无穷减无穷

河北科技大学教案用纸

第22页

第4次课2学时

上次课复习：

0

lim()lim(),()

xxx

fxfxfxA

X







，

关于或的确定。

本次课题（或教材章节题目）：第五节无穷小与无穷大、

第六节极限的四则运算

教学要求：1.理解无穷小、无穷大的概念，2.掌握无穷小与无穷大的关系，3.掌握无穷小的

性质，4.掌握极限的四则运算及复合函数极限的求法。

重点：无穷小的概念及性质、极限的四则运算。

难点：复合函数的极限

教学手段及教具：

讲授内容及时间分配：

无穷小的概念，10分钟

无穷大的概念5分钟

无穷小与无穷大的关系10分钟

函数、极限及无穷小三者之间的关系10分钟

无穷小的运算性质15分钟

极限的四则运算25分钟

复合函数的极限15分钟

课后作业

P542.3.4.

P63-641.(2)(3)(5)(7)(8)(9)(11)3.

参考资料

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第23页

§1.5无穷小与无穷大

一、无穷小

若)(xf当

0

xx（或x）时的极限为零，就称)(xf为当

0

xx（或x）

时的无穷小，即有

定义1：对,0若)0(0X，使得当

0

0()xxxX时，有)(xf

成立，就称)(xf为当

0

()xxx时的无穷小，记为

0

lim()0(lim()0)

xxx

fxfx



，。

注⑴：除上两种之外，还有0,0,,

00

xxxxxx的情形。

⑵：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0），不要将其与一个绝对值非常

小的数混淆，因为任一常数不可能任意地小，除非是0，即0是唯一可作为无穷小的常数。

【例1】因为0422)42(lim

2





x

x

，所以42x当2x时为无穷小；

同理：0

sin

lim

x

x

x

，所以

x

xsin

当

x

时为无穷小，

定理1：当自变量在同一变化过程

0

xx（或

x

）中，

（i）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即：A为)(xf的极限



0

(),0,()fxAxxxxx其中或。

（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。







0

0

0

0

0

0

lim(),0,0,().

(),)().

().

(),()0

())lim().

.

xx

xx

fxAxxfxA

fxAxxxfxA

fxAx

fxAxxxx

fxAxxxfxA

























0

证明：若则对使得当0<时有

令x显然当时，（

故当xx时,x为无穷小，且

反之，设，

则可使（在0<时成立，故

二、无穷大

若当

0

xx或

x

时)(xf，就称)(xf为当

0

xx或

x

时的无穷大。

定义2：若对)0(0,0XM，使得当)(0

0

Xxxx时，有

Mxf)(，就称)(xf当)(

0

xxx时的无穷大，记

作:))(lim()(lim

0





xfxf

xxx

。

注⑴：同理还有)(,)(xfxf时的定义。

⑵：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。

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第24页

⑶：若



)(lim

0

xf

xx

或



)(limxf

x

，按通常意义讲，)(xf的极限不存在。

【例2】可证明



2

0

1

lim

xx

，所以当0x时

2

1

x

为无穷大。

曲线的渐近线：一般地，若lim(),

x

fxcyc



则是曲线y=f(x)的一条水平渐近线。

若

0

0

lim(),

xx

fxxx



则是曲线y=f(x)的一条垂直渐近线。

定理2：当自变量在同一变化过程中时，

（i）若)(xf为无穷大，则

)(

1

xf

为无穷小。（ii）若)(xf为无穷小，且0)(xf，

则

)(

1

xf

为无穷大。

（证明略）

§1.6极限运算法则

定理1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设0)lim(0lim,0lim.

证明：考虑两个无穷小的情形。设

0

xx时,均为无穷小。

0,，则

101

0,0,0

22.

xx



对于当时，有

202

0,0

2.

xx



同理，当时，有

1022

.

22

xx













2

取=min{,}，则当0<<时,,同时成立.

故也是无穷小。

注：可以推广到有限多个无穷小的代数和的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是

无穷小，如：

222222

(1)

12311

2

limlim.

2nn

n

n

nn

nnnnnn













……

定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设

u

有界，0lim0limu。

证明：证明

0

xx时的情况，设函数

u

在

0

x的某邻域),(

10

xU内有界，即0M，

当

),(

10

xUx时，有Mu，又设为当

0

xx时的无穷小，即0lim

0







xx

，故对

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第25页

)(0,0

1

，当),(

0



xUx时，有









M

Muu

M

所以0lim

0





u

xx

，即

u

为无穷小；同理可证

x

时的情形。

推论1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若k为常数，0lim0limk。

推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设

0)lim(0limlimlim

2121



nn

。

定理3：若BxgAxf)(lim,)(lim，则)]()(lim[xgxf存在，且

)(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf。

证明：只证BAxgxf)]()(lim[，过程为

0

xx，对0,0

1

，当

10

0xx时，有

2

)(



Axf，对此，0

2

，当

20

0xx时，有

2

)(



Bxg，取},min{

21

，当

0

0xx时，有







22

)()())(())(()())()((BxgAxfBxgAxfBAxgxf

所以BAxgxf

xx





))()((lim

0

。

其它情况类似可证。

注：本定理可推广到有限个函数的情形。

定理4：若BxgAxf)(lim,)(lim，则)()(limxgxf存在，且

)(lim)(lim)()(limxgxfABxgxf。

证明：因为BxgAxf)(lim,)(lim，由§1.5定理1（i）

,)(,)(BxgAxf

（,均为无穷小）)())(()()(BAABBAxgxf，记

BA，由定理2的推论1.2及定理1为无穷小，再由§1.5定理1

（iii）ABxgxf)()(lim。

推论1：)(lim)](lim[xfcxcf（

c

为常数）。

推论2：nnxfxf)]([lim)](lim[（

n

为正整数）。

定理5：设0)(lim,)(limBxgAxf，则

)(lim

)(lim

)(

)(

lim

xg

xf

B

A

xg

xf

。

证明：设BxgAxf)(,)(（,为无穷小），考虑差：

)()(

)(





















BB

AB

B

A

B

A

B

A

xg

xf

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第26页

其分子AB为无穷小，分母0)(2BBB，我们不难证明

)(

1

BB

有界（详细过程见书上）

)(









BB

AB

为无穷小，记为，所以

B

A

xg

xf

)(

)(

，

由§1.5定理1（ii）

B

A

xg

xf



)(

)(

lim。

注：以上定理对数列亦成立。

定理6：如果)()(xx，且bxax)(lim,)(lim，则ba。

【例1】baxbxabaxbax

xxxxxxxx





0

0000

limlimlim)(lim。

【例2】

n

n

xx

n

xx

xxx

0

]lim[lim

00





。

推论1：设

nn

nnaxaxaxaxf





1

1

10

)(为一多项式，当

)()(lim

001

1

0100

0

xfaxaxaxaxf

nn

nn

xx









。

推论2：设)(),(xQxP均为多项式，且

0)(

0

xQ，由定理5，

)(

)(

)(

)(

lim

0

0

0xQ

xP

xQ

xP

xx





。

【例3】22

1

lim(510)15113

x

xx



。

【例4】3

300

9070

3

97

lim

5

3

5

3

0













xx

xx

x

（因为03005）。

注：若

0)(

0

xQ，则不能用推论2来求极限，这时需采用其它手段。

【例5】求

32

2

lim

2

2

1



xx

xx

x

。

解：当1x时，分子、分母均趋于0，因为1x，约去公因子)1(x，

所以

5

3

32

2

lim

32

2

lim

1

2

2

1













x

x

xx

xx

xx

。

【例6】求)

1

3

1

1

(lim

3

1



x

xx

。

解：当

1

3

,

1

1

,1

3





x

x

x极限均不存在，故不能直接用定理3，但当1x时，

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第27页

1

2

)1)(1(

)2)(1(

1

3

1

1

223

















xx

x

xxx

xx

x

x

，所以

1

1)1()1(

21

1

2

lim)

1

3

1

1

(lim

22

1

3

1



















xx

x

x

xxx

。

【例7】求

2

lim

2

2x

x

x

。

解：当2x时，02x，故不能直接用定理5，又42x，考虑：

0

4

222

lim

2

2









x

x

x

，

由§1.5定理2（ii）





2

lim

2

2x

x

x

。

【例8】设nmba,,0,0

00

为自然数，则





































时当

时当

时当

mn

mn

mn

b

a

bxbxb

axaxa

m

mm

n

nn

x

0lim

0

0

1

10

1

10





。

证明：当

x

时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形：

m

m

n

n

mn

x

m

mm

n

nn

x

x

b

x

b

b

x

a

x

a

a

x

bxbxb

axaxa





























1

0

1

0

1

10

1

10limlim

















































时当

时当

时当

mn

b

a

mn

b

a

mn

b

a

00

00

00

00

0

00

00

1

0

0

0

0

0

0













【例9】

sin1

limlimsin0

nn

x

x

xx



。

【例10】证明



x

x

x

x

,1lim



为

x

的整数部分。

证明：先考虑



x

xx

x

x

1，因为xx是有界函数，且当

x

时，0

1



x

，

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第28页

所以由

§1.6定理2



1lim0)1(lim0lim





x

x

x

x

x

xx

xxx

。

定理7：设函数ux在

0

xx时极限为a，即

0

lim().

xx

xa



但在

0

x的某个去

心邻域内，,xa且lim(),

ua

fuA



则复合函数[()]fx当

0

xx时的极限也存在，且

有

0

lim[]lim()

xxua

fxfuA





（证明略）

定理7表明：如果函数()()fux及满足定理的条件，那末在作代换()ux时，

可将

00

limlim,lim.

xxuaxx

fxfuxa









写作其中

例如，

1

1

0

limlim1

t

x

t

x

xt

ee





。

因此，在求复合函数的极限时，如需作变量代换，可将新的变量的极限代入。