什么是几何

什么是几何直观

——对几何直观的认识与思考（七）

关于几何直观，课标在第一部分前言的“课程设计思路”中描述了其定义，阐发了其价值与作

用：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得

简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数

学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。可以说，这段话是目前理解几何直观的最重

要依据。

数学课程标准（2011版）解读第92页—95页对几何直观的认识中指出：几何直观，顾名思

义，所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接

看到的东西，更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来，

它在本质上是一种通过图形所展开的想象力。用最通俗的话说几何直观，它不仅是看到了什

么?而是通过看到的图形思考到了什么?想象到了什么?直白点就是看图想事，看图说理，也

包括想图、画图、表达想法。利几何直观在小学数学中的运用

2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复

杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助

学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的

过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目

的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的

主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学

习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过

程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上

四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯

形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，

而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复

杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于

帮助学生直观地理解数学。

因此，教师要善于在教学中利用几何直观，将复杂、抽象的问题变得简明、形象，帮助学生

探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。如在教学“数的认识”时，教师要帮助学生

利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂

数量关系的问题”时，要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”

等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计

图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要

重视利用表格、图像进行描述和分析等。

用图形进行数学的思考和想象。

几何直观在小学数学中的运用

2011年版课标指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复

杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助

学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”教师在理解几何直观的

过程中，要注意以下几个问题：第一，几何直观指的是通过“几何”的手段，达到“直观”的目

的，实现“描述和分析问题”的目标。这里的“几何”手段主要是指“利用图形”，“直观”的目的

主要是将“复杂、抽象的问题变得简明、形象”。因此，几何直观对学生而言是一种有效的学

习方法，对教师而言是一种有效的教学手段，它是数形结合思想的体现，在整个数学学习过

程中发挥着重要作用。第二，几何直观所利用的“图形”主要是指点、线、面、体以及由以上

四要素组成的其他几何图形，在小学阶段主要有正方形、长方形、三角形、平等四边形、梯

形、圆以及线段、直线、射线等。几何直观所要描述和分析的问题，不仅可以是生活问题，

而且可以是数学问题。第三，几何直观的意义和价值主要体现在三个方面：一是有助于把复

杂、抽象的问题变得简明、形象，二是有助于探索解决问题的思路并预测结果，三是有助于

帮助学生直观地理解数学。

因此，教师要善于在教学中利用几何直观，将复杂、抽象的问题变得简明、形象，帮助学生

探索解决问题的思路，帮助学生直观地理解数学。如在教学“数的认识”时，教师要帮助学生

利用圆形、三角形、正方形或长方形等纸片，直观理解数量和数的意义；在教学“解决复杂

数量关系的问题”时，要善于利用线段图等描述和分析问题中的数量关系；在解决“鸡兔同笼”

等问题时，要重视通过列表分析解决问题；在探索事件发生的变化规律时，要重视利用统计

图表帮助学生直观感受事件发生的变化规律并预测结果；在探索函数关系的变化规律时，要

重视利用表格、图像进行描述和分析等。

几何直观在小学数学教学中的运用

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何

直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维

同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥

匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作

用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分

类变得简单明了。比如俞止强老师的讲座中提到这样个例子:生说自然数就像条射线，它们

都有个起点，没有终点，可以无限延长。这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，

把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容

量。

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数

量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数

学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。

通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单

化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思

路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。在此

基础上用数学式子表达它的规律。从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;再如，教学“连除两

步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每

层放了多少本书?最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题

的过程。①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几

本书?以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直

观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透

数形结合是一种重要的数学思想。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由

于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直

观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数

问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探

求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，

而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，

有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

培养几何能力的教学思考

《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》提出：在“图形与几何”的教学中，应帮助学生

建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。几何直观主要是指利用图形描述和分

析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的

思路，预测结果。《普通高中数学课程标准》也提出要培养和发展学生的几何直观能力以及

借助几何直观进行推理论证的能力。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代

的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。在小学数学教学中，教师应该选择适当的教学内

容，培养学生几何直观的能力。

一、对几何直观的本质把握

数学家克莱因认为：“数学的直观是对概念、证明的直接把握”。蒋文蔚先生指出，几何直观

是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。（《数学

教育学报》，1997年第4期）徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联

想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形

的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物

体验的对应关系。

这些数学家对直观包括几何直观下了定义。综合这些定义，我们认为直观要体现两点：一是

透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联。直观是一种感知，一种有洞察力的

定势。几何直观是利用图形洞察问题本质的一种方式，既有形象思维的特点，又有抽象思维

的特点。

二、培养几何直观能力的教学方法

在小学数学中培养学生的几何直观能力，要先从直观教学开始，引导学生学会用画图的策略

分析题意，解决简单的实际问题，逐步上升到能将直观图与数学语言、符号语言进行合情转

换，并逐步在解决数学问题的过程中渗透数形结合思想，感悟数与形、形与数之间的转化。

1．重视直观感知，突出画图策略的教学。

苏教版四年级（下册）《解决问题的策略》主要教学用画直观示意图的方法解决有关面积计

算的实际问题。在教学面积计算的问题时，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和

体验画图解决问题的好处。首先可以向学生呈现纯文字的例题，面对比较复杂的数学问题，

引导学生想到用画图的方法整理条件和问题。接着鼓励学生尝试画草图，让学生的思维集中

于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图，使学生感受到画图能清

楚地理解题意。然后借助示意图分析数量关系，明确先求什么，再求什么，列式解答后，要

再结合算式和图说说解题思路。最后反思整个解题的过程，突出示意图对解决这个数学问题

的重要作用，感受画图策略的价值。“试一试”和“想想做做”的题目与例题相比有一定变化，

解决这些问题后，要引导学生思考：“不画图能准确解决这些问题吗？画图时要注意什么？”

加深学生对应用画图策略价值的直观体验。

在小学数学教学中，要重视直观化的教学手段，通过画图（线段图、面积图、示意图等）将

复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。例如：教学计算题：

1+3+5+7+…+99=()时，可以设计两个教学层次：第一层次，鼓励学生尝试解答，学生

一般会按照等差数列求和的方法进行计算；第二层次，教师介绍画正方形点阵图表示题目的

意思，并引导学生看着图，寻找算式与点阵图之间的关系，从中发现规律，得出

1+3+5+7+…+99=502=2500。最后，回顾解题过程，使学生体会到，解决复杂问题时，可以

换个思路，借助直观图，把复杂的数学问题变得简单，从而找到解决问题的方法。

2．重视直观图形与数学符号的合情转换。

教学苏教版六年级（下册）《正比例的意义》，在学生认识正比例的意义后，教材安排了正比

例图像的初步认识，借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，为以后

的学习作适当孕伏。教学时，根据例1表中的数据，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正

比例关系的图像。在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初

步理解图像上各点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的数值。再

通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例图像的特点，

并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例的意义。画出

图像后，让学生根据图像来判断行驶路程和时间，进一步认识图像上任意一点所表示的实际

意义，初步体会正比例图像的实际应用。通过正比例图像与正比例关系式的转换，加深对正

比例意义的理解，为今后进一步学习函数知识打下初步的基础。

再如，教学《用假设的策略解决实际问题》时，可以提示学生根据自己的假设画出示意图，

并根据画出的图分析假设后乘船人数的变化以及产生这种变化的原因，引导学生根据数量发

生的变化及时进行调整，推算出每种船的只数，最后进行检验。这一解决问题的过程就涉及

直观图与算式的转换，学生借助直观图，抽象出解题思路：假设—比较—调整—检验。在培

养学生几何直观能力的教学中，可以通过直观图像与数学符号的互相转换，引导学生逐步学

会利用图形描述和分析数学问题。

3．重视数与形的结合。

苏教版六年级（下册）安排了《用转化的策略解决实际问题》。例1之后的“试一试”是一个

有关计算的问题，给出的算式是有规律的：几个分数的分子都是1，分母分别是2、4、8、

16，要计算出这几个分数连加的和是多少。为了启发学生运用转化的策略，培养学生初步的

几何直观能力，教材呈现了直观图，用大正方形表示1，用正方形中的相关部分分别表示每

个分数，整个图形中的涂色部分表示这些加数的和。同时，教材还提示学生“看图想一想，

可以把这个算式转化成怎样的算式计算。”

实际教学时，可以分三个层次进行教学，在解决问题的过程中培养几何直观能力。第一层次：

指导看图，学会转化。呈现算式后，教师可以给学生一些思考的时间和空间，学生一般会应

用通分的方法，转化成同分母分数进行计算。这时，教师可以鼓励学生思考其他的方法，当

学生思维受阻时，出示直观图，先结合各个分数理解直观图中各部分的意义，再启发学生将

其转化为1-1/16进行计算。第二层次：适当拓展，突出直观。教师将算式拓展到

1+1/2+1/4+1/8+…+1/128，要求学生选择上面的方法进行计算，学生一般会根据画直观图的

方法，将算式转化为1－1/128进行计算。这时，教师要引导学生思考：为什么喜欢用画直

观图的方法？使学生体会到数与形的完美结合，可以帮助我们将复杂的算式转化成简单的算

式进行计算。第三层次：深度思考，强化直观。教师可以启发学生观察分母的特点：分母分

别是2、2个2相乘、3个2相乘、4个2相乘……在直观图上先把正方形平均分成2份，取

其中的1份；再把剩下的图形平均分成2份，取其中的1份……最后分出的图形与剩下的图

形相等，借助直观图，要求涂色部分的大小，只要用单位“1”减去剩下图形的大小。在应用

转化策略解决问题的同时，巧妙借助几何直观，把复杂的计算问题转化成简单的计算问题，

可以培养学生初步的几何直观能力。

4．将几何直观能力的培养自觉融入相应的教学过程之中。

在教学中，教师可以根据教学内容，适当安排几何直观的教学。例如，三年级教学“平均数”

时，可以利用条形统计图，直观理解移多补少的方法，理解平均数的意义。高年级可以补充

一些关于“平均数”的问题，如，小明前三次数学考试的平均成绩是93分，第四次数学考试

的成绩比四次数学考试的平均成绩高3分，小明第四次数学考试的成绩是多少分？组织教学

时，教师可以根据平均数的意义，通过画面积图帮助学生学会用移多补少的方法解决一些复

杂的平均问题，突出直观图在解决数学问题中的作用。

根据平均数的意义，阴影部分面积相等，所以第四次考试成绩是：3×1÷3＝1（分），93＋1

＋3＝97（分）。

当然，在进行几何直观的教学中，离不开合情推理和演绎推理。在利用直观图解决数学问题

时，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。几

何直观的培养应伴随推理能力的发展，贯穿在整个小学数学学习过程中。

如何在小学数学教学中培养学生的空间观念

关键词：空间观念；几何知识；教学；几何图形变式

新课标指出：“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要

表现在：实物的形状与几何图形之间的想象；复杂图形的分解；描述实物或几何图形的运动、

变化和位置的关系；运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中，

教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力，更应该重视空间观念的培养。本文就如何

在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。

一、从建立表象到再造想象，再从再造想象到创造想象.1.运用感性材料，建立表象

空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形

象。表象是具有感知的形象在头脑中的保持，它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。

没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动，没有丰富的表象储备，表象的重新组合或

再造而产生新的表象的过程将会困难，培养初步的空间想象能力也就无从说起。小学教材的

几何知识（系统学习时）的安排是：线→面→体，即一维空间→二维空间→三维空间；从图

形来说是简单单一→复杂组合；从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面，都是以大

量表象的内化，形象思维活动向抽象思维活动转化，揭示出概念的本质属性而得到概念，形

成初步的空间想象能力，发展思维的。

小学生从对几何形体的感知中获得了印象，并保留在头脑中成为表象。表象的重新组合或再

造的心理过程，是学生空间概念的重要基础。教学中应注意以下两个方面：

第一、重视启蒙阶段对几何图形的观察。通常教材中几何知识是结合认数与计算编排的，一

年级集合认数出现了三角形、正方形、立方形以及圆等图形和直观教具，出现这些图形不仅

仅只是为了认数，同时也是为了培养学生初步空间观念。一年级有这么一个习题：要求学生

在下图中找三角形、圆形、正方形的个数，这个集合图里的图形，排列杂乱，大小不一，既

有标准图形，又有变式图形。这时要好好指导学生观察，然后让学生分类找出，从而使学生

初步建立起三角形、正方形、圆形等的表象。

第二、充分利用几何直观教具。在教几何图形时，一定要充分运用几何图形的直观教具，让

学生仔细观察。使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的表象；另一方面，表象常常是

概括了许多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。例如：学生对三角形的知觉，可在认

识角的大小、边的长短、三边上的高、内角和、稳定性、对称性等的同时，出示各种不同类

型的三角图形、模型等直观教具，让学生亲手量一量、画一画、拼一拼，使学生建立起一个

完整的三角形表象，并为建立三角形概念完成过渡。2.创造条件，形成再造想象

表象的重新组合、成为新的表象，就是想象。如果这种想象是根据别人的语言文字描述或图

形、模型想出来的，这种想象就是再造想象。再造想象在培养学生初步空间概念中具有重要

意义。

第一、通过实际操作，促进学生想象。动手操作可以丰富学生的感性认识.在操作过程中，

引导学生观察、比较、分析、综合，发展他们的思维能力。生理学研究表明：双手动作时，

在脑与手之间，信息通过两条双向的通道高速地传导着。在手脑并用时，大脑的创造性有关

区域受刺激而活跃起来，手使脑的功能得到发展，脑使手的技能得到训练。在操作中，操作

的顺序性又可促使语言的条理化、完整化，同时使思维得到发展。

如长方体、正方体的表面积和体积两个概念，学生往往容易混淆，我们除了把长方体、正方

体的六个面展开，说明这六个面的总面积就是表面积外，还应把长方体、正方体摆在讲桌上，

看所占空间的大小，说明这就是体积：然后让学生自己动手做一个长方体和正方体的纸盒，

看看要多少硬纸盒，这两种纸盒各有多大。这样做，学生不仅仅兴趣浓，而且促进了想象。

第二、渗透几何思想，丰富学生想象。如讲完梯形之后，我们对四边形先进行归类复习，可

运用让学生边想边填图的方式，从而渗透正方形集合是长方形集合的子集合，长方形集合又

是平行四边形的子集合，平行四边形集合和梯形集合又是四边形集合的子集合的集合思想。

通过这样的复习和填图，学生对四边形就能建立起一个概念系统，这样的想象就更丰富、更

全面了。3.积极引导，培养创造想象

创造想象是新表象的创造，小学生学习的初步的几何知识，也需要创造想象。教学中，一定

要积极引导，培养学生的创造想象力，以促进初步空间观念的迅速形成。

首先要培养学生具有独立思想的自觉性。如：我们在教完梯形的面积之后，要学生计算做一

个加料斗要用多少铁板。学生的立体图形知识很贫乏，虽有一图，但看不懂，也想象不出这

是一个什么样的形状，这时，教师应拿出一个加料斗模型让学生观察，然后让学生用硬纸做

一个加料斗，再让学生独自想一想。计算做这个加料斗要多少材料的关键是什么？学生通过

看、做、想，逐渐懂得它是由四块相等的梯形组成的。因此。求出四个相等梯形繁荣面积，

就是整个加料斗所需的材料了。

其次要鼓励学生敢于进行捏造性想象。如圆面积求法，教材上采用了分割成16块相等的扇

面，拼成近似长方形，推导出“圆面积=”这一公式。如果把每一个扇形不断地分割下去，弧

越来越短，会变成什么形状呢？让学生大胆想象，学生就会提出把圆分成近似三角形来推导

圆面积，这个推导方法就是一种“创造性”的思想过程。

二、利用几何图形变式在培养空间观念中的运用。1．操作，感悟几何元素的位置关系

让学生亲自动手、实验、操作，使学生经历、体验图形的变换，从中感悟图形的变化前后几

何元素（点、线、面、体）的相互位置关系，这有利于培养学生直觉思维的习惯、发展空间

观念。

图1

例：如图1，将1张纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，的到的图形是（）

ABCD

分析由于题中所给的条件对图形变化前后几何元素的位置关系并不明了，因此按常规思路或

习惯思维求解，很难找到问题的突破口。但如果按照题目所给的步骤逐步地进行动手操作，

则问题的答案呼之欲出，易得D即为所求.2．想象，实物模型与几何图形的转化

新课标指出：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状”.通过观察图

形，分析图中几何元素的位置关系，找寻实物和几何之间的内在的联系，凭借直觉思维，在

想象实物和几何体之间的关系中寻得答案。在探索平面图形与空间几何体的相互转换的活动

中，可建立空间观念，发展几何直觉。例：由一些大小相同的小正方体组成简单几何体的

三视图如下.你能画出这几何体吗？有多少画法？

主视图左视图右视图图2

分析由三视图的特点可知，这个几何体无论从前面看、左面看、还是从上面看都可以看到四

个小立方体，通过想象知道图（1）、图（2）、图（3）都符合要求，它的答案不是唯一的.

事实上，如果保持图（1）中下面一层有4个小正方体，那么上面一层4块中缺少任意一块

（图（2）），都符合要求，这样的几何体有4种。或者缺对角2块（图（3）），也符合要求，

这种情况有2种.因此共有7种画法.

（1）（2）（3）

图3

通过这样由平面图形到空间几何体的互相转换过程中，培养了学生的空间想象能力，促进几

何直觉思维的发展。3．折叠，平面图形向空间图形的演变

“折叠”是一类重要的几何题型，在近几年的中考题中缩短常常出现.主要考查学生识图、想

图、画图等空间观念及空间图形平面化，非标准图形标准化的变形处理能力.解决这类问题

时，需认真审图，充分挖掘折叠前、后平面图形与空间的位置关系中的“变”与“不变”，探寻

解决问题的突破口。4．分解，几何图形处理能力的标志

将复杂的图形分解为基本的、简单的图形，恰当地对图形进行分割、组合、变形的处理，易

寻觅图中基本元素及相互位置关系，有利于问题的解决。这是考察学生几何直观、图形处理

能力的重要内容.因此在图形变式的教学中，应有意识的培养学生识图、看图、变图、及图

形的分解组合的能力。

通过这样的训练，使学生经历和体验图形的变化过程，发展几何直觉，有利于他们今后学习

立体几何。

5．平面展开，空间图形平面化的重要手段

有些空间问题直接求解比较困难，但通过空间图形平面化的处理后，线、面位置关系清楚，

解题思路明朗，“以直代曲”就是将图形平展变式的结果。

在平时的教学中，教师通过强调“操作”、“想象”、“折叠”、“分解”、“平面展开”等一些常见

的图形变式，可向学生渗透空间观念，强化学生的合情推理能力，培养学生的空间想象能力，

为以后的空间立体几何的学习打下基础。三、教学中应注意的几个问题

教师的“教”，应当是为了学生更好的学习。教学中，正确处理教师的主导与学生的主体关系，

才能提高课堂教学效率，取得更好的教学效果.1.直观演示的正确性

直观演示，不仅可以给学生提供鲜明的感性材料，帮助他们理解抽象的数学知识，而且有助

于发展学生的观察力和思维能力。在几何教学中，直观演示是很重要的，它能唤起学生头脑

中已有的表象，使之组合、再造，形成新的表象，为概念的得出起到积极的作用.在演示过

程中，一般应伴有教师的解说或提问，引导学生注意所演示的主要内容，抽象事物的本质特

征，弄清实际操作的方法和步骤.教师在作图时，还要起到示范作用.就要求我们的演示过程、

顺序应与概念所描述的内容顺序以及学生学习这些知识、感受这些概念一致起来.如讲“直

线”，直线的特点一是“直”，二是无限的，三是无粗细的。我们拿细线来演示时，除了演示“直”

外，还要突出“无限延伸”；黑板上画图时，也应告诉学生，黑板上只是画了这条直线的一部

分，它的两边可以无限延伸，这样，才能使画图、演示、显示概念的内容一致起来，建立起

清晰的表象。

另外，画图示范也应注意概念内容。如画“角”，它的概念是“由一点引出的两条射线，就组

成角”，画图时就应按这个概念叙述的顺序、方式来画，而不能顺手就画成“折线”。2.语言

叙述的准确性

要形成第一、第二信号系统的正确联系。人类除有第一信号系统外，还有第二信号系统.即：

人类除对具体信号刺激发生反应（第一信号系统）外，还可以对语言文字发生反应.人类对

语言文字发生反应的皮层机能系统叫做第二信号系统（复杂的条件反射）.在理解概念和下

定义时，不要和学生在感知图形的基础上所获得的知识脱节，既要充分利用“术语”的生活意

义，又要指出其区别.如讲角时，要指出它是在平面上一点向不同方向引出两条射线，构成

一个角，而生活中指的某些角，如墙角，就不是我们所学的角的意思。

在教学中，力求语言表达准确，不能模棱两可。如用纸剪一个圆，还有像球的投影面等，它

实际上是一个圆面，与几何中的“圆”是有区别的。如讲三角形分类，当学生明确了三种三角

形（按角分类），还可告诉学生：任何一个三角形都有两个角是锐角，第三个决定分类。第

三个是锐角的，就是锐角三角形，如果第三个角是直角的就是直角三角形等等。这样可以避

免学生把“三个角是锐角的三角形就叫锐角三角形”类推到“三个角是钝角的三角形叫钝角三

角形”，发生错误。

此外提问题也应准确，表达清楚。如讲圆的周长时，涉及到“圆周率”，如果问“圆周率等于

多少”，那么就错了。

3.培养思维的灵活性

学生学习几何知识时，对获得的感性材料进行分析、比较、综合和抽象、概括，才能理解和

掌握几何图形的概念和特征.通过判断、推理等思维的过程，才能更好地解决问题.在教学中

还应注意思维的灵活性，以便更敏捷地解决问题。例如，对于平面几何图形的特征和面积计

算方法，开始只要求学生掌握每一种平面几何图形特征和面积计算方法，然后要求学生理解

各种平面几何图形特征之间的相互关系、面积计算方法之间的联系，注意揭示图形概念与计

算之间的辨证关系、联系和区别。通过变化平面图形，让图形与公式同步变化，使学生的思

维更加灵活。

综上所述，培养学生的空间观念，与几何初步知识的教学有着密切的联系。明确表象在形成

空间观念中的作用，提高学生运用表象的能力，注意教师的示范作用，才能在教学中更好的

发展学生的思维，为培养目标服务。

内一个感觉就是有趣。如果在课堂上教师能多让孩子们产生有趣的感觉，相信小学数学课堂

会很精彩。

二、直观的图形有助于学生寻找数量关系利用形象的图形来教学抽象的数学知识，还可以

直观地揭示数学问题中的数量关系。有些学生的理解能力、接受能力较弱，对一些解题方法

的理解存在较大困难。针对这些很有智力挖掘潜力

【2012年东莞市小学数学教研会】

参评教学论文

题目：加强几何直观突显数学本质

加强几何直观突显数学本质

【内容摘要】

新课标修订稿第一次提出注重发展学生的“几何直观”能力。几何直观在中

学渗透得很多，但在小学阶段很少人会关注。但在很多情况下，借助几何直观可

以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中

发挥着不可替代的作用，并且贯穿在整个数学学习中。在小学数学教学中如何沟

通几何直观与数学本质的联系呢？渗透对学生几何直观能力的培养，为学生分析

问题、解决问题能力的发展提供了“拐杖”，有助于更好地衔接中、小学教学，

为学生进一步的数学学习奠定基础。本文通过加强对几何直观的运用，突显数学

的本质，探索其运用的教育价值，寻求几何直观在教学中运用的有效策略。

【关键词】几何直观数轴图形语言数学本质思想方法

一、以数轴搭桥，沟通概念教学与几何直观之间的联系

现代数学的特性之一是每个领域的之间的界限的划分不是特别的明显，某些

问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使这些复杂多样

的分类变得简单明了，在它们之间起着纽带的联络作用。数学家华罗庚先生说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。比

如把自然数比喻成一条射线，都有一个起点，没有终点，可以无限延长。

又如《负数》一课中，应引导学生从本质上理解正负数的意义，“0”在这起

着举足轻重的作用。在教学中，我们可以先展示一个不完整的温度计（没有0

的温度计），让学生在温度计上找出5℃和-5℃。学生找不出-5℃，发现温度计有

问题，进而修改温度计，课件显示“0℃”。接着通过动态的温度计的演示，对于

认识“0是正数和负数的分界点，既不是正数也不是负数”便水到渠成了。将温

度用正负数的形式标在温度计时，借助温度计让学生直观形象地感知正负数在温

度计上相应的位置，为抽象认识数轴奠定基础。接着，把直观的温度计逐渐转变

成半直观半抽象的数轴，建立了数轴的模型，帮助学生进一步理解负数的意义，

为抽象认识数轴积累了丰富的表象。最后出示完整的数轴，由温度计演变为数轴，

有具体的温度演变为一般的数。学生经历了从形象思维过渡到抽象思维的过程。

利用数轴还可以比较正负数的大小，表示正数的点在原点的右边，要表示的数越

大，这个点到原点的距离也就越远；表示负数的点在原点的左边，这个点到原点

的距离越远，则这个负数就越小；0在数轴上是用原点来表示的。在认识负数以

前，学生常常认为“0”是最小的数，或者表示“没有”，现在再通过数轴来看

数字“0”。就得重新认识它的地位和意义了，它不再是最小的数，更不能表示“没

有”。因为0℃是最低温度吗?0℃能表示没有温度吗?不是的，0℃只是正数和负

数的分界点。我们利用数轴可以开阔解题思路，解决诸如表示点的位置，进行数

的大小比较等问题。借助数轴这个几何图形来处理数的问题，它是沟通数与形的

桥梁，是数与形的碰撞、联姻。体现了数形结合的数学思想方法。把数的概念和

空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。数轴不但

能将抽象的数直观形象化，而且有助于理解。

二、巧用“面积图”，培养用“图形语言”来思考问题能力

数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学

思想方法。利用数学思想进行教学和学习，才能真正实现数学能力的提高。乘法

分配律是四年级数学教学的重点和难点，怎样才能上好这节课。本节课的重点

不是放在数学语言的表达上，而是应该把重点放在让学生解决一系列的“问题”，

去完整地感知乘法分配律，主动建构乘法分配律。应该为学生提供充分例证，形

ba

ba

成清晰表象。小学生认识事物带有很大的具体性和直观形象性，只有当其对准确

而具体的材料感知到一定数量和一定程度，才能开始抽象思维。我尝试了以“面

积图”为载体。出示了下图：

学生比较容易得出阴影部分的面积+白色部分的面积，列式为a×c+b×c的

方法或拼成的长方形的长（a+b）乘宽c，列式为（a+b）×c。其实这就是乘法

分配律。通过这样的一个面积图，学生很直观形象地理解了乘法分配律。还可以

解决实际生活中的实例如：王师傅在给墙壁贴瓷砖（如下图），他一共贴好了几

块瓷砖呢？（用两种方法）

方法一：先算黄色的瓷砖共有多少块？再算红色的瓷砖贴了多少块？再把两

个结果合并一起。

列综合算式：4×3+6×3＝30（块）

方法二：先算一大行共有多少块？再算3大行一共有多少块？

列式为：（4+6）×3＝30（块）

学生发现可以用等号把两种方法的算式连接起来。4×3+6×3＝（4+6）×3

通过看图学生很容易找到解决问题的办法，对于理解乘法分配律就比较到位了。

三、以“线段图”求解，理解抽象的数量关系

线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。借助“线段图”以形

助教，使抽象的数量关系变得简明，把复杂的数学问题直观化。如在解决下面问

题时，利用线段图学生更易于理解。“一列火车从甲地开往乙地，已经行驶了全

程的

5

2

，离中点还有60千米，甲、乙两地的路程有多少千米？”学生很容易找

到对应的量60千米和对应的分率（

2

1

—

5

2

）的对应关系。用除法求出单位“1”

的量，即全程。

又如在教学人教版四年级下册《植树问题》这节经典课时，很多老师特别重

视关于“植树问题”的三种不同类型的区分，“两端都种”“只种一端”和“两端

都不种”，要求学生背公式地记住“加一”“不加不减”“减一”这三种情况。这

种机械的记忆，当时上课的效果还好，但过一段时间就会记不住，这反映了学生

只是在“机械应用”，思维的灵活性却明显不够。“植树问题”的本质就是一一对

应的问题，只要明确了“间隔”与“树”这两者之间的对应关系，突出“一一对

应”的思想，再以此为基础并通过适当变化就可以应对各种变化了的情况。因此，

本节课真正重要的应是“一一对应”的数学思想，应该用对应思想统领课堂。在

渗透对应思想时，可以尝试通过以下两个层次的画图以帮助学生理解。

第一次画图：引出问题：“植树节到了，四（1）班的同学们植了一行10棵

树，为了美化环境，同学们又在每相邻的两棵树中间摆一盆花，一共可以摆多少

盆?”学生画图探究。（用表示树，用表示花）

接着把树的棵树改为20棵、1000棵，让学生说出：“开头是树，结尾是树，

一棵树对应着一盆花，一棵树对应着一盆花……最后一棵树没有花与它对应，所

以树的棵树比花的盆数比多1”。也就是花分别有19盆、999盆。为了避免学生

的思维定势，先摆花，再在相邻的两盆花之间种树。学生通过画图悟出：“开头

是花，结尾是花，一盆花对应着一棵树，一盆花对应着一棵树…最后盆花没有树

与它对应，所以花的盆树比数的棵树多1。”

通过这样的一个“种树摆花”的活动，学生借助于画图和“一一对应”的方

法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系，不知不觉中，学生从中体会到了

“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的

个数始终相差１。初次渗透了“一一对应”的数学思想方法。

第二次画图：因为例题的数据较大，不方便学生画图，因此改变例题的数据：

同学们在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共能栽多

少棵？学生尝试画图表示，

引导学生用一一对应的思想说出：“开头是树，结尾是树，一棵树对应着一

端5米长的路（即间隔长度），一棵树对应着一端5米长的路…最后一棵树没有

路与它对应，因此，树的棵树比路的段数多1”。接着把路延长到100米，学生

同样用这种对应的思想方法分析问题。对于“两端都不种”和“只种一端”都可

以归结为用“一一对应”的方法解决。学生就不需要再死记公式，而是不管是什

么的种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。

两端都不种时，画图如下：

引导学生发现说出：“开头是路，结尾是路，一段路对应着一棵树，一段路

对应着一棵树…最后一段路没有树与它对应，因此，路的段数比树的棵树多1，

所以树的棵树是4-1=3（棵）。

在只种一端的情况，画图如下：

因为开头的是树，结尾的是路，一棵树对应一段路，一棵树对应一段路…最

后没有剩下的了，所以路的段数和树的棵数一样多。

再把植树问题的解决方法应用到路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题

等等。只要找出问题中谁和谁是“一一对应”就能解决这些问题了。如在锯木问

题里，锯的次数和锯的段数一一对应；爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对

应；排队问题里，人数和间隔数一一对应等。学生依据表象，灵活地运用这一思

想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内

化为学生的数学素养。

每位学生经历两次不同层次和目的的画图，通过比较、分析发现植树问题的

本质所在。不是简单地让学生记住三种不同的情况应该是加一、减一还是不加不

减，而是回归到问题的本质，利用形象直观的线段图作支撑，用“一一对应”的

思想统领三种不同的情形，形成较好的思维模式，为学生更好地理解抽象的数量

关系，减轻记忆的负担。

四、用图形“说话”，有机渗透数学思维方法

六年级学生学习函数思想是在已经掌握了很多的数量关系，如：单价、数量

和总价；路程、时间和速度；工作总量、工作效率和工作时间的关系……其实当

这些数量关系中的一种量一定时，另外两种量在变化时就成了函数。当学生学习

了“正、反比例关系”时，在直角坐标系上把具有这种关系的两种量表示出来，

实际上就是正比例和反比例函数的图像了。小学阶段主要是渗透为主，借助于图

像，让学生让更深入理解抽象的函数关系。当成正比例关系时，一个量增加，另

一个量也随着增加，是一条经过原点的上升的直线；当成反比例关系时，一个量

增加，另一个量反而减少。根据图像可以直观地看出两个量变化的极限状态，一

个量趋于无穷，另一个量趋于零。

在解决经典题“鸡兔同笼”的问题时，“鸡兔共8只，有22只腿，鸡兔各几

只？”除了画图理解，先假设全是鸡，再在鸡的基础上添上腿，换成是兔（如图

一）。还可以用“面积图”理解。利用长方形的面积公式计算组合图形的面积。

（如图二）

“用图形说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学

素质。在思考数学问题的时候，能画图尽量画图，目的是把抽象的东西直观的表

示出来，把数学本质的东西显现出来。在数学课堂教学中尝试通过引导学生用图

形解释、理解、分析、记忆数学知识或现象的研究，探索出有效发展学生用“图

形语言”来思考问题能力的方法，实际上就是几何直观在发挥优势。培养学生几

何直观能力，有利于学生思维内涵的发展、品质的提升，有利于学生数学素养的

培养，这正是我们数学教学着力追求的目标。借助几何直观进行教学，可以形象

生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思维方法的

同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

图一

8个头

2只腿

22只腿（即总面积是22）

4只腿

图二

【参考文献】

[1]夏俊.几何直观在低段数学中的运用研究[J].上海教育科研.2012（2）

[2]费海燕.数形结合.提高小学生数学学习能力

[3]斯苗儿.小学数学课程标准(2011版)解读