什么是二分法

《利用二分法求方程的近似解》教学设计

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《利用二分法求方程的近似解》教学设计

甘肃武山县第一高级中学郭丽珍

guolizhen8@

教材背景与内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》第三章第一单元

第二节———用二分法求方程的近似解.二分法的理论依据是“函数零点的存在性（定

理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸.二分法虽然是

刻板的、机械的，有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对

学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让学生感受整体到局部、特殊到

一般、定性到定量、精确到近似、计算到技术、技法到算法这些数学思想的发展过程.

在二分法教学中，方法的建构、技术的运用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是

这节课的隐性教学目标，在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，

是为了更好地说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个阶段是从形再到数，其中

的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表格.在这样的过程中，形的特征不断被深化，

最后抽象成了以数为主体的一个算法流程.因此，整个二分法的教学流程要体现在这

样一个框架当中：它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化

是从整体到局部，去研究函数零点区间.

学情分析

学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解

决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备.但学生仅是比较

熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间

的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成了一

定困难.

教学目标设计

1.知识与技能

通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用

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方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际

问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．

2.过程与方法

借助计算器、excel、几何画板等多媒体辅助工具利用二分法求方程的近似解，让

学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为

下一步学习算法做准备．

3.情感、态度、价值观

通过探究体验、展示与交流，养成良好的学习品质，增强合作意识.通过体会数学

逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点难点

重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初

步形成用函数观点处理问题的意识．

难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

课时安排：2课时

教学结构设计

问题导学、数学探究：通过问题引导学生自主探究二分法的原理与步骤，以师生互动为

主的教学方法，并辅以多媒体教学手段，创设问题情景，学生根据问题研讨.

设计思路如下：

设计数学问题，引发学生思考，激起学生探究欲望.问题情境

问题引导

问题导学

理解领悟

巩固应用

作业布置

将数学问题转换，引导学生利用熟悉的数学知识解决问题.

学生根据问题观察、分析、研讨用二分法求方程近似解的思想、一

般步骤和解题格式.

学生总结研讨成果，领悟新知识，提高认识.

应用二分法解决简单问题，体会函数零点的意义,明确确二分法的

适用范围，将信息技术应用于数据处理.

巩固所学内容，进一步提高能力.

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教学媒体设计

本节课以PowerPoint为制作平台，演示Excel程序求方程的近似解，界面活泼，充

分体现了信息技术与数学课程有机整合.在课堂教学中利用计算器进行了多次计算，逐

步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学上的难点，提高了

探究活动的有效性.

本节课的教法特点

本节课采用的是问题驱动、启发探究的教学方法.通过分组合作、互动探究、搭建

平台、分散难点的学习指导方法把问题逐步推进、拾级而上，并辅以多媒体教学手段，

使学生自主探究二分法的原理.本节课特点主要有以下几方面：

1.以问题驱动教学，激发学生的求知欲，体现了以学生为主的教学理念.

2.注重与现实生活中案例相结合，让学生体会数学来源于现实生活，又可以解决

现实生活中的问题.

3.注重学生参与知识的形成过程，使他们“听”有所思，“学”有所获.本节课

中的每一个问题都是在师生交流中产生，在学生合作探究中解决，使学生经历了完

整的学习过程，培养合作交流意识.

4.恰当地利用现代信息技术，帮助学生揭示数学本质.本节课中利用计算器进行了

多次计算，逐步缩小实数解所在范围，精确度的确定就显得非常自然，突破了教学

上的难点，提高了探究活动的有效性.整个课件都以PowerPoint为制作平台，演示

Excel程序、几何画板求方程的近似解.

教学过程

导入新课

思路1【情境导入】

实例一：李咏主持的幸运52中猜商品价格环节（或者老师的衣服价格），让学生思考

（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？

（2）如何猜才能最快猜出商品的价格？

实例二：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这

是一条10ｋｍ长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一闸门（待查）指挥部

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一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10ｋｍ长，大约有200

多根电线杆子呢.

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

推进新课,新知探究

1.提出问题：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？

问题1：你能解

62lnxx

这个方程吗？（精确度0.1）

2.你能分析解的大概情况吗？（几何画板展示函数图象）

设计意图：

（1）通过利用现有知识未能解决的数学问题，激发学生探究兴趣；

（2）通过该问题，介绍给学生一些有关与求解方程有关的一些数学史的知识；

（3）通过该问题组，引导学生数形结合，巧妙将方程解的问题转化为函数交点的问

题，进一步转化成函数零点的问题.

问题2：令

62ln)(xxxf

，

0

x为其零点．

1．零点左右函数值有什么特点呢？我们能运用此性质确定零点所在区间吗？

2．我们能将零点所在的区间缩小吗？

3．我们还需要什么条件呢？

4．限定的精确度为0.5（即区间长度小于0.5）

设计意图：回归数学问题，引导学生知识迁移，并在交流探讨中逐步指导学生二分法求

解方程近似解步骤．

抽象概括：在误差要求的范围内，在某一区间内要找某个特定值、近似值，可以通过取

区间的中点，把区间一分为二，逐步缩小特定值所在的区间（即二分法思想）．这种思

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想经常用于查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、实验设计、资料查询，也是方

程求近似解的常用方法！

设计意图：

（1）让学生体会数学来源于生活，又应用于生活的意义；

（2）通过学生熟悉的实际情景，让学生体会二分法思想；

（3）逐步为利用二分法求解方程近似解作铺垫．

2．探究新知

问题3：令

62ln)(xxxf

，其零点0

x

∈（2，3）．

1．实验计算：每个学习小组，根据二分法思想，利用计算器计算数据，并完成“用二

分法求方程近似解实践表格”.满足精确度时的零点所在区间是__________，取近似解

为

_________

令

62ln)(xxxf

，其零点0

x

∈（2，3），精度0.1

区间中点的值中点函数近似值精确度

（2，3）2.5-0.0841

（2.5，3）2.750.5120.5

（2.5，2.75）2.6250.215

0.25

（2.5，2.625）2.56250.0660.125

（2.5，2.5625）2.53125-0.0090.0625

（1）你能说说每次所取区间的理由吗？

（2）“用二分法求方程近似解”时，所给的精确度有什么作用？

（3）你能用自己的语言描述“用二分法求方程近似解”的方法步骤吗？

设计意图：（1）将数学问题的实际探究完全交给学生，充分体现学生学习的自主能动性；

（2）加强学习小组的交流，培养学生团队意识．

3．讨论交流

展示各小组填写的“用二分法求方程近似解表格”，并派代表发言交流.

（1）你能说说每次所取区间的理由吗？

（2）“用二分法求方程近似解”时，所给的精确度有什么作用？

（3）你能用自己的语言描述“用二分法求方程近似解”的方法步骤吗？（学生展示完

毕后利用信息技术EXCLE展示计算过程，并提高精确度要求，继续二分法实验）

设计意图：培养学生语言组织和表达能力，增强团队意识.

4．抽象概括

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（1）求零点二分法：对于在区间［a，b］上连续且满足f（a）·f（b）＜0的函数y=f（x），

通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两间一分为二，使区间

的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

（2）用二分法求函数零点近似解的方法步骤

5．深入探究

问题4：若函数f（x）在闭区间［a，b］上的图象是连续曲线，并且在闭区间［a，b］

端点的函数值符号相反，即f（a）f（b）<0，则__f（x）在（a，b）上有一个零点吗？

勘根定理：若函数f（x）在闭区间［a，b］上的图象是连续曲线，并且在闭区间［a，b］

端点的函数值符号相反，即f（a）f（b）<0，则f（x）在（a，b）上至少有一个零点．

设计意图：加强学生数学素养方面的教学，也为后续探讨问题作理论铺垫.

问题5：是不是所有的零点问题都可以用本节课的方法？你能举例吗？

结论：不是所有的零点都适合，不连续函数的零点或同号

零点等等，例如：方程

0265.32234xxxx

对应函265.32)(234xxxxxf，

如下图所示.

（1）函数有几个零点？

（2）你能说说在这些零点左右两侧的函数值有什么特征？

（3）“利用二分法求方程近似解”这种方法对于它们都适用吗？

设计意图：培养学生严谨的数学学习态度，加强数学知识

确定

区间

求得

中点

中点函

数值为

零

取新

区间

判断精

确度

结束

否

是

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6．例题剖析，新知巩固

例1求方程

xx3lg

的近似解(精确到0.1)

解析:由

xylg

与

xy3

的图像可以看出方程

xx3lg

有唯一解x,且这

个解在区间(2,3)内.3lg)(xxxf,)3,2(0)3(,0)2(xff

用excel或计算器可算得

)3,5.2(0)3(,0)5.2(xff

用计算器计算或excel得:

)75.2,5.2(0)75.2(,0)5.2(xff

)625.2,5.2(0)625.2(,0)5.2(xff

)625.2,5625.2(0)625.2(,0)5625.2(xff

因为2.625与2.5625精确到0.1的近似值都为2.6,所以方程近似解为2.6.

)3,2(0)3(,0)2(xff

实际应用问题

例2在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这

是一条10KM长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一闸门（待查）指挥部一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一

次电线杆子，10KM长，大约有200多根电线杆子呢．

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

图２

E

D

C

闸门

指挥所

B

A

如图2，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障

在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点Ｅ来

查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩

小到50～100ｍ左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？

解：用简便易行的方法最多测试７次就能找到故障，方法是：10KM线路共有200根电杆．

第一次测试第100根，第二次测试有故障的一侧中的第50根，第三次再测有故障的一侧

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中的第25根，去掉一根，（有可能故障在这里）再侧有故障的一段中的第12根，第五次

测有故障一段中的第6根，第六次侧试有故障段中的第三根，第七次侧故障段中的中间

一根，至此，结束侧试，故最多7次就能找到故障．

点评：二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应

用．本题就是生活中的二分法间题．这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用，二

分法不仅可用于查找电线线路、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询等．

7．内容小结

知识小结：

（1）用二分法求函数零点近似解的适用条件？

（2）用二分法求函数零点的近似解的方法步骤？

思想方法小结：

（1）二分法的基本思想；（2）函数与方程思想；（3）数形结合

思想；（4）算法思想.

8.作业布置

1.知识巩固

第119页习题4－1A组1，2，4.

2.课外拓展

/jiaoyanketin/web2/“数学史上的一

座丰碑———伽罗瓦创立群论”．

3.课外思考

（1）如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了，那么怎么找出这个破裂处？

要不要把水泥板全部掀起？

（2）有48个大小形状一样的小球，有一个质量和其他47个不一样，不知道是重还是轻.

现只有一个天秤，如何最快的把这个质量不同的球找出来？

设计意图：（1）分层布置作业；（2）设计课外数学史有关内容的调查，培养学生数学

素养；（3）将实际问题引入，体会数学应用于生活的意义.

教学反思

虽然新课程已实施几年，但《二分法求方程近似解》这部分内容大部分教师只教过

一遍，笔者也一样.为了备好、上好这节课，笔者于是找来了课标、大纲、教参以及一

些相关书集先认真研习了一遍，还参考了数学史方面有关求解方程部分的内容，然后

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通过各种方式找到了这一节内容的各种教学案例，请教了组内其他教师，最终形成了本

节课的教学设计.设计这堂课的主要思路是要在新课程中的新内容中体现出新课程的

新理念，充分发挥学生学习的主动性，以学代讲！

通过这次备课和上课，笔者的认识有了提高，现总结如下：首先，在教学中要让

学生感受到二分法虽然是刻板的、机械的，甚至有时还需要进行大量的重复计算，但是

它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学当中要让

学生感受整体到局部、特殊到一般、定性到定量、精确到近似、计算到技术、技法到算

法这些数学思想的发展过程.

其次，要更好地揭示教材的编写意图.在二分法教学中，方法的建构、技术的运

用、算法的渗透以及它们的同步发展过程，是这节课的隐性教学目标，在教学中它体现

出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好地说明二分法的理论依据（根

的存在性）；第二个阶段是从形再到数，其中的形是包括从图象到数轴，再从数轴到表

格.在这样的过程中的形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程.

因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架当中：它是一个代数的问题，第

一次转化是从代数到几何直观，第二是教学备课是和学生所在不同层次相对应的，因人

而异．这样既让中等以下学生“吃饱”，同时又让学优生“吃好”，让不同层次的学

生都有收获．

这次教学设计，笔者虽然也认真地研究了教材，也力图体现新课程的一些理念，但

是整堂课上下来，自己也有些地方不满意.虽然尽量创造机会让学生进行自主学习、探

索学习，尤其是在二分法方法的体现上，尽量让学生自己去探究，但部分学生还是没有

参与其中.部分学生能够通过给定的情境寻找到解题方法，还有些学生并没有体会到情

景设置的意图，它的背景是一个教师对于学生认知水平和知识建构、数学知识的联系性

等等多方面的知识的整合.另外，最后问题的深入探究和整堂课的知识回顾过于草率，

没有留给学生回顾整合的时间.其实时间的掌握不太准确，实际上是由于教师在备课的

过程中心

准备的“教案”太少，缺少随机应变的能力，备学生“备”的不足.这些对于教师

的数学功底有很高的要求，所以最迫切的、最有效的方式就是钻研教材，阅读和学习，

笔者做得还远远不够，还需要不断学习.