魏尔斯特拉斯函数

魏尔斯特拉斯

weierstrass德国数学家，生于巴伐利亚，卒于柏林。weirstrass堪称现

代分析之父，他的论文与教学影响整个二十世纪分析学（甚至整个数学）的

风貌。

weirstrass的父亲官运不错，家庭经常搬家，weirstrass因此经常转学。

虽然他在gymnasium时期（相当于初高中）已经常阅读《crell》期刊，展示

他无比的数学天赋，他的父亲却在bonn（波昂）大学帮他安排好前途——法

律、财政与经济。weirstrass心内挣扎于父命与兴趣，大学期间遂自我放逐，

整天练习击剑和酗酒，身心冲突甚至影响他日后的健康。

他自修数学，阅读laplace的《天体力学》与Abel函数的论文，自己发

展研究复变函数的工具，虽然当时他没发表这些早熟的成果，他在大四已下

定决心献身数学研究。

但是因为他荒废bonn大学的学业，不能毕业，26岁时，他辗转取得高

中老师的资格，开始15年的高中数学教师生涯，但事实上他同时还要教授物

理、植物学、地理、历史、德文、书法、体育等课程，课务繁冗不堪，加上

他争取每一分钟从事数学研究，使他在35岁后的12年间，间歇性地严重晕

眩。

除了一些在地方学报发表的数学文章。weirstrass第一篇重量级论文

〈zurtheoriederabelschenfunctionen〉（abel函数理论）1854年发表

在《crelle》期刊，展示他之前发展已久之收敛幂级数法的威力。konigsberg

大学因此给他荣誉博士学位，并且他也开始申请大学的教职，Dirichlet甚

至向普鲁士文化部强力推举他在大学任教。1856年当他第二篇关于abel函数

的论文发表后。各大学及研究院的聘书蜂拥而至，最后以41岁的「高龄」，

他落脚在柏林大学。与kummer，kronecker将柏林大学的数学研究带入鼎盛

时期。

不知道是否与他的高中教师经历有关，weirstrass的授课十分成功吸引

了全世界的数学学子。尤其在1859-1864的课程《分析导论》、《积分》、

《解析函数论》中，开始为整个分析学打下严谨的基石。引介方法；发展实

数理论；证明复数是实数唯一的体扩张（fieldextension）（完成高斯的猜

测）；并提出有名的异例：一个处处连续却到处不可微的函数。

他的理论被弟子（如killing，hurwitz）记录出版，一直到今天的分析

学课程，仍然采用weirstrass的课题与思路。他的学生非常多（如cantor，

holder，klein，lie，minkowski，mittag-leffler，schwarz等，还有

kovalevskaya），日后都是数学名家，也将weirstrass的影响力带入二十世

纪。

weirstrass是现代分析学之父，工作涵盖：幂级数理论、实分析、复变

函数、abel函数、无穷乘积、变分学、双线型与二次型、entire函数等。在

数学基础上，他接受cantor的想法（甚至因此与多年好友kronedcer绝交）。

透过他的教学与学生，weirstrass也影响了二十世纪数学的风貌。