点积和叉积

机器学习中向量的点积和叉乘含义梳理

定义

概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执⾏点乘运算，就是对这两个向量对应位⼀⼀相乘之后求和的操作，如下所⽰，对于

向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

这⾥要求⼀维向量a和向量b的⾏列数相同。注意：点乘的结果是⼀个标量(数量⽽不是向量)

定义：两个向量a与b的内积为a·b=|a||b|cos∠(a,b)，特别地，0·a=a·0=0；若a，b是⾮零向量，则a与b****正交的充要条件是

a·b=0。

向量内积的性质：

1.a^2≥0；当a^2=0时，必有a=0.（正定性）

2.a·b=b·a.（对称性）

3.(λa+μb)·c=λa·c+μb·c，对任意实数λ,μ成⽴.（线性）

∠(a,b)=a·b/(|a||b|).

5.|a·b|≤|a||b|，等号只在a与b共线时成⽴.

向量内积的⼏何意义

内积（点乘）的⼏何意义包括：

1.表征或计算两个向量之间的夹⾓

2.b向量在a向量⽅向上的投影

有公式：

推导过程如下，⾸先看⼀下向量组成：

定义向量c：

根据三⾓形余弦定理（这⾥a、b、c均为向量，下同）有：

根据关系c=a-b有：

即：

a∙b=|a||b|cos(θ)

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从⽽有a和b间的夹⾓θ：

θ=arccos(a∙b|a||b|)

进⽽可以进⼀步判断两个向量是否同⼀⽅向或正交(即垂直)等⽅向关系，具体对应关系为：

a∙b>0→⽅向基本相同，夹⾓在0°到90°之间

a∙b=0→正交，相互垂直

a∙b<0→⽅向基本相反，夹⾓在90°到180°之间

向量的外积（叉乘）

定义

概括地说，两个向量的外积，⼜叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是⼀个向量⽽不是⼀个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐

标平⾯垂直。

定义：向量a与b的外积a×b是⼀个向量，其长度等于|a×b|=|a||b|sin∠(a,b)，其⽅向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右⼿系。

特别地，0×a=a×0=0.此外，对任意向量a，a×a=0。

对于向量a和向量b：

a和b的外积公式为：

其中：

根据i、j、k间关系，有：

向量外积的性质

1.a×b=-b×a.（反称性）

2.(λa+μb)×c=λ(a×c)+μ(b×c).（线性）

向量外积的⼏何意义

在三维⼏何中，向量a和向量b的外积结果是⼀个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平⾯。

在3D图像学中，外积的概念⾮常有⽤，可以通过两个向量的外积，⽣成第三个垂直于a，b的法向量，从⽽构建X、Y、Z坐标系。如下图所

⽰：

在⼆维空间中，外积还有另外⼀个⼏何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平⾏四边形的⾯积。