海伦公式的证明

2021高一必修数学知识：海伦公式的证明方法

在高中复习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规

律，掌握常考的知识，这样有助于提高大家的分数。编辑老

师为大家整理了2021高一必修数学知识，供大家参考。

证明⑴

与海伦在他的著作Metrica(《度量论》)中的原始证明不同，

在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、

b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为[1]

cosC=(a^2+b^2c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*(1cos^2C)

=1/2*ab*[1(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*[4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2]

=1/4*[(2ab+a^2+b^2c^2)(2aba^2b^2+c^2)]

=1/4*[(a+b)^2c^2][c^2(ab)^2]

=1/4*[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,pa=(a+b+c)/2,pb=(ab+c)/2,pc=(a+bc)/2,

上式=[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)/16]

=[p(pa)(pb)(pc)]

所以，三角形ABC面积S=[p(pa)(pb)(pc)]