多边形内角公式

探索多边形的内角和公式

发表时间：2011-01-25T16:17:02.157Z来源：《少年智力开发报》2010年第8期供稿作者：陈瑞红

[导读]一个正多边形的内角和与它的一个外角的和为1125°，那么这个正多边形的边数为多少？

郑州市第五十四中学陈瑞红

多边形的内角和是初中数学的一个重要内容，在讲解多边形的内角和时，内角和公式的推导过程是十分必要的。在讲解中，我让学生

先独立思考，然后分小组讨论，最后进行总结归纳，让学生在学习过程中培养他们的独立解决问题与合作精神，增加学生学习数学的兴

趣。

在学生的自学过程中，他们发现多边形的内角和的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形

对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和。这是化规思想的体现，也

是解决多边形问题的基本思想，在课堂教学中，首先复习三角形的内角和公式及推导过程，然后引导出多边形内角和公式的推导方法：

1、如图1，从点P出发可连（n-3）条线段，把n边形分割成（n-2）个三角形，这样，多边形的内角和恰好等于这（n-2）个三角形的

内角和之和，即：（n-2）•180°。从而把多边形的内角和问题转化为三角形的内角和问题给解决了。

2、如图2,从点P出发可连（n-2）条线段，把多边形分割成（n-1）个三角形，此时，多边形的内角和不就等于这（n-1）个三角形的

内角之和再减去点P处的平角了吗？即：（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°。显然，这个结论与1的结论相同。

3、如图3,从点P出发可连n条线段，把多边形分割成n个三角形，此时，多边形的内角和就等于这n个三角形的内角之和再减去点P处

的周角，即：n•180°-360°=（n-2）•180°。

4、如图4,从点P出发可连n条线段，共形成n个三角形，此时，多边形的内角和就等于其中（n-1）个三角形的内角之和再减去外面的

一个三角形的内角和，即：（n-1）•180°-180°=（n-2）•180°。

可见，无论点P取在以上四种情况的何处，都能说明多边形的内角和与其边数n的关系是（n-2）•180°。

在公式探索完之后，我们又进行了练习，学生饶有兴趣的进行了解答。

例.一个正多边形的内角和与它的一个外角的和为1125°，那么这个正多边形的边数为多少？

分析：本例是用多边形的内角和进行计算的典型例题，解决本题的关键是找出题中的等量关系，进行解答；这里需要向学生强调多边

形的外角在0°到180°之间。

解：设这个正多边形的边数为n，则

1125°-180°﹤（n-2）•180°﹤1125°

解得

5.25﹤n-2﹤6.25

7.25﹤n﹤8.25

∵n取正整数，

∴n=8

∴这个正多边形是八边形。

通过本节课的学习，更加树立了学生学好数学的信心，通过学生的合作交流，也增强了学生的合作意识。