三角形的三心

-1-

三角形“五心”知多少？

三角形的五个“心”

1.重心：三角形三条中线交点.

2.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

3.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。

4.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

5.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

重心的性质:

1.在



ABC中，中线AD交BC于D,G是重心，则AG=2GD

2.在

ABC

中，A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)的重心G坐标公式



















3

3

321

321

yyy

y

xxx

x

3.若O是

ABC

的重心，则

BOC

S



=

AOC

S



=

AOB

S



=

3

1

ABC

S



4.内角平分线定理：:在



ABC中，AD是交A的平分线BC于D,则

AC

AB

CD

BD



三角形五“心”向量形式的充要条件

设

O

为

ABC

所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

（1）

O

为

ABC

的外心

222OAOBOC.

（2）

O

为

ABC

的重心0OAOBOC.

（3）

O

为

ABC

的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）

O

为

ABC

的内心

)

||||

(

AC

AC

AB

AB

OA

=

)

||||

(

BC

BC

BA

BA

OB

=

)

||||

(

CB

CB

CA

CA

OC

=0

0aOAbOBcOC.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、

重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

D

G

H

O

B

C

A

图10

-2-

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到

垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H

三点共线，且QG:GH=1:2。

向量专题复习

一、与三角形“四心”相关的向量问题

1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

||||

ABAC

OPOA

ABAC











,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()OPOAABAC,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

||sin||sin

ABAC

OPOA

ABBACC

,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC

的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

||cos||cos

ABAC

OPOA

ABBACC

,[0,),则动点P的轨迹一定通过△

ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

2

||cos||cos

OBOCABAC

OP

ABBACC





,[0,),则动点P的轨迹一定

通过△ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

6：三个不共线的向量,,OAOBOC满足()

||||

ABCA

OA

ABCA

=

(

||

BA

OB

BA



+

||

CB

CB

)

-3-

=()

||||

BCCA

OC

BCCA

=0，则O点是△ABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

7：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

1

()

3

POPAPBPC(其中P为平面上任

意一点),则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△

ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

10：已知O为△ABC所在平面内一点，满足

2222||||||||OABCOBCA=22||||OCAB，则O点是△ABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

11：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则O点是△ABC

的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

aPAbPBcPC

PO

abc







(其中P是△ABC

所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

二、与三角形形状相关的向量问题

14：已知非零向量AB与AC满足()

||||

ABAC

BC

ABAC

=0且

1

2

||||

ABAC

ABAC



，则

△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

-4-

15：已知O为△ABC所在平面内一点，满足|||2|OBOCOBOCOA，则△ABC

一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

16：已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，G为△ABC的重心，且

aGAbGBcGC=0,则△ABC为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

三、与三角形面积相关的向量问题

命题：平面内点O是△ABC的重心，则有::1:1:1

OABOACOBC

SSS



.

17：已知点O是△ABC内一点，23OAOBOC=0,则：

(1)△AOB与△AOC的面积之比为___________________；

(2)△ABC与△AOC的面积之比为___________________；

变式：1.已知点O是△ABC内一点，23OAOBOC=0,则

△AOB与△BOC的面积之比为___________________；

2.已知点O是△ABC内一点，且xOZzOByOA0,则

S△BOC

:S△AOC

:S△AOB

=__________________；

18.

五、三角形外心与重心的向量关系及应用

命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：

)(

3

1

OCOBOAOG

证明：如图8，设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC

的中点。

∴)(

3

1

3

2

ACABOAADOAAGOAOG

)(

3

1

)(

3

1

OCOBOAOAOCOAOBOA

G

D

O

C

B

A

图8

G

D

O

C

B

A

图8

-5-

反之，若)(

3

1

OCOBOAOG，

则由上面的证明可知：)(

3

1

ACABAG

设D为BC的中点，则)(

2

1

ACABAD，

从而ADAG

3

2

，

∴G在中线AD上且AG=

3

2

AD，即G为重心。

六、三角形外心与垂心的向量关系及应用

命题六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是

OCOBOAOH。

证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，

则OCOBOD

∵O为外心，

∴OB=OC，

∴平行四边形OBDC为菱形

∴OD⊥BC，而AH⊥BC，

∴AH∥OD，

∴存在实数



，使得OCOBODAH

∴OCOBOAAHOAOH①。

同理，存在实数



，，使得

OAOCOBBHOBOH

②

D

H

O

B

C

A

图9

-6-

OBOAOCCHOCOH③

比较①、②、③可得，1，

∴OCOBOAOH

反之，若OCOBOAOH，则OCOBAH，

∵O为外心，∴OB=OC

∴

0||||)()(22OCOBOCOBOCOBCBAH

∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。

∴H为垂心。

例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.

求证OCOBOAOH.

证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.

连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.

∴

ABAD

，

BCCD

.又垂心为H，

BCAH

，

ABCH

，

∴AH∥CD，CH∥AD，

∴四边形AHCD为平行四边形，

∴OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关

系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到

垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11．设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.

求证

OHOG

3

1



证明按重心定理G是△ABC的重心

)(

3

1

OCOBOAOG

按垂心定理OCOBOAOH

由此可得

OHOG

3

1



.

-7-

三角形“五心”知多少？

三角形的五个“心”

1.重心：三角形三条中线交点.

2.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

3.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心，称内心。

4.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

5.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.

重心的性质:

1.在



ABC中，中线AD交BC于D,G是重心，则AG=2GD

2.在

ABC

中，A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)的重心G坐标公式



















3

3

321

321

yyy

y

xxx

x

3.若O是

ABC

的重心，则

BOC

S



=

AOC

S



=

AOB

S



=

3

1

ABC

S



4.内角平分线定理：:在



ABC中，AD是交A的平分线BC于D,则

AC

AB

CD

BD



三角形五“心”向量形式的充要条件

设

O

为

ABC

所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

（1）

O

为

ABC

的外心

222OAOBOC.

（2）

O

为

ABC

的重心0OAOBOC.

（3）

O

为

ABC

的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）

O

为

ABC

的内心

)

||||

(

AC

AC

AB

AB

OA

=

)

||||

(

BC

BC

BA

BA

OB

=

)

||||

(

CB

CB

CA

CA

OC

=0

0aOAbOBcOC.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、

重心、垂心的位置关系：

（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一

个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂

心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

D

G

H

O

B

C

A

图10

-8-

向量专题复习

一、与三角形“四心”相关的向量问题

1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

||||

ABAC

OPOA

ABAC











,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：由已知得

||||

ABAC

AP

ABAC











，

||

AB

AB

是AB方向上的单位向量，

||

AC

AC

是AC

方向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BAC的角平分线上，故

点P的轨迹过△ABC的内心，选B.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()OPOAABAC,[0,).则P点的轨迹一定通过△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：由已知得()APABAC，设BC的中点为D，则根据平行四边形法则知点

P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.

3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

||sin||sin

ABAC

OPOA

ABBACC

,[0,),则动点P的轨迹一定通过△ABC

的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

解：由已知得()

||sin||sin

ABAC

AP

ABBACC

，

由正弦定理知||sin||sinABBACC，∴()

||sin

APABAC

ABB



，

设BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，

-9-

所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心，故选A.

4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

||cos||cos

ABAC

OPOA

ABBACC

,[0,),则动点P的轨迹一定通过△

ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

解：由已知得()

||cos||cos

ABAC

AP

ABBACC

，

∴()

||cos||cos

ABBCACBC

APBC

ABBACC







=

||||cos()||||cos

()

||cos||cos

ABBCBACBCC

ABBACC







=(||||)BCBC=0，

∴APBC，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂心，选B.

5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

()

2

||cos||cos

OBOCABAC

OP

ABBACC





,[0,),则动点P的轨迹一定

通过△ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

解：设BC的中点为D，则

2

OBOC

OD



，

则由已知得()

||cos||cos

ABAC

DP

ABBACC

，

∴()

||cos||cos

ABBCACBC

DPBC

ABBACC









=

||||cos()||||cos

()

||cos||cos

ABBCBACBCC

ABBACC







=(||||)BCBC=0.

∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通过△ABC的外心.选C.

-10-

6：三个不共线的向量,,OAOBOC满足()

||||

ABCA

OA

ABCA

=

(

||

BA

OB

BA



+

||

CB

CB

)

=()

||||

BCCA

OC

BCCA

=0，则O点是△ABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

解：

||||

ABCA

ABCA



表示与△ABC中∠A的外角平分线共线的向量，由

()

||||

ABCA

OA

ABCA



=0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，

OB和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C.

7：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC=0,则O点是△ABC的

()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：若OAOBOC=0,则OAOBOC，以OA、OB为邻边作平行四边形

OAC

1

B，设OC

1

与AB交于点D，则D为AB的中点，有

1

OAOBOC，得

1

OCOC，

即C、O、D、C

1

四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△ABC的重心.

选C.

8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

1

()

3

POPAPBPC(其中P为平面

上任意一点),则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：由已知得3POOAOPOBOPOCOP，

∴33POOPOAOBOC，即OAOBOC=0，由上题的结论知O点是△

ABC的重心.故选C.

9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点

是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

-11-

解：由OAOBOBOC，则0OAOBOBOC，即()0OBOAOC，

得0OBCA，所以OBCA.同理可证OCAB，OABC.

∴O是△ABC的垂心.选D.

10：已知O为△ABC所在平面内一点，满足

2222||||||||OABCOBCA=22||||OCAB，则O点是△ABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.外心

解：由已知得

2222||||||||OAOBCABC



()()OAOBOAOB=(CA

)()BCCABC

()BAOAOB=()CACBBA



()BAOAOBACBC=0

2BAOC=0，∴OC⊥BA.

同理OACB，OBAC.故选A.

11：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

()OAOBAB=()OBOCBC=()OCOACA=0，则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：由已知得：

()()OAOBOBOA=()()OBOCOCOB=()()OCOAOAOC=0

2222OBOAOCOB=

22OAOC=0

||||||OAOBOC.所以O点是△ABC的外心.选A.

12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC=0，则O点是△

ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：∵OBOAAB，OCOAAC，则()abcOAbABcAC=0，得

-12-

()

||||

bcABAC

AO

abc

ABAC





.因为

||

AB

AB

与

||

AC

AC

分别为AB和AC方向上的单位

向量，设

||||

ABAC

AP

ABAC

，则AP平分∠BAC.又AO、AP共线，知AO平分∠BAC.

同理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△ABC的内心.

13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若

aPAbPBcPC

PO

abc







(其中P是△

ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解：由已知得

bPBcPCcPAbPA

POPA

abc







=

bABcAC

PA

abc







，

∴

bABcAC

AO

abc







=()

bcABAC

abccb





=()

||||

bcABAC

abc

ABAC





，

由上题结论知O点是△ABC的内心.故选B.

二、与三角形形状相关的向量问题

14：已知非零向量AB与AC满足()

||||

ABAC

BC

ABAC

=0且

1

2

||||

ABAC

ABAC



，

则△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

解：由()

||||

ABAC

BC

ABAC

=0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角

形，即|AB|=|AC|；由

1

2

||||

ABAC

ABAC

1

cos

2

||||

ABAC

A

ABAC







，

∴

A

=600.所以△ABC为等边三角形，选D.

15：已知O为△ABC所在平面内一点，满足|||2|OBOCOBOCOA，则

△ABC一定是()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

-13-

解：由已知得||||CBOBOAOCOA



||||ABACABAC，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所

以AB⊥AC，选B.

16：已知a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边，G为△ABC的重心，且

aGAbGBcGC=0,则△ABC为()

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解：∵G是△ABC的重心，∴GAGBGC=0,又aGAbGBcGC=0,

∴()aGAbGBcGAGB=0,即()()acGAbcGB=0.

∵GA,GB不共线，∴a–c=b–c=0,即a=b=c.

∴△ABC为等边三角形.选D.

三、与三角形面积相关的向量问题

命题：平面内点O是△ABC的重心，则有::1:1:1

OABOACOBC

SSS



.

17：已知点O是△ABC内一点，23OAOBOC=0,则：

(3)△AOB与△AOC的面积之比为___________________；

(4)△ABC与△AOC的面积之比为___________________；

变式：1.已知点O是△ABC内一点，23OAOBOC=0,则

△AOB与△BOC的面积之比为___________________；

2.已知点O是△ABC内一点，且xOZzOByOA0,则

S△BOC

:S△AOC

:S△AOB

=__________________；

解：(1)将OB延长至E，使OE=2OB，将OC延长至F，使OF=3OC，则

OAOEOF=0,所以O是△AEF的重心.

∴

11

39AOCAOFAEF

SSS



，

11

26AOBAOEAEF

SSS



，∴:3:2

AOBAOC

SS



.

(2)∵

11

618BOCEOFAEF

SSS



，

∴

ABCAOBAOCBOC

SSSS



=

111

()

6918AEF

S



=

1

3AEF

S



，又

-14-

1

9AOCAEF

SS



,

∴:3:1

ABCAOC

SS



.

.