同类项的定义

§3.4.1同类项

教学目标

1、学生理解、掌握同类项的定义

2、会根据定义识别同类项；

3、通过“同类项”概念的学习，继续培养学生运用定义进行判断的能力；

教学重点和难点

重点：同类项的定义。

难点：识别同类项。

课堂教学过程设计

一、引入：

在上课前，我说这样一段话，请同学们用一个成语概括出来：同类的东西常聚

在一起。多指坏人臭味相投，勾结在一起。

在生活中，我们常常把具有相同特征的事物归为一类。在多项式的各个项中，

也可以把具有相同特征的项归为一类，

二、复习提问：

问题：多项式

5251432222xyyxxyyx有几项，分别是什么，上述多项

式的哪些项可以归为一类，归为同一类的项有什么相同特征。（学生自由发表意

见，教师把分类后各项用线连接起来）

总结：（1）3yx2与5yx2可以归为—类，—42xy与22xy可以归为一类，还有—

1与5也可以归为一类．

（2）3yx2与5yx2只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指

数都是2，并且x的指数都是1，y的指数都是1。

问题：为什么把—42xy与22xy可以归为一类？

（学生说明—42xy与22xy可以归为一类的原因）

概念：像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类

项。（板书）

问题：根据同类项的概念，你能写出两个单项式并且是同类项吗？

（学生自由板演，教师、学生共同评价正误）

说明：所有的常数项都是同类项。（板书）

比如．前面提到的多项式中，—3与5也是同类项。

说明：对于同类项的概念，有两个相同和两个无关。

1、两个相同（1）所含字母相同；

（2）相同字母的指数分别相同；两者缺一不可；2、两个无关：（1）、同类项与

系数大小无关；（2）、同类项与它们所含相同字母的顺序无关.

例1：把出下列多项式中的同类项：

（1）523123xyyx

（2）2222

2

3

3

1

23yxxyxyyx

（先由学生分析，同类项下面画同一种标记，再板书）

例2：K取何值时，

yxyxk23与

是同类项？

分析：要使

yxyxk23与

是同类项，必须满足什么条件？

例3：请你在下面的横线上填上适当的内容，使两个单项式构成同类项。

（1）-3x

2

y

3

与2x2（2）2m与-5n2

（3）-3a与6a

4、果213

2

1

xyyxba和是同类项，求多项式

)()(

2

3

)(

2

1

)(322babababa的值。

作业：P114-1、2、3

补充作业：

1、判断下列各组中的两项是不是同类项，并说明为什么？

（1）0.2x2y与0.2xy2;(2)4abc与4ac;

(3)mn与-mn(4)-125与12;

(5)1/4st与1/5ts.（6）22与a2

(7)3x2y与-3x2y；(8)0.2a2b与0.2ab2；

(9)11abc与9bc;(10)3m2n3与-n3m2；

(11)4xy2z与4x2yz；

2、标出下列各题的同类项。

(1)6x-10x2+1+12x2-5x-3

(2)x2y-3xy2+2yx2-y2x

(3)-2x3+3x2-2-2x3+2x3-10+x2

(4)4x2-8x+5-3x2+6x-2;

(5)4a2+3b2+2ab-4a2-3b2

板书设计：

学科：数学

教学内容：同类项

【学习目标】

1．能说出同类项的意义，并能在具体问题中准确地判断出同类项．

2．能说出合并同类项法则，并会正确地合并同类项

【主体知识归纳】

1．同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项，几

个常数项也是同类项．

2．合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

3．合并同类项的法则同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指

数不变．

【基础知识讲解】

1．掌握同类项的意义在于辨别同类项．同时，辨别同类项又是合并同类项的基础．作

为同类项必须同时具备两个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也分别相同，

二者缺一不可．如3xy与3x2y，尽管它们所含字母相同，但是，字母x的指数不相同，所

以3xy与3x2y就不是同类项；再如3xy与3axy，尽管x、y在两个单项中的指数分别相等，

但后一个单项式中多一个因式a，所以3xy与3axy不是单项式．

2．合并同类项是以后要学习的整式的加减法的基础．其实质是把多项式中的所有同

类项合并成一项，合并时，只把同类项的系数相加，字母及其指数都不变．

3．在多项式中，只有同类项才能合并，合并时，应注意不要漏掉同类项，这也是初

学者常犯的错误之一，在解题时应予以重视．

4．在一个多项式中，若含有两种以上的同类项时，为防止漏项或混淆，时常先在多

项式中各项的下边用不同的记号标出各种同类项，然后再分别进行合并同类项．

【例题精讲】

例1说出下列各题的两个单项式是不是同类项，不是同类项的，请说明理由．

(1)

3

1

x3y2与

3

1

x2y3；(2)6xy与6xyz；(3)x2与2x；(4)－4xy与0．03xy；

(5)

2

1

与7；(6)－3x2yz与

2

1

yx2z；(7)3xy2与

3

1

y2x；(8)

8

ab

与32ab；

(9)x3y与x3＋y；(10)－

2

x

与

x

2

．

剖析：同类项，首先必须是整式，再就是必须同时具备两个“相同”，即所含字母相

同，相同字母的指数也分别相同．而项的系数不管是小数、整数还是分数，均与判别同类

项无关；另外，项中字母的排列顺序与判别同类项无关．

解：(1)

3

1

x3y2与

3

1

x2y3不是同类项，因为两式中相同字母的指数不同；

(2)6xy与6xyz不是同类项，因为两式中所含的字母不相同；

(3)x2与2x不是同类项，因为两式相同字母的指数不相同；

(4)－4xy与0．03xy是同类项；

(5)

2

1

与7是同类项；

(6)－3x2yz与

2

1

yx2z是同类项；

(7)3xy2与

3

1

y2x是同类项；

(8)

8

ab

与32ab是同类项；

(9)x3y与x3＋y不是同类项，因为x3＋y是一个二项式；

(10)

2

x

与

x

2

不是同类项，因为两项中尽管所含字母相同，但是

x

2

不是整式．

例2合并下列各多项式的同类项．

(1)－2x＋5x－x；(2)0．25x3y－

4

1

x3y＋5；(3)3x2－5x＋4－2x－x2．

解：(1)－2x＋5x－x＝(－2＋5－1)x＝2x；

(2)0．25x3y－

4

1

x3y＋5＝(0．25－

4

1

)x3y＋5＝5；

(3)3x2－5x＋4－2x－x2＝(3－1)x2＋(－5－2)x＋4＝2x2－7x＋4．

说明：在一个多项式中，没有同类项的项要作为一项写在合并后的结果中．

例3下列各式的化简是否正确，若不正确，请给以改正．

(1)－x－x＝0；(2)

2

1

ab＋0．5ab＝ab；

(3)x2y＋xy2＝2x2y2；(4)3xy－2x2y2＝－xy；

(5)3a2b－5ab＋4－2ba－ba2＝2a2b－7ab＋4；

(6)xy－x＋y＋3－2yx＋x－y－5＝xy－2yx－2．

解：(1)不正确．正确的解法是：－x－x＝－2x．

(2)正确．

(3)不正确．x2y与xy2不是同类项，不能合并．

(4)不正确．3xy与－2x2y2不是同类项，不能合并．

(5)正确．

(6)不正确．正确的解法是：xy－x＋y＋3－2yx＋x－y－5＝－xy－2．

例4合并下列各多项式的同类项．

(1)6xy－3x2－4x2y－5yx2＋x2；

(2)x－3x2－7x－x2－5；

(3)5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x；

(4)4x2－(－4x3)－5＋(－6x)－(－x2)－3x3＋3x＋6；

(5)3(a＋b)2－(a＋b)＋2(a＋b)2－(a＋b)3＋4(a＋b)；

(6)－

3

5

(x＋y)2－6(x＋y)＋3(x＋y)2＋

3

4

(x＋y)；

(7)3(a－b)－5(a－b)＋12(a－b)－7；

(8)an＋(－2an)－an＋1－(－2an)－2an＋1．

剖析：第(1)～(4)小题做起来不会有太大疑问；第(5)～(7)小题只需把括号内的多项式

看作一个整体；第(8)小题需要把多项式的各项变成省略括号的和的形式，再进行合并同类

项，注意an与an＋1的区别．

解：(1)6xy－3x2－4x2y－5yx2＋x2＝6xy－3x2＋x2－4x2y－5x2y＝6xy－2x2－9x2y．

(2)x－3x2－7x－x2－5＝x－7x－3x2－x2－5＝－6x－4x2－5．

(3)5a－3x＋4a＋8x－5ax－2x＝5a＋4a－3x＋8x－2x－5ax＝９a＋3x－5ax．

(4)4x2－(－4x3)－5＋(－6x)－(－x2)－3x3＋3x＋6＝4x2＋4x3－5－6x＋x2－3x3＋3x＋6

＝4x2＋x2＋4x3－3x3－6x＋3x－5＋6＝5x2＋x3－3x＋1．

(5)3(a＋b)2－(a＋b)＋2(a＋b)2－(a＋b)3＋4(a＋b)

＝(3＋2)(a＋b)2＋(－1＋4)(a＋b)－(a＋b)3

＝5(a＋b)2＋3(a＋b)－(a＋b)3．

(6)－

3

5

(x＋y)2－6(x＋y)＋3(x＋y)2＋

3

4

(x＋y)＝－

3

5

(x＋y)2＋3(x＋y)2－6(x＋y)＋

3

4

(x

＋y)＝

3

4

(x＋y)2－

3

14

(x＋y)．

(7)3(a－b)－5(a－b)＋12(a－b)－7＝10(a－b)－7．

(8)an＋(－2an)－an＋1－(－2an)－2an＋1＝an－2an－an＋1＋2an－2an＋1＝an－2an＋2an－an

＋1－2an＋1＝an－3an＋1．

说明：(1)初学合并同类项时，可按照本例的步骤逐步进行，以防出错．

(2)没有同类项的项，在合并的过程中不要丢掉．

(3)第(5)～(7)小题，在合并同类项时，把括号内的多项式看作一个整体，属于一

种解题技巧．

例5已知单项式2a2mb与7a6b是同类项，求代数式m2－2m＋7的值．

解：∵2a2mb与7a6b是同类项，

∴相同字母的指数分别相同，

∴2m＝6，m＝3，

∴m2－2m＋7＝32－2×3＋7＝10．

说明：运用同类项的定义中的两个“相同”编拟出数学题目，这类题目不但在练习题

中经常碰到，在历年的中考试题中也经常出现．

【思路拓展题】

为什么三个连续奇数一定两两互素？

两个正整数，除了1以外没有其他公约数，我们就称这两个正整数互素；如果三个正

整数中，任意两个都互素，就称这三个正整数是两两互素．

我们知道，任何一个奇数都是不能被2整除的，因此，它的约数也一定是奇数．如15

的约数是1，3，5，15，它们都是奇数．

不难发现，如果两个数都是某一个整数P的倍数，那么，这两个数的差也一定是P的

倍数，如100与15都是5的倍数，而100与15的差85也是5的倍数．

据此我们来看三个连续奇数为什么一定两两互素．在三个连续奇数中，任意取出两个，

并其中小的一个奇数设为m，则较大的一个奇数为n＝m＋2或n＝m＋4．如果m与n有

奇公约数P，那么P一定是n－m的约数，也就是说P一定是2或4的约数．因此P＝1．可

见m与n的奇公约数只有1．另一方面，m与n都是奇数，它们一定没偶公约数，这样我

们就证明了m与n的公约数只有1，也就是m与n互素．由于三个连续奇数中任意两个都

互素，所以它们两两互素．

【同步达纲练习】

1．判断题

(1)所含字母相同的项是同类项．

(2)相同字母的指数也相同的项是同类项．

(3)不相等的常数不是同类项．

(4)几个单项式是否是同类项，与它们的系数无关．

(5)5xy2－4x2y＝xy2．

(6)－x－x＋1＝1．

(7)6a2b－8ba2＝－2a2b．

(8)

3

1

a＋

3

1

x＝

3

1

ax．

(9)3x2y－3y＝x2．

(10)两个系数互为相反数的单项式的和等于0．

2．填空题

(1)合并同类项1－3x－3x＋1＝____________．

(2)在6xy－3x2－4x2y－5xy2＋3yx2＋x2中没有同类项的项是____________．

(3)如果3xy和－xa－1y是同类项，那么a＝____________．

(4)请举出两个与2xy2是同类项的单项式____________．

(5)若单项式xm与－3x3是同类项，则|8－3m|＝____________．

(6)当x＝－3时，代数式－x＋b的值等于2，则代数式b3－1＝____________．

(7)当k＝____________时，多项式x2－3kxy－3y2－

3

1

xy－8中不含有xy项．

(8)如果x＜2，化简|x－2|＋2x＝____________．

(9)当x＝－y时，化简2(x－y)＋4y－3＝____________．

(10)当m＝____________时，mx＋3x＝0．

3．选择题

(1)下列各组单项式中，不是同类项的是

A．

2

1

x2y与－

2

1

x2yB．ab与－baC．3abx2与3x2abD．x2y3与x3y2

(2)下列合并同类项正确的是

A．－2ab＋2ab＝0B．3ab－5ab＝－2C．－x－x＝0D．x＋x＝x2

(3)若3axb与

2

1

a2by是同类项，则x＋y的值为

A．3B．2C．－1D．－2

(4)负数a与－a的差的绝对值为

A．2aB．－2aC．0D．以上都不对

(5)下列等式不成立的是

A．1．5x＋0．5x＝2xB．1．5x－0．5x＝1

C．1

2

1

xy＋

2

1

xy＝2xyD．－6x2＋10x2＝4x2

(6)计算a5＋2a4－3a3－a5－2a4－3a3的结果是

A．6a3B．－a3C．－6a3D．6a6

(7)把多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2合并同类项后所得结果是

A．二次二项式B．二次三项式C．一次二项式D．单项式

(8)多项式7x3－6x3y＋3x2y＋3x3＋6x3y－3x2y－10x3的值

A．与字母x，y都无关B．只与x有关

C．只与y有关D．与字母x，y都有关

(9)在式子2＋x＝2x，x＋x＋x＝3x，3ab－ab＝3，－

2

1

x2y＋0．5x2y＝0中，成立的

个数是

A．1B．2C．3D．4

(10)若

3

1

xk＋mym与－xk＋2y2为同类项，且k为0或正整数，则满足题目条件的k的值有

A．1个B．2个C．3个D．无数个

4．合并下列各式的同类项

(1)

;1543222xxxx

22233

2

3

2)2(babaaba

(3)0．3m2n＋mn2－0．2nm2＋0．1mn2－0．1m2n；

(4)2t2－3pt－1＋p－2pt－

2

1

t2＋1；

(5)x3＋2x2y＋y2x＋yx2＋2xy2＋y3；

(6)x4－x3＋4x2－2x4－2x3＋7x4．

5．已知多项式mx5＋nx3＋px－4，当x＝2时，此多项式的值等于5，求当x＝－2时，

该多项式的值．

6．已知单项式

2

5

x5my3与－

61

4

x10yn－3是同类项，求多项式

2

1

m－

3

1

n2的值．

7．当m＜n＜0时，求代数式n＋2m＋2|m|＋2|n|的值．

8．先合并同类项，再求多项式的值．

(1)－x2y－2xy2－3x2y＋6，其中x＝3，y＝－5；

(2)m3－m2n＋

2

1

m3－3m3＋2m2n－

2

3

n3，其中m＝3，n＝－2；

(3)0．8a2－a2＋

2

1

a2－1．3a2，其中a＝1

7

5

；

(4)a2b－6ab－3a2b＋5ab＋2a2b，其中a＝0．1，b＝0．01；

(5)a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2－b3，其中a＝1，b＝－3；

(6)x3y－x2y－2xy＋3x2y－yx2＋xy，其中x＝2，y＝

8

1

．

参考答案

【同步达纲练习】

1．(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×(7)√(8)×(9)×(10)×

2．(1)2－6x(2)6xy，－5xy2(3)2(4)(略)(5)1(6)－2(7)－

9

1

(8)2＋x(9)－3

(10)－3

3．(1)D(2)A(3)A(4)B(5)B(6)C(7)D(8)A(9)B(10)D

4．(1)－x2－2x－3(2)5a2－

2

9

ab＋b2

(3)1．1mn2(4)

2

3

t2－5pt＋p

(5)x3＋3x2y＋3xy2＋y3(6)6x4－3x3＋4x2

5．－13．

提示:由题意，得32m＋8n＋2p－4＝5，所以32m＋8n＋2p＝9．当x＝－2时，mx5＋

nx3＋px－4

＝－32m－8n－2p－4＝－(32m＋8n＋2p)－4＝－9－4＝－13．

6．－11．

提示:由题意，得5m＝10，3＝n－3，则m＝2，n＝6．所以

2

1

m－

3

1

n2＝

2

1

×2－

3

1

×

62＝1－12＝－11．

7．－n．

提示:因为m

8．(1)－4x2y－2xy2＋6，36(2)－

2

3

m3＋m2n－

2

3

n3，－

2

93

(3)－a2，－

49

144

(4)

－ab，－0．001

(5)a3－b3，28(6)x3y＋x2y－xy，

4

5