重心性质

第十四章三角形重心的性质及应用

【基础知识】

三角形三条中线的交点称为三角形的重心,三角形的重心有下列有趣的性质:

性质1设G为ABC△的重心,连AG并延长交BC于D,则D为BC的中点,2222

11

24

ADABACBC

,

且21AGGD∶∶．

性质2设G为ABC△的重心,过G作DEBC∥交AB于D,交AC于E,过G作PFAC∥交AB于P,交

BC于F,过G作KHAB∥交AC于K,交BC于H,则

（1）

2

3

DEFPKH

BCCAAB



；（2）

2

DEFDKH

BCCAAB



．

性质3设G为ABC△的重心,P为ABC△内任一点,则

（1）22222223APBPCPAGBGCGPG；

（2）22222

1

3

zGAGBGCABBCCA=

．

证明（1）设D为BC边上的中点,则对APG△和DPG△分别应用余弦定理,有

2222APAGPGAGPGcosAGP-,2222cosPDDGPGDGPGDGP,

而2AGDG,coscosAGPDGP,于是,有22222223APPDAGDGPG．

又PD,DG分别是BPC△的BC边,BGC△的BC边上的中线,有

2222

1

2

2

PDPBPCBC=

,2222

1

2

2

DGBGCGBC

,从而

22222223APBPCPAGBGCGPG．

（2）由性质1,有2222

911

424

AGABACBC

,2222

911

424

BCABBCAC

,

2222

911

424

CGBCACAB

,此三式相加,整理即得

222222

1

3

AGBGCGABBCCA

．

注由此性质即得到三角形中的莱布尼兹公式:

2222222

1

3

3

APBPCPPGABBCCA

．

性质4设G为ABC△内一点,G为ABC△的重心的充要条件是下列条件之一:

（1）

1

3GBCGCAGABABC

SSSS

△△△△

；

（2）当点G在三边BC,CA,AB上的射影分别为D,E,F时,GDGEGF值最大；

（3）当AG,BG,CG的延长线交三边于D,E,F时,

AFGBDGCEG

SGS

△△△

；

（4）过G的直线交AB于P,交AC于Q时,3

ABAC

APAQ

；

（5）222222333BCGACAGBABGC=．

证明（1）必要性:延长AG交BC于D,则D为BC中点,有

BDACDA

SS

△△

,

BDGCDG

SS

△△

,故

AGBAGC

SS

△△

．

同理,

AGBBGC

SS

△△

,故

1

3GABGBCGCAABC

SSSS

△△△△

．

充分性:如图14-1,令G为ABC△内一点,连AG并延长交BC于D,连BG并延长交AC于E．记

GABGBCGCA

SSSS

△△△

,BCa,CAb,ABc,

1BDG

SS

△

,

2CDG

SS

△

,BDx,DGy．

由

1

1

sin

2

SxyBDG

,



2

111

sinsin180sin

222

SaxyCDGaxyBDGaxyBDG

,故2

1

1

S

a

Sx

．

即221

111

1

SSS

aS

xSSS



,亦即

1

S

S

a



,

2

S

Sax

a



．

又

1

1

sin

2ABD

S

ScxBSSax

a



△

．



2

1

sin2

2ACD

S

SbaxCSSax

a



△

．

再由正弦定理,得

sin

1

sin

cB

bC







,于是,由上述两式,有

2

xax

axax







,于是

2

a

x

,即

AD为ABC△的边BC上的中线．

同理,可证BE为ABC△边AC上的中线．

故G为ABC△的重心．

注由此性质即可推知三角形的重心到各边的垂线段长与边长成反比．

（2）充分性与必要性合起来证．

设三角形三内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c．记GDx,GEy,GFz,由

1

2GBC

Sax

△

,

1

2GAC

Sby

△

,

1

2GAB

Scz

△

,知2

ABC

axbyczS

△

为定值．由三个正数的平均值不等式,有

3

3

8

327ABC

axbycz

axbyczS









△

≤,即

38

27

ABC

S

xyz

abc

△≤．此式当且仅当axbycz时,即

GBCGACGAB

SSS

△△△

时等号取得,即G为ABC△的重心时,结论成立．

（3）仅证充公性:如图14-2,设1

APFBPDCPE

SSS

△△△

,

APE

Sx

△

,

BPF

Sy

△

,

CPD

Sz

△

．

图

14-2

1

1

1

y

x

z

F

E

D

A

BC

P

由

11

1

APyx

PDz





,

11

1

BPzy

PEx





,

11

1

CPxz

PFy



,有

1yzzx,①1zxxy,②1xyyz．③

由①②得zyxzxxy

,即

1zxxyz．④

同理1xyyzx

,⑤1yzzxy

．⑥

若xy代入④得zx．即有xyz,再代入①得1x,故1xyz．

若xy,则yx,zx,由④×⑤×⑥得111z1xy=

,⑦

而x,y,

z

为正数,则11x,11y,11z,等式⑦无正数解,

故只有正数解1xyz,即证．

（4）必要性:如图14-3,设M为ABC△的边BC上任一点,直线PQ分别交AB,AM,AC于P,N,Q,连

PM,QM．

图

14-3

A

BC

PQ

M

N

则APQMPQAPMAQM

APQ

ABC

SSSS

AMANNM

APAQ

ANANS

S

ABAC













△△△△

△

△

ABMACM

ABC

APAQ

SS

ABCMACBM

ABAC

APAQ

APBCAQBC

S

ABAC







△△

△

．

当N为ABC△的重心时,M为BC中点,有BMMC,且32AMAN∶∶,由此即证得结论3

ABAC

APAQ

．

充分性:设ABC△的一边AB上有

1

P,

2

P两点,在另一边AC上有

1

Q

,

2

Q

两点．若

1122

3

ABACABAC

APAQAPAQ

,则可证得

11

PQ与

22

PQ的交点G是ABC△的重心．

事实上,如图14-4,连AG并延长交BC于M,过B,C分别作AM的平行线交直线

11

PQ,

22

PQ分别于

1

X

,

1

Y,

2

X,

2

Y,于是,

图

14-4

M

Y

1

Y

2

X

1

X

2

P

1

P

2

Q

1

Q

2

A

B

C

G

由11

1111

311

BPCQ

ABAC

APAQAPAQ









,

有1111

11

1

BPCQBXCY

APAQAGAG

,即

11

BXCYAG．

同理,

22

BXCYAG．

从而

1122

BXCYBXCY,即

1221

BXBXCYCY．

亦即

1212

XXYY．

而

1212

XXYY∥,从而易判断

1212

GXXGYY△≌△．

所以

11

GXGY．推知BMMC,即AM为ABC△的BC边上的中线,亦即GM为梯形

11

BCYX的中位线．

此时

11

2BXCYGM．

由

11

BXCYAG,故2AGGM．由此即知G点为ABC△之重心．即满足3

ABAC

APAQ

的直线PQ过

其重心．

（5）必要性:设AD为BC边上的中线,G为ABC△的重心时,由中线长公式（即性质1）,有

2

22222ADABCABC,从而

2

2

2222222

212

332

333

BCGABCADBCADABBCCA









．

同理,2222222

2

33

3

CAGBABBCCAABGC

．

充分性:注意到结论,给定ABC△后,若点G满足2222

1

3

GAGBCABC

为常数,则点G的轨迹是垂直

于直线AB的一条直线,并且这条直线过ABC△的重心．事实上,以A为原点,AB所在直线为x轴建立坐

标系,设,Gxy

,则222AGxy

,2

22BGxcy

,其中ABc．因此,由

22222

1

2

3

GAGBcxcCABC

,得G的坐标为

2223

,

6

CABCAB

y

AB









,即证得前一断言,后一断

言可由性质4（4）推证:由AB上的点P

2223

,0

6

CABCAB

AB









知AP的长度,可求得AC上的线段AQ

的长度为





222

222

3

cos

3

ACCABCAB

AP

BAC

ABACBC









,故3

ABAC

APAQ

,即证．

性质5设P是锐角ABC△内一点,射线AP、BP、CP分别交边BC、CA、AB于点D、E、F,则P为

ABC△重心的充分必要条件是DEFABC△∽△．

证明充分性:如图14-5,设PEF,CPE=,CPD,EBC

,并分别用A、B、C表示BAC、

ABC、ACB．

图

14-5

α'

γ

β

α

FE

D

A

B

C

在DEF△中,对点P应用角元形式的塞瓦定理,有

sinsinsin

1

sinsinsin

PEFPDEPFD

PEDPDFPFE







,

即











sinsin

sin

1

sinsinsin

BC

AB













．

在ABC△中,对点P应用角元形式的塞瓦定理,有

sinsinsin

1

sinsinsin

PBCBAPACP

PBACAPPCB







,

即











sinsin

sin

1

sinsinsin

BC

AB



















．

设











sinsin

sin

sinsinsin

BxCx

x

fx

xABxx











．

由x,Bx,Bx,ABx,Cx,0,

2

x











,易知fx

递增,于是由

ff



可得



,所以EFBC∥．

同理可得DFAC∥,DEAB∥．从而有

AFAE

FBEC



,

AFDC

FBBD



,

DCEC

BDAE



．

所以AFFB,BDDC,ECAE．故P为ABC△的重心．

必要性:显然（略）．故命题获证,

性质6三角形重心G到任一条直线l的距离,等于三个顶点到同一条直线的距离的代数和的三分之一．

事实上,若设三顶点A,B,C,重心G,BC边的中点M到直线l的距离分别为

A

d

,

B

d

,

C

d

,

G

d

,

M

d,则



2

3GAMG

dddd

,

1

2MBC

ddd

．两式相加,即有



1

3GABC

dddd

．

注由此性质可推知:设作一直线使三角形三个顶点到它的距离的代数和为零,则它通过重心．所以这种和

为定值的直线与一个以G为圆心的圆相切．

性质7设G为ABC△的重心,若222AGBGCG=,则两中线AD和BE垂直；反之,若两中线AD,BE垂

直,则222AGBGCG．

【典型例题与基本方法】

例1如图14-6,在ABC△中,G为重心,P为形内一点,直线PG交直线BC,CA,AB于A



,B



,C



．求

证:

3

APBPCP

AGBGCG







．

图

14-6

G'

P'

C'

B'

A'

A

B

C

G

P

证明连BG,GC,PB,PC,分别过G,P作GGBC



于G



,

作PPBC



于P



,则PPGG



∥,

PPAP

GGAG







．

又PBC

GBC

S

PP

SGG







△

△

,有PBC

GBC

S

AP

SAG







△

△

．

同理PCA

GCA

S

BP

SBG







△

△

,PAB

GAB

S

CP

SCG







△

△

．

因G为重心,有

1

3GABGBCGBCGCAABC

SSSSS

△△△△△

．

故

333

3PBCPCAPAB

ABCABCABC

SSS

APBPCP

AGBGCGSSS







△△△

△△△

．

例2如图147,设ABC△的重心为G,AG,BG,CG分别交对边于D,E,F,交ABC△的外接圆于

A



,B



,C

．求证:

1

ADBECF

DAEBFC



≥

．

图

14-7

C'

B'

A'

G

F

E

D

A

B

C

证明设BCa,CAb,ABc,这三边上的中线分别记为

a

m,

b

m,

c

m,应用相交弦定理,有

2

2224

a

ADADDABDDCa

DADADAm





．

同理

2

24

b

BEb

EBm



,

2

24

c

CFC

FCm



．

则所证不等式等价于

222

222

4

abc

abc

mmm

≥．

应用三角形中线公式222222

a

mbca

等三式,可求出2a,2b,2c,即2222

4

22

9bca

ammm

等三式．将

其代入上式左边,即证得结论成立．

注由上即知还可有3

ADBECF

DAEBFC



≥．

例3如图14-8,过ABC△的重心G任作一条直线把这个三角形分成两部分,试证:这两部分面积之差不大

于整个三角形面积的

1

9

．（1979年安徽省竞赛题）

图

14-8

A

B

C

E

F

G

证明把三角形的每条边三等分,过每一分点作平行于其他两边的直线,这些直线把ABC△分成9个面积

相等的小三角形．内部那个交点正好是这个三角形的重心G．过G的任一直线把三角形分成两部分,

观察这两部分面积之差,显然不超过BEF△的面积,即ABC△面积的

1

9

．

例4如图14-9,已知P为ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M,N分别为PB,PC的中点,Q为AN

与DM的交点,求证:（1）P,Q,O三点在一直线上；（2）2PQOQ．

图

14-9

Q

P

M

N

D

O

A

B

C

证明连PO,设PO与AN,DM分别交于点Q



,Q



．

在PAC△中,AOOC,PNNC,则Q



为其重心,且2PQOQ



．

在PDB△中,DOBO,BMMP,则Q



为其重心,且2PQOQ



=．

这样,QQ



,并且Q



,Q



就是AN,DM的交点Q．故P,Q,O在一条直线上,且2PQOQ．

例5如图14-10,已知CAABBD,AB为O的直径,CT切O于P．求证:APCDPT．

证明连PO并延长交O于E,则PEPC．连EC,ED,并延长PA交CE于F．

图

14-10

T

F

E

D

O

A

B

C

P

在RtCPE△中,CO为PE边上的中线,且2CAAO,即知A为CPE△的重心,则PF为CE边上的中线,从

而CFPF,FCPFPC．

又PE与CD互相平分,则CPDE为平行四边形,即有FCPDPT=．故CPAFCPDPT．

例6试证:以锐角三角形各边为直径作圆,从相对顶点作切线,得到的六个切点共圆．

证明如图14-11,设ABC△的三边分别为a,b,c,O是以BCa为直径的圆,AT切O于T点．

连AO,在AO上取点G使2AGGO,则G为ABC△的重心．连OT,GT,

图

14-11

S

T

A

B

C

O

G

由222

1

22

2

AObca

,2222cosTGOTOGOTOGTOA及

cos

OT

TOA

OA



,

1

2

OTa

,

1

3

OGOA

,有2222

1

18

TGabc

为定值．

同理,其他五个切点如T等到重心G的距离的平方均为222

1

18

abc+

,由此即证．

例7如图14-12,AD,BE,CF是ABC△的三条中线,P是任意一点．证明:在PAD△,PBE△,PCF△中,

其中一个面积等于另外两个面积的和．（第26届莫斯科奥林匹克题）

图

14-12

G

F'

E'

D

F

E

D

A

B

C

D'

C'

A'

证明设G为ABC△的重心,直线PG与AB,BC相交,从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线,垂足为

A



,C

,D



,E



,F



,易证2AADD



,2CCFF



,2EEAACC



=,从而

EEDDFF



,故

PGEPGDPGF

SSS

△△△

．

【解题思维策略分析】

1．注意中线长公式、莱布尼兹公式的应用

例8已知ABC△的三边BCa,CAb,ABc,DEF△是ABC△的任意内接三角形,试以a,b,c表示

DEF△的三边平方和的最小值．

解首先,证明如下结论:若G为ABC△内的任意一点,G到三边BC,CA,AB的距离分别为x,y,

z

,则当

xyzabc∶∶∶∶时,222xyz

的最小值为

2

222

4

ABC

S

abc

△．

事实上,由柯西不等式2

22222224

ABC

abcxyzaxbyczS

△

≥,当且仅当xyzabc∶∶∶∶时

取等号,由此即证．

如图14-13,设G为DEF△的重心,则由中线长公式或重心性质3（2）,

图

14-13

D

0

F

0

E

0

F

E

D

G

A

BC

有2222

1

2

9

GDDEDFEF







,

2222

1

2

9

GEDFEFDF







,

2222

1

2

9

GFEFDFDE







．

三式相加,得2222223DEEFFDGDGEGF．

从G点向ABC△的三边BC,AC,AB引垂线,垂足分别为

0

D

,

0

E

,

0

F

,

则

2

222222222222

000000000

222

12

333ABC

S

DEEFFDGDGEGFDDEEFFGDGEGF

abc





△≥≥．

下证等号能够取到,设G为ABC△内一点,G到BC,CA,AB的距离依次为x,y,

z

,且满足

xyzabc∶∶∶∶．过G分别向三边作垂线,垂足为

0

D

,

0

E

,

0

F

,由

0

D

,C,

0

E

,G共圆,

知

00

180DGEC,于是00

00

1

sin

2

1

sin

2

GDE

ABC

xyDGE

S

xy

Sab

abC







△

△

．

同理,00

GEF

ABC

S

yz

Sbc

△

△

,00

GFD

ABC

S

zx

Sca

△

△

．

因xyzabc∶∶∶∶,则

xyyzzx

abbcca



,故

000000

GDEGEFGFD

SSS

△△△

,由重心性质4（1）,知G为

000

DEF△的

重心．由此可见,对ABC△的内接

000

DEF△而言,

2

222

000000

222

12

ABC

S

DEEFFD

abc





△．

因此,所求最小值为

2

222

12

ABC

S

abc

△．

例9如图14-14,设G为ABC△的重心,AG,BG,CG的延长线分别交ABC△的外接圆于A



,B



,C



．

图

14-14

D

O

A

B

C

G

C'

B'

A'

求证:（1）

3

AGBGCG

GAGBGC





；

（2）

3

GAGBGC

GABGCG



≥

；

（3）

GA

GA



或

GB

GB



或

1

GC

GC



≤

．

证明（1）证法1:设AA



交BC于D,则D为BC的中点．

由

1

3ABC

ABG

GBAGBA

S

S

AG

GASS







△

△

△△

,

1

3ABC

GAB

S

BG

GBS







△

△

,

1

3ABC

GAC

S

CG

GCS







△

△

,及AGBBGA



△∽△,

AGCCGA



△∽△,有

2

2

GAB

GBA

S

AG

SBG





△

△

,

2

2

GACGAC

GBAGCA

SS

AG

SSCG





△△

△△

,从而

22

222

2

11

1

33

ABCABC

BGABGA

SS

AGBGCGBGCGAGBGCG

GAGBGCSAGAGSAG





























△△

△△

．

由BDAADC



△∽△,得

22

22

1

1

9

2

BDABDA

ADC

ABC

SS

BDBC

SADAG

S

△△

△

△

,所以

22

222

2

1

1

3

BGAABC

BGABGA

SS

BGCGAGBGCG

SAGAGSAG





























△△

△△

．

由BDAADC



△∽△得

22

22

1

1

9

2

BDABDA

ADC

ABC

SS

BDBC

SADAG

S

△△

△

△

,

所以

2

22

2

1113

61818

BGABGDBDA

ABCABCABC

SSS

BCAGBC

SSSAGAG



















△△△

△△△

．

中线长公式或重心性质3（2）,有2222223AGBGCGABBCCA．

从而2

2222222

2

32

3

AGBCABBCCAAGBGCG=

．

故

222

222

118

33

AGBGCGAGAGBGCG

GAGBGCAGBCAG













2222

2222

18

32

AGAGBGCG

AGBGCGAG







3．

证法2:令O为ABC△的外心,由莱布尼兹公式,则22222

1

9

OGRabc

（其中R,a,b,c分别

ABC△的外接圆半径及三边之长）．

注意到22222

1

9

GAGAGBGBGCGCROGabc





,

于是

222AGBGCGAGBGCG

GAGBGCGAGABGGBCGGC











222

222

22

222

1

3

3

1

9

abc

AGBGCG

ROG

abc











．

（2）2

11

33

33

GAGBGCGAGBGCAGBGCG

GAGBGCGAGBGCGAGBGC













≥

（3）由（2）,知

AG

AG



或

BG

BG



或

1

CG

CG



≥

,由此即

AG

GA



或

BG

GB



或

1

CG

GC



≤

,或由（1）也可推得结论成立．

2．证明线共点的一条途径

例10如图14-15,设O是ABC△的内切圆,BC,CA,AB上的切点各是D,E,F．射线DO交EF于A



,

同样可得B



,C



．试证:直线AA



,BB



,CC



共点．

图

14-15

D

O

A

B

C

C'

B'

A'

E

F

证明连AB



,AC

．易知B,D,O,F及C,D,O,E分别共圆,得AOFB



,AOEC



．

在AOF



△及AOE



△中应用正弦定理,有

'

sinsinsinsin

AFOAOAAE

AOFOFAOEAAOE









,

有

sinsin

sinsin

AFAOFBAC

AEAOECAB











．从而ABAFACAE



．

又AFEAEF,故有

11

sinsin

22ABAACA

SAFEAFAEFACAES







△△

．

由此式可知直线AA



必平分BC边,即AA



必过ABC△的重心,同样可证BB



,CC



,也都过ABC△的重

心．

故由重心的唯一性,知AA



,BB



,CC



三直线共点于ABC△的重心．

【模拟实战】

习题A

1．如图14-16,点O在锐角ABC△内,过O作EFBC∥,PQCA∥,HGAB∥,若

EFPQHG

BCCAAB



试问O为

ABC△的什么心？

图

14-16

O

A

B

C

E

F

G

H

P

Q

2．如图14-17,M、N、P分别为正ABC△、DCE△、mBEF的重心．求证:MNP△为正三角形．

图

14-17

F

E

D

A

B

C

M

N

P

3．已知ABC△的重心G和内心I的连线GIBC∥．求证:2ABACBC．

4．设O为ABC△的外心,ABAC,D是AB的中点,G是ACD△的重心．求证:OGCD．

5．设M为ABC△的重心,且3AM,4BM,5CM,求ABC△的面积．

（1991年上海市初中竞赛题）

6．设D是ABC△的边BC上的一点,点E,F分别是ABD△和ACD△的重心,连接EF交AD于点G,则

DG

GA

的值是多少？（1991～1992年度广州等五市竞赛题）

7．给定任意ABC△,作这样的直线与三角形相交,使得由A点到直线的距离等于由B,C点到直线的距离

的和．证明:所有这样的直线相交于一点．

习题B

1．如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似,其逆亦真．

2．在ABC△中,G为重心,I为内心,试证:AGI△,BGI△,CGI△中,最大的一个的面积等于其余两介面

积的和．

3．在锐角ABC△中,O,G分别为其外心和重心．若OGAC∥,求证:tanA,tanB,tanC成等差数列,

4．试证:任意三角形的重心到三边距离之和不小于其内心到三边距离之和．

第十四章三角形重心的性质及应用

习题A

1．易知

2

EFPQHGEFBPGC

BCACABBCBCBC



,则

2

EFPQHG

BCCAAB



,故O为ABC△的重心．

2．先证BDAECF,再由△BMP∽△BCF,得

1

3

MPBM

CFBC

,同理

1

3

PN

BD

,

1

3

MN

AE

,则

MPPNMN．

3．易知G到BC的距离等于ABC△内切圆的半径r,则BC边上的高为3r,再利用面积法证明．

4．证明△ODG与ABC△的重心重合．

5．由3AM,4BM,5CM,有222AMBMCM,知两中线AD,BE垂直．于是

3

18

2ABC

SAMBM

△

．

6．连BE,CF,并延长相交于M,则M为AD的中点．由E,F分别是ABD△和△ACD的重心,则

1

3

MEMF

MBMC



．于是EFBC∥,EGBD∥．从而

1

3

MGME

DMMB



,

2

3

DGBE

DMBM



,

1

3

MGDM

,

2

3

DGDM

,

14

33

AGAMMGDMDMDM

,故

24

12

33

DGGADMDM∶∶∶

．

7．由题设及梯形的中位线性质及三角形重心性质,推知所有这些直线都经过ABC△的重心,即共点

于重心．

习题B

1．设G为ABC△的重心,连DE并延长到H使EHDE,连HC,HF,则以三条中线AD,BE,CF围成的

三角形就是△HCF．当22BCa,22CAb,22ABc成等差数列时,若ABC△为正三角形,易证

ABCHCF△∽△．若abc≥≥,有

222

1

22

2

CFabc

,222

1

22

2

BEcab

,222

1

22

2

ADbca

．将2222acb分别代入以上

三式,得

3

2

CFa,

3

2

BEb,

3

2

ADc,从而CFBEADabc∶∶∶∶,故有ABC△∽△HCF．反之,若

有ABC△∽△HCF,当ABC△中abc≥≥时,△HCF中CFBEAD≥≥,且

2()

ABCHCF

SSCFa

△△

∶∶

．据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积伯

3

4

”,有

2234CFa∶∶,即222223422aCFabc,故22ac22b．

2．分两种情况讨论．①若G,I两点重合,易断ABC△为正三角形,此时0

AGIBGICGI

SSS

△△△

,结论显

然成立．②若G,I两点互异,过G,I作直线l．若l通过ABC△的一个顶点,易推知ABC△为等腰三角

形,此时

AGI

S

△

,

BGI

S

△

,

CGI

S

△

中一个为零,其余两个相等,结论亦成立；若l与ABC△的两边相交,不妨设l

与AB,AC相交．延长AG交BC于E,E必为BC的中点,连EI．过B,E,C分别作到直线l的距离

BB



,EE



,CC

,易证2BBCCEE



,从而2

BGICGIEGI

SSS

△△△

．又由重心性质知2AGGE,从而

2

AGIEGI

SS

△△

,故

AGIBGICGI

SSS

△△△

．

3．要证tanA,tanB,tanC成等差数列,只需证2tantantanBAC,又在ABC△中,由tanB

tantan

1tantan

AC

AC







,有tantantantantantanACBABC．故只需证

2tantantantantanBBABC,亦即tantan3AB．

因O为外心,有2AOCB∠∠,22

1

sinsincos

2AOC

SRAOCRBB

△

∠

．又由G是重心,有

2

11

2sinsinsin

33AGCABC

SSRABC

△△

．注意到OGAC∥,有

AOCAGC

SS

△△

,故2sincosRBB

2

2

sinsinsin

3

RABC

,从而3cos2sinsinBAC,即由coscoscossinsinBACAC,有sinA

sin3coscosCAC,由此即证．

4．ABC△中,重心G到三边距离之和为

123

GGGGGG,ABC△内切圆半径为r,内心I到三边距离之

和为

123

3IIIIIIr．

记BCa,CAb,ABc,射线AG交BC于D,连GB,GC．则由

1

3GCAGABABC

SSS

△△△

知,

1

1

2

3

1

3

2

ABC

ABC

S

S

GG

a

a



△

△．同理,

2

2

3

ABC

S

GG

b

△,

3

2

3

ABC

S

GG

C

△．于是

123

2

ABC

GGGGGGS

△

2

11111111

()33

33333

rabcr

abcabc









≥,即证．