0的导数

关于导数定义

生命学院廖畅PB08207017

复习考试时顺便写一下。

导数的定义

（1）设函数y=f(x)在

0

x的某邻域内有定义，在

0

x出自变量x的改变量是x0，相应的

函数的改变量是y=

00

()()fxxfx,若极限

00

00

()()

limlim

xx

fxxfx

y

xx









存在，则成函数y=f(x)在

0

x点可导，此极限称为

函数y=f(x)在

0

x点的导数（或微商）。记作：f’(

0

x)00

0

()()

lim

x

fxxfx

x





（2）如果函数y=f(x)在区间I内的每一点处都可导，则称函数y=f(x)在区间I内可导。这

时y=f(x)对于区间I内的每一个x值都对应一个确定的导数f’(x),则称f’(x)为函数

y=f(x)的导函数，即f’(x)=

00

()()

limlim

xx

yfxxfx

xx







。

导数定义的理解

（1）导数是一种特定结构的极限——比式的极限——函数的改变量与自变量改变量之比

的极限。

（2）极限

0

lim

x

y

x





存在，则称函数y=f(x)在

0

x点可导；极限

0

lim

x

y

x





不存在，则称函数

y=f(x)在

0

x点不可导；

（3）只有函数y=f(x)在

0

x点和

0

x点的某邻域内有定义时，才能考虑函数在该点的导数，

即导数f’(

0

x)与导数f’(x)在

0

x点及其附近的值有关。

（4）函数在一点的导数f’(

0

x)是f(x)在

0

x点的局部变化率；函数在区间上可导，是用在

一点上可导来定义的，因此仍然没有改变可导的局部性质。

（5）由导数的定义可推出：函数f(x)在

0

x点可导必有y=f(x)在

0

x点连续；但反之不然。

因此连续是可导的必要条件。

（6）导函数f’(x)与一点的导数f’(

0

x)的关系：导函数f’(x)是x的函数，导数f’(

0

x)表示

导函数f’(x)在x=

0

x的特定值（函数f’(x)在x=

0

x的函数值）。因此，求f’(

0

x)的方

法可以用定义，也可以先求出f’(x)，再将

0

x代替f’(x)中的x，不能先将f(x)中的x

代替成

0

x后再求导。

（7）对分段函数在分段点的导数，用定义来求，有时要考虑在分段点的左右导数。

（打死了。。。）