笛卡尔叶形线

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数学曲线的种类(图)

2010-10-2616:49

星形线

心脏线

Apollonius圆:

悬链线

克莱线：

蜗牛线：

蔓叶线：

曳物线：

摆线【cycloid】

一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹。又称旋轮线。

圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴。当圆滚动j角以后，圆上定

点从O点位置到达P点位置。当圆滚动一周，即j从O变动2π时，动圆上定

点描画出摆线的第一拱（图1）。再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱，

继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的，每

一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。摆线有一个重

要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，

B间的摆线，滑落所需时间最短（图2），因此摆线又称最速降曲线。

外摆线：

蚌线：

极坐标方程

ρ=a±bcθ

•O为极点；

•O到l的离差的方向为极轴

•a、b为实数

•-π/2≤θ≤π/2时，

oρ=a+bcθ表示曲线的外支；

oρ=a–bcθ表示曲线的内支。

8字型线

蝴蝶曲线：球坐标，方程：rho=8*t，theta=360*t*4，phi=-360

*t*8

三尖瓣线:

Devils曲线：

双叶线：

对数螺线：

费马螺线：

球面螺旋线：采用球坐标系，方程：rho=4，theta=t*180，phi=t*360*20

弯曲螺线

阿基米德螺线：

连锁螺线：

Cornu螺线(羊角螺线)：

Lituus螺线:

长短幅圆内旋轮线

长短幅圆外旋轮线

叶形线：

笛卡儿叶形线：

肾脏线：

肾形线：

圆渐开线：

杖头线：

双扭线（伯努利双扭线）：我们知道，若在平面上给定两点，则到该两点距离

和为定值的点集构成一个椭圆，那我们自然感兴趣到该两点距离积为定值的点集

是个什么形状，这就是CassinianCurves；倘若设这两点间距离为L，则当距

离积的定值为(L^2)/4时这个CassinianCurve自交于给定两点的中点，这时的

曲线就称为双扭线（lemniscate）。

双扭线有许多有趣的性质，现在首先让我们写出它的方程：

|(z-a)(z-b)|=[(a-b)/2]^2；显然，一般CassinianCurve的轨迹方程为

|(z-a)(z-b)|=r。注意到，该方程左式绝对值中为一个复数的二次式，而r为一

个固定常数，这容易让人想到圆方程|p|=r，没错！循此思路简单验证可发现二

次函数f(z)=(z-a)(z-b)将每一个以a,b为焦点的CassinianCurve映为一个圆

心在原点的圆；实际上，对于不以a，b为焦点的CassinianCurve，f也将其映

为一个圆，但此时圆心不在原点，容易证明，f总将共焦点的CassinianCurve

映为同心圆。

利用二次函数，可以证明，双扭线自交角为直角；顺带的可以证明，二次函数实

际是将双扭线的一支映为圆的。

利萨茹曲线：

帕斯卡尔蚶线(limaconofPascal)：其极坐标方程式为r=acos+k

k為常數，見圖，從左至右分別表k=1.5a，k=a，k=0.5a，

其中当k=a時，称为心脏线(cardioid)

环索线（strophoid）：

卡西尼卵形线（Cassini’soval）：方程式為

为常数

k=a时，如图：

箕舌线：

玫瑰线：（四页玫瑰线）

螺旋线：笛卡儿坐标，方程：x=4*cos(t*(5*360))，y=4*sin(t

*(5*360))，z=10*t

双曲螺旋线：

圆锥曲线

圆

椭圆

双曲线

抛物线

三次曲线

四次曲线

半立方抛物线

梨形四次曲线

平稳曲线

Rhodonea曲线：

追踪曲线

正环索线

Talbot曲线：卡笛尔坐标

theta=t*360

a=1.1

b=0.666

c=sin(theta)

f=1

x=(a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/a

y=(a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b

柱坐标螺旋曲线：

蛇状线:：

瓦特曲线：

三等分角线

三叶线

牛顿三叉曲线

魔线：

K曲线

L曲线