牛顿发明了什么

牛顿的流数术

目录

一、牛顿简介...................................................................................................................................2

二、流数术的建立...........................................................................................................................2

三、流数出现的意义.......................................................................................................................3

一、牛顿简介

艾萨克·牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英

国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数

学原理》、《光学》。

他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三

大运动定律进行了描述。这些描述奠定了此后三个世纪里物理世

界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。他通过论证开普勒

行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天

体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力

的理论支持，并推动了科学革命。

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律。在光学上，他发

明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。他还

系统地表述了冷却定律，并研究了音速。

在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明

了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

在经济学上，牛顿提出金本位制度。

二、流数术的建立

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求

切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此时，牛顿首创了小o记号表示x

的无限小且最终趋于零的增量。

1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（即微积分），后来世人

就以这天作为“微积分诞生日”。1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续

探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），

次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理

成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（TractonFluxions）著称，当时虽未正式发表，

但在同事中传阅。《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即

微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如

下：

（a）设有两个或更多个物体A，B，C，„在同一时刻内描画线段x，y,z。已知表示这些线段

关系的方程，求它们的速度p，q，r的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比p/q的关系方程式，求另一线段y。牛顿对多

项式情形给出（a）的解法。

对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步列出了标准算

法。特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微

积分基本定理”当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证

明。

牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。在牛顿

以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分

计算面积。前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场

合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出

来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反

微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各

种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆

关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我

们说牛顿发明了微积分。

在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲

线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

而牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；

已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)微积分是研究函数的微分、积分以及有关

概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

三、流数出现的意义

流数的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析（牛顿称之为

“借助于无限多项方程的分析”），并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，

这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J.伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这

是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，

当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利的爪中我

认出了雄狮”。

牛顿在前人工作的基础上，提出“流数(fluxion)法”，建立了二项式定理，并和G.W.莱布尼

茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分

是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。目前在天文学、力学、化学、生物学、

工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是

计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。