勾股定理的历史

勾股定理的历史与证明(总9页)

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安溪六中校本课程之数学探秘

勾股定理史话

一、勾股定理的历史

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基

本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥

拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，

就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理

有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度

等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传

是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572～公元前497）

于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何

原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的

证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最

早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学

知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯

子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得

到数据呢”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中

有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角

边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水

的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，

那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥

拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特

例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

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。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理

得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，

然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。《九章算术》系统地

总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个

问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。中国古

代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作

理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵

爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细

证明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。在这幅“勾股

圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中

间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边

长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：c=（a2+b2）(1/2)他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数

式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统

一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学

家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学

家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤

其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

二、勾股定理的证明

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据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介

绍几种十分著名的证明方法。

【证法1】（赵爽证明）

以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直

角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.

∵RtΔDAH≌RtΔABE,

∴∠HDA=∠EAB.

∵∠HAD+∠HAD=90º，

∴∠EAB+∠HAD=90º，

∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.

∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.

∴

∴.

【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长

分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像

上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，

所以面积相等.即

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，整理得.

【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）

以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形

的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一

条直线上.

∵RtΔEAD≌RtΔCBE,

∴∠ADE=∠BEC.

∵∠AED+∠ADE=90º,

∴∠AED+∠BEC=90º.

∴∠DEC=180º―90º=90º.

∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.

又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,

∴AD∥BC.

∴

ABCD是一个直角梯形，它的面积等于

∴.

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∴.

【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正

在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他

走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着

什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小

孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝

在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么只见那个小男孩

头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那

么斜边长为多少呢”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条

直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少”伽菲尔德不加

思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又

说道：“先生，你能说出其中的道理吗”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心

理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下

的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁

的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他

对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们

为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为

“总统。”证法。

【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼

成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥

DE，交AB于点M，交DE于点L.

∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，

∴ΔFAB≌ΔGAD，

∵ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，

∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.

∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

∴，即.

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【证法5】（利用相似三角形性质证明）

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为

c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠ADC=∠ACB=90º，∠CAD=∠BAC，

∴ΔADC∽ΔACB.

∴AD∶AC=AC∶AB，即.

同理可证，ΔCDB∽ΔACB，

从而有.

∴，即

【证法6】（邹元治证明）

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以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形

的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一

条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵RtΔHAE≌RtΔEBF,

∴∠AHE=∠BEF.

∵∠AEH+∠AHE=90º,

∴∠AEH+∠BEF=90º.

∴∠HEF=180º―90º=90º.

∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.

∵RtΔGDH≌RtΔHAE,

∴∠HGD=∠EHA.

∵∠HGD+∠GHD=90º,

∴∠EHA+∠GHD=90º.

又∵∠GHE=90º,

∴∠DHA=90º+90º=180º.

∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于.

∴.

∴.

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【证法7】（利用切割线定理证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.

如图，以B为圆心a为半径作圆，

交AB及AB的延长线分别于D、E，

则BD=BE=BC=a.

因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，

所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得

===，

即，∴.

【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆

⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.

∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，

∴

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==r+r=2r,即，

∴.

∴，

即，

∵，

∴，

又∵==

==，

∴，

∴，

∴，

∴.

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