



，

所以，此等比級數的和為10

7

(31)

2



。

(2)假設級數有n項。

∵S

n



4(21)

21

n



1020

共n項

∴2n1255



2n25628

n8

所以，項數為8。

【類題練習1】(1)已知某一等比級數的首項為5，公比為2，且有5項，求此級數的和。

(2)已知某一等比級數的首項為3，公比為2，且和為93。求此級數的項數。

【範例2】籃球自

1

1

2

公尺處落下，每次反彈的高度為上次落下高度的

4

5

，求籃球開始落下

至第四次著地所經過的總路程共有幾公尺？

【解】因為每次反彈的高度為上次落下

高度的

4

5

，所以，我們知道：

第一次反彈高度為

1

1

2



4

5

公尺，

因此由第一次落地反彈後再落地

時，所經過的總路程為2



(

1

1

2



4

5

)公尺；

第二次反彈高度為

1

1

2



(

4

5

)2公尺，因此由第二次落地反彈後再落地時，所經過

的總路程為2



[

1

1

2



(

4

5

)2]公尺；依此類推，籃球開始落下至第四次著地所經過

的總路程為

1

1

2

2



1

1

2



[

4

5

(

4

5

)2(

4

5

)3]

=

1

1

2

3



3

44

1()

55

4

1

5













1839

250

公尺。

答：

1839

250

公尺。

【類題練習2】一個籃球從12公尺自由落下，每次著地後又跳回原高度的

3

4

再落下，籃球開始落下至第三次著地，共經過多少公尺？

籃球行進路徑

【範例3】小華想要開始儲蓄，並計畫每天的存款為前一天的兩倍。第一天存1元，請問至

少幾天後，儲蓄總金額超過1000元？

【解】我們知道，第一天存1元，第二天存2元，第三天存4元，所以第n天需要存12n

元。因此，n天共存了

1+2+4+…+12n

(12)

(21)

12

n

n







元。

∵2n

11000，即2n1001

∴n10(92512，1021024)

所以，n最小為10。

答：10天後。

【類題練習3】小華想要開始儲蓄，並計畫每天的存款為前一天的兩倍。第一天存1元，請

問至少幾天後，儲蓄總金額超過500元？

【範例4】將十萬元以定期儲蓄存款方式存入銀行十年，年利率為5％，

按複利計息，則十年期滿可得本利和多少元？

（未滿1元以1元計，且1.0510

1.629）

【解】由本利和本金(1利率)期數，若令本金P，利率r和期數n，

可知:1期後本利和SP(1r)；

2期後本利和SP(1r)(1r)P(1r)2；

3期後本利和SP(1r)2(1r)P(1r)3；



n期後本利和SP(1r)n。

因此，10年期滿可得本利和為

100000×(10.05)10

162900。

答：162900元。

【類題練習4】將二十萬元以定期儲蓄存款方式存入銀行三年，年利率為2％，按每年複利

計息，則三年期滿可得本利和多少元？

（未滿1元以1元計，且1.023

1.061）

【範例5】某人每年年初在銀行存入1萬元，年利率5％，若按每年複利

計算，則十年期滿可得本利和多少元？

（未滿1元以1元計，且1.0510

1.629）

【解】我們知道：

第一年年初存入的1萬元，十年後的本利和為100001.0510元；

第二年年初存入的1萬元，九年後的本利和為100001.059元；

依此類推，

第十年年初存入的1萬元，一年後的本利和為100001.05元。

因此，十年期滿可得本利和為

100001.05100001.052…100001.0510

100001.05(11.05…1.059)

100001.05

1011.05

11.05







132090元

答：132090元。

【類題練習5】銀行優惠存款利率，月息為1％。每月月初存入5000元，按每月複利計算，

請問4個月期滿本利和為多少元？

（未滿1元以1元計，且1.014

1.0406）

【範例6】某人向銀行貸款100000元，月利率0.3﹪，每月複利計息，分

三個月償還本金及利息。請問每月平均需付多少元？

（假設借貸期間利率不變，未滿1元以1元計，且

31003100903..

）

【解】我們知道借款與還款在期滿時的本利和應相等，也就是說，

期滿時應還款的總額為3

3

100000(1)

1000

元。

假設每月平均需付x元。那麼，

第一個月所還的x元，經過2個月後的本利和為2

3

(1)

1000

x元；

第二個月所還的x元，經過1個月後的本利和為

3

(1)

1000

x元；

第三個月還x元；

期滿時還款的總金額為2

33

(1)(1)

10001000

xxx元。

因此，3

3

100000(1)

1000

2

33

(1)(1)

10001000

xxx

21.003(1.003)xxx



31.0031

1.0031

x





3.01x

1009033.01x

x



33523

答：每月需付33523元。

【類題練習6】某人向銀行貸款100000元，月利率0.2﹪，按每月複利計息，分三個月償

還本金及利息。請問每月需付多少元？

（假設借貸期間利率不變，未滿1元以1元計，且310021006..

。）

【重點整理】

1.如果一個等比級數有n項，其中首項為a

1

，公比為r，並以S

n

表示級數和時，那麼

(1)當r1時，S

n

na

1

；

(2)當r1時，S

n

1

(1)

1

nar

r





。

【家庭作業】

基礎題

1.已知某一等比級數的首項為5，公比為4，且共有5項。求此級數的和。

2.已知某一等比級數的首項為4，公比為2，且和為508。求項數。

3.已知有5個桶子。在第一個桶子放入一個球，第2個桶子放入3個球，第3個桶子放

入9個球，以此類推，也就是說，後一桶放入的球數為前一桶放入球數的3倍。請問這

5個桶子共有幾個球？

4.已知某一等比級數的和為1820，公比為3，且共有6項，求首項。

5.某發卡銀行的信用卡循環利息為每月1.5％，某人刷卡10000元，逾繳

費期限三個月未繳款，請問此人信用卡債務為多少元？

（未滿1元以1元計，且1.0153

1.0457）

進階題

6.求999999…9999999的和。

7.某人每年年初在銀行存入1萬元，年利率1％，按每年複利計算，則三年期滿可得本利

和多少元？(元以下四捨五入)

1-3立方公式

【類題練習1】(1)3223

272791

8888

xxyxyy

(2)64223

125

6412075

8

aababb

【類題練習2】(1)

3

3125

8

b

a

(2)633619216xxyy(3)25

【家庭作業】1.○1

326128xxx○2

32238365427aababb

○3

33

278

xy

○4

3

38

8

b

a○5

6729a

2.○13○2760/3

3.○1

22(1)(1)(1)(1)aaaaaa

22(1)(1)(1)(1)aaaaaa

33

6

(1)(1)

1

aa

a





○2承○1，22(1)(1)(1)(1)aaaaaa

61a32()1a28163

○3承○1，22(1)(1)(1)(1)aaaaaa

61a23()1a351124

4.○1(1)2222()23225ababab

(2)3322()()ababaabb

22()()3(52)9ababab

○2(1)222()2abaabb

222()

2

abab

ab





25(1)

2





2

(2)3322()()ababaabb

22()()ababab(1)(52)7

五、數列與級數

5-1

【類題練習1】(1)17,23,29(2)16,23

【類題練習2】(1)73(2)公差6,第十項19

(3)公差為5,前六項為2,3,8,13,18,23.

【類題練習3】首項為0,第二十項為95.

【類題練習4】11

【類題練習5】5

【家庭作業】1.○114,18○23,7

2.23

3.公差為2,第十一項為5.

4.公差為7,前六項為4,3,10,17,24,31.

5.57

6.首項為6,公差為3,第九項為30.

7.17

8.12

9.等差數列2，a

2

，a

3

，11的首項為2.

∵第4項為11∴d

112

41





3

插入兩個數為5，8.

10.∵等差數列6,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

,a

6

,30的首項為6,第7項為30.

∴公差d

306

71





4

11.（1）設82公分是由x張白紙黏貼成的.

2張白紙黏貼成2×10－1公分,

3張白紙黏貼成3×10－2公分,

〃〃〃

x張白紙黏貼成x×10－(x－1)公分.

10x－(x－1)＝82x＝9

（2）20張白紙黏貼成20×10－(20－1)＝181公分

5-2

【類題練習1】(1)2241(2)145(3)2842

【類題練習2】(1)公差為4/3,第十項為16.

(2)項數為11,公差為7.2.

(3)10

【類題練習3】1080

【類題練習4】20100

【家庭作業】1.5302.6103.74554.公差為7,第十項68.

5.106.15度7.2

8.○11005k2500，kZ985k498

3

19

5

k

3

99

5

∴k20，21，…，99共有99-20+1＝80(個)

○2總和

80[(5202)(5992)]

2



23960

9.(1)每排三角形個數成一等差數列.

a

1

＝1,a

2

＝3,d＝2a

11

＝1＋(11-1)×2＝21（個）

(2)

11(121)

121

2



（個）

10.a

1

＝1,a

7

＝28,總和＝

7(428)

112

2



.

11.

(2)(149)

2

m

＝250m＝8

12.a

1

＋a

2

＋a

3

＋…＋a

15

＝(a

1

＋a

15

)＋(a

2

＋a

14

)＋(a

3

＋a

13

)＋…＋(a

7

＋a

9

)＋a

8

＝2a

8

＋2a

8

＋2a

8

＋…＋2a

8

＋a

8

＝15a

8

＝75

13.50÷2=25,50÷3=

2

16

3

,50÷6=

2

8

6

25＋16－8＝33

2或3的倍數共有33個,

2的倍數和＝

25(250)

650

2



;

3的倍數和＝

16(348)

408

2



;

6的倍數和＝

8(648)

216

2



.

650＋408－216＝842

答：（1）33個（2）842

5-3

【類題練習1】(1)50,250(2)75,375

【類題練習2】(1)162(2)4,8,16,32,64

(3)首項為16,公比為1/2.(4)512

【類題練習3】160000張

【類題練習4】10,10

【家庭作業】1.○1108,648○21/2,1/8

2.64

3.8,4,2,1,1/2

4.首項為96,公比為1/2

5.768

6.6,6

7.3.75×1022

8.設b＝ar，car2，dar3

23

8

72

aar

arar









2

(1)8

(1)72

ar

arr













○2÷○1得r29,r3（公比為正數）,a＝2.

∴此四個數為2,6,18,54.

〃〃〃○1

〃〃〃○2

9.設b＝ar，car2.

2

2

2

7

6

arard

ad

arar

















……



……



……



由○3

2

6

a

rr





…○4

代入○2得

2

6

7d

rr





…○5

○4、○5代入○1得r=2

a,b,c,d為1,2,4,6

10.設三正數為a－d,a,a+d.



a－d＋a＋a+d＝30



a＝10

(10－d+1)(10+d+29)＝(10＋5)2



d＝6

三正數為4,10,16.

5-4

【類題練習1】(1)155(2)5

【類題練習2】

87/2

公尺

【類題練習3】9天後

【類題練習4】212200元

【類題練習5】20503元

【類題練習6】33467元

【家庭作業】1.1705

2.7

3.121個

4.5

5.10457元

6.9＋99＋999＋…＋9999999

＝10－1＋100－1＋…＋107－1

＝(10＋100＋…＋107)－7

＝11111103

7.100001.01100001.012100001.013

100001.01(11.011.012)

100001.01

311.01

11.01





30604元