积分中值定理

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积分第一中值定理证明

积分第一中值定理:

如果函数

()fx

在闭区间

[,]ab

上连续，

()gx

在

(,)ab

上不变号，并且

()gx

在

闭区间

[,]ab

上是可积的，则在

[,]ab

上至少存在一点，使得

()()()(),()bb

aa

fxgxdxfgxdxab

成立。

证明如下：

由于

()gx

在闭区间

[,]ab

上不变号，我们不妨假设

()0gx

，并且记

()fx

在闭区

间

[,]ab

上的最大值和最小值为M和m，即

()mfxM

，我们将不等式两边同

乘以

()gx

可以推出，此时对于任意的

[,]xab

都会有

()()()()mgxfxgxMgx

成立。对上式在闭区间

[,]ab

上进行积分，可以得到

()()()()bbb

aaa

mgxdxfxgxdxMgxdx。

此时在

,mM

之间必存在数值，使得

mM

，即有

()()()bb

aa

fxgxdxgxdx

成立。

由于

()fx

在区间

[,]ab

上是连续的，则在

[,]ab

上必定存在一点，使

()f

成立。此时即可得到

()()()()bb

aa

fxgxdxfgxdx，

命题得证。

积分第一中值定理的推广

定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()fx是闭区间[,]ab上为可积函数，

()gx在[,]ab上可积且不变号，那么在开区间(,)ab上至少存在一点，使得

()()()(),(,)bb

aa

fxgxdxfgxdxab

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成立。

推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。

证法1：由于函数

()fx

在闭区间

[,]ab

上是可积的，

()gx

在

[,]ab

上可积且不

变号，令()()()

x

a

Fxftgtdt，()()

x

a

Gxgtdt，很显然

(),()FxGx

在

[,]ab

上连续。

并且()0,()()()

b

a

FaFbftgtdt，()0,()()

b

a

GaGbgtdt，

()()()Ffg



，

()()Gg



。由柯西中值定理即可得到

()()()

,(,)

()()()

FbFaF

ab

GbGaG

















，

化简，即

()()

()()

()

()

b

a

b

a

ftgtdt

fg

g

gtdt











，

根据上式我们很容易得出

()()()(),(,)bb

aa

ftgtdtfgtdtab，

命题得证。

证法2：由于函数()gx在[,]ab上可积且不变号，我们不妨假设()0gx。而

函数()fx在闭区间[,]ab上可积，我们令inf()|[,]mfxxab，

sup()|[,]Mfxxab。假设()Fx是()fx在闭区间[,]ab上的一个原函数，即

()(),[,]Fxfxxab



。我们就可以得到下面等式

()()()()bbb

aaa

mgxdxfxgxdxMgxdx（）

此时由于()0gx，则会有

()0

b

a

gxdx，由于存在两种可能性，那么下面我们

就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论：

(1).如果

()0

b

a

gxdx，由等式（）可得出

()()0

b

a

fxgxdx，那么对于

(,)ab

都有

()()0()()bb

aa

fxgxdxfgxdx

恒成立。

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(2).如果()0

b

a

gxdx，将（）除以()

b

a

gxdx可得

()()

()

b

a

b

a

fxgxdx

mM

gxdx







，（）

我们记

()()

()

b

a

b

a

fxgxdx

gxdx







，（）

此时我们又分两种情形继续进行讨论：

（Ⅰ）如果（）式中的等号不成立，即有

()()

()

b

a

b

a

fxgxdx

mM

gxdx







成立，则此

时一定就存在

mM

，可以使得

12

(),()mfxfxM，

我们不妨假设

12

xx，这其中

12

,[,]xxab。因为

()()Fxfx





，

[,]xab

，则会

有

1122

()()()()FxfxfxFx

。

此时至少存在一点

12

(,)xx，使得()()Ff

，即有

12

()()()(),(,)[,]bb

aa

fxgxdxfgxdxxxab

成立，从而结论成立。

（Ⅱ）如果（）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设

M

，因为

()0b

a

gxdx，此时一定存在区间

11

[,](,)abab（其中

11

ab），使得

11

[,]xab，

恒有()0gx成立，我们可以将（）式进行简化

()()()bb

aa

gxdxfxgxdx，

因为M，则有

[()]()0b

a

Mfxgxdx（）

而且我们已知[()]()0Mfxgx，则

1

1

0[()]()[()]0xb

ya

MfxgxdxMfxdx。

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于是

1

1

[()]()0x

y

Mfxgxdx（）

在式子（）下必定存在

11

[,](,)abab，使得

()fM

。

如果不存在一个

11

[,](,)abab，使得

()fM

，则在闭区间

11

[,]xy上

必定有

()0Mfx

及

()0gx

成立，从而使得

[()]()0Mfxgx

。

如果1

1

[()]()0b

a

Mfxgxdx，由达布定理在

11

[,]ab上有

[()]()0Mfxgx

，

这与

[()]()0Mfxgx

矛盾。

如果1

1

[()]()0b

a

Mfxgxdx，这与（）式矛盾。所以存在

[,]ab

，使

()()()(),(,)bb

aa

fxgxdxfgxdxab，定理证毕。