括号内打勾

.

.

2014-—-2015学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号(后两位）姓名

题号

一二三四五六七八总分核分人

得分

一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉)

1。若xf在ba,连续,则xf在ba,上的不定积分dxxf

可表为

Cdttfx

a

（）。

2.若xgxf,为连续函数,则

dxxgdxxfdxxgxf

（）。

3.若

a

dxxf绝对收敛，



a

dxxg条件收敛，则



a

dxxgxf][必

然条件收敛(）。

4.若

1

dxxf收敛，则必有级数

1n

nf收敛（)

5。若

n

f与

n

g均在区间I上内闭一致收敛，则

nn

gf也在区间I

上内闭一致收敛（）.

6。若数项级数

1n

n

a条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散

于正无穷大（）。

7。任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得

到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同(）.

.

.

二.单项选择题(每小题3分,共15分）

1。若xf在ba,上可积,则下限函数a

x

dxxf

在ba,上(）

A。不连续B。连续C。可微D.不能确定

2。若xg在ba,上可积，而xf在ba,上仅有有限个点处与xg不

相等，则（）

A.xf在ba,上一定不可积;

B.xf在ba,上一定可积，但是b

a

b

a

dxxgdxxf；

C。xf在ba,上一定可积,并且b

a

b

a

dxxgdxxf；

D。xf在ba,上的可积性不能确定。

3。级数









1

2

111

n

n

n

n

A。发散B。绝对收敛C.条件收敛D。不确定

4。设n

u为任一项级数,则下列说法正确的是(）

A。若0lim



n

n

u，则级数

n

u

一定收敛;

B。若

1lim1





n

n

nu

u

，则级数n

u一定收敛;

C.若

1,1

n

n

u

u

NnN，时有当

，则级数n

u一定收敛;

.

.

D。若1,1

n

n

u

u

NnN，时有当，则级数n

u一定发散；

5。关于幂级数n

n

xa的说法正确的是（)

A。n

n

xa在收敛区间上各点是绝对收敛的；

B。n

n

xa在收敛域上各点是绝对收敛的;

C.n

n

xa的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；

D.n

n

xa在收敛域上是绝对并且一致收敛的;

三。计算与求值（每小题5分，共10分）

1.n

n

nnnn

n





21

1

lim

.

.

2.



dx

x

x

2cos

sinln

四。判断敛散性（每小题5分，共15分）

1.

dx

xx

x







0

21

13

.

.

2。

1

!

n

nn

n

3。



n

n

n

n

n

21

21

1







.

.

五.判别在数集D上的一致收敛性(每小题5分，共10分）

1。,,2,1,

sin

Dn

n

nx

xf

n



.

.

2.,22,

2

D

x

n

n

六．已知一圆柱体的的半径为R,经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面

030角向斜上方切割,求从圆柱体上切下的这块立体的体积。(本题满10分)

.

.

七.将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中(即底边在上)，且上底边距水表面

距离为10米，已知三角形底边长为20米，高为10米，求该三角形铁板所受的

静压力。(本题满分10分）

.

.

八.证明:函数

3

cos

n

nx

xf

在,上连续,且有连续的导函数。(本题

满分9分)

.

.

2014--—2015学年度第二学期

《数学分析2》B卷•答案

学院班级学号(后两位)姓名

题号

一二三四五六七八总分核分人

得分

一、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉)

1.✘2.✔3.✘4。✔5.✔6.✔7。✔

二.单项选择题（每小题3分，共15分）

1.B;2.C；3。A；4.D;5。B

三。求值与计算题（每小题5分，共10分)

exx

x

x

n

n





3

1

0

223sin

lim

解：由于



3

1

0

3

1

0

223sin

0dxxdx

exx

x

n

x

n

—————————-————

——--—-———--3分

而0

3

1

1

1

limlim

1

3

1

0











n

n

n

nn

dxx————-—-————-——-——-

————-——————————4分

故由数列极限的迫敛性得：

.

.

0

sin

lim3

1

0

223









dx

exx

x

x

n

n

--————-—-——---——-—-———

—-—————————————5分

2。设

x

x

xf

sin

sin2

，求dxxf

x

x



1

解：令tx2sin得

dxxf

x

x



1

=tdtf

t

t

22

2

2

sinsin

sin1

sin





———-—————-—

——-—-2分

=

tdtt

t

t

t

t

cossin2

sincos

sin



=tdttsin2

————————-———————-—

——————-——-————-——4分

=2cos2sintttC

=21arcsin2xxxC———-—-——-——-

—-—5分

四。判别敛散性（每小题5分，共10分）

1.

dx

x

x





1

0

21

arctan

解:

241

arctan

lim

1

arctan

1lim

01

2

2

1

01













x

x

x

x

x

xx



——-————3分

且1

2

1

p，由柯西判别法知，

.

.

瑕积分dx

x

x





1

0

21

arctan

收敛——-—-—-——---—————

—-——-———5分

2。



2

lnln

1

n

nn

解：

时当

00

,,lnlimnnNnn

n







有2lnen——---————---—-———-—

——---—-———2分

从而当

0

nn

2ln

1

ln

1

n

nn

-—----—-—-—-—-—--———-—

——-——--——4分

由比较判别法





2

lnln

1

n

nn

收敛-———--—-—-——-——-——

——-—-—-———5分

五。判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）

1。,0,2,1,

1

2

Dn

n

xxf

n



解:极限函数为Dxxxfxf

n

n





lim-——————-————-—-

—-—-—--—2分

又

n

x

n

x

n

x

n

xxfxf

n

1

1

/11

2

2

2







--—————-3分

.

.



1

0sup

n

xD

fxfx

n



从而

0suplim



ff

n

n

故知该函数列在D上一致收敛。——-——-——--————-—

—--—-———-5分

2.]1,1[,

3

sin2D

x

n

n

解：因当

Dx

时，n

n

n

n

x

xu















3

2

3

sin2

-—————-—-———-

—2分

而正项级数









n

3

2

收敛，—-—-—--——-—-——-———-

—--——-—-——4分

由优级数判别法知，该函数列在D上一致收敛。-————————-

———5分

3。









,,

1

2

D

nx

n

解：易知，级数n1的部分和序列

n

S一致有界，--—2分

而对

nx

xVDx

n



2

1

,

是单调的，又由于





n

n

nx

xVDx

n

0

11

,

2

，—————-—----—-——

———4分

.

.

所以

















nx

xv

n

2

1

在D上一致收敛于0，

从而由狄利克雷判别法可知,该级数在D上一致收敛。--—-—-5分

六。设平面区域D是由圆222yx，抛物线2xy及x轴所围第一象限部

分，求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）

解:解方程组











2

222

xy

yx

得圆222yx与抛物线2xy在第一象限

的交点坐标为:1,1，—----———--——-——-----——--—-—-

—---———————3分

则所求旋转体得体积为：



1

0

1

0

22ydydyyV

—-———-—-—-————-—--—--

——-—-———-—7分

=—--——-——-————-————

=

7

6

—-—-——-————-———-—--—--------——--

—-———-—-—-—---—-—-—-——10分

七。现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，

求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）

解:以圆柱上顶面圆圆心为原点,竖直向下方向为x轴正向建立直角坐标系

则分析可知做功微元为：

.

.

dxxxdxdW2552———--——--——---—————-

—----——---—-5分

故所求为:10

0

215dxxW

—-———-———---——--——--—--—

—-——————————-8分

=1250



=12250



(千焦）----—-———-—--——--—-————-

—----——--—-10分

八．设2,1nxu

n

是

],[ba

上的单调函数，证明：若au

n

与bu

n

都

绝对收敛,则xu

n

在

],[ba

上绝对且一致收敛。(本题满分9分）

证明：2,1nxu

n

是

],[ba

上的单调函数，所以有

buauxu

nnn

——-————---———---——

—————-——-———4分

又由au

n

与bu

n

都绝对收敛，

所以

buau

nn

收敛，-——-——-—-——-—--—-—-———

—-——-——-—-—----—7分

由优级数判别法知：

xu

n

在],[ba上绝对且一致收敛。—————--——--——-——---——

————-——-—--

.

.

2013---2014学年度第二学期

《数学分析2》A试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七总分核分人

得分

一.判断题（每小题2分,共16分)(正确者后面括号内打对勾，否则打叉）

1。若

)(xf

在[a,b]上可导，则

)(xf

在［a，b］上可积.（)

2.若函数

)(xf

在［a，b]上有无穷多个间断点,则

)(xf

在［a,b］上必不可

积.（)

3.若

aa

dxxgdxxf)()(与均收敛,则

a

dxxgxf)]()([一定条件收敛.

(）

4。若xf

n

在区间I上内闭一致收敛，则xf

n

在区间I处处收敛()

5。若

1n

n

a为正项级数(0

n

a），且当

0

nn时有：11

n

n

a

a

，则级数



1n

n

a必发散.（)

6.若xf以2为周期,且在,上可积，则的傅里叶系数为:

nxdxxfa

n

cos

12

0





(）

7。若sa

n

n



1

，则

1

1

1

2asaa

n

nn







(）

.

.

8。幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛.（）

二.单项选择题(每小题3分，共18分)

1。下列广义积分中,收敛的积分是（）

A1

0

1

dx

x

B

1

1

dx

x

C

0

sinxdxD

1

1

3

1

dx

x

2。级数

1n

n

a收敛是

1n

n

a部分和有界的（）

A必要条件B充分条件C充分必要条件D

无关条件

3.正项级数n

u收敛的充要条件是(）

A.0lim



n

n

uB。数列

n

u单调有界

C。部分和数列

n

s有上界D。1lim1





n

n

nu

n

4.设

a

a

a

n

n

n





1lim

则幂级数1bxabn

n

的收敛半径R=（)

A。aB。ba

1

C。

a

1

D。

b

a

11













5.下列命题正确的是（）

A)(

1

xa

n

n



在],[ba绝对收敛必一致收敛

B)(

1

xa

n

n



在],[ba一致收敛必绝对收敛

.

.

C若

0|)(|lim



xa

n

n

，则)(

1

xa

n

n



在

],[ba

必绝对收敛

D)(

1

xa

n

n



在

],[ba

条件收敛必收敛

6。。若幂级数n

n

xa的收敛域为1,1，则幂级数n

n

xa在1,1上

A.一致收敛B。绝对收敛C。连续D.可导

三.求值或计算(每题4分，共16分）

1.

dxxxxln1；

2.dx

xxcossin

1

.

.

3．dxexxx

1

1

。

4.设xf在[0,1］上连续，求dxxfn

n





1

0

lim

.

.

四。（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.

1。

1

3

24332xx

dx

；

xx





1

0)1ln(1

1

3.





2

1

ln

n

n

n

n

；

.

.

4。

1

!

n

n

n

n

ne

五、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5分，

共10分）

1。),(;,2,1,)(42xnnxxf

n



.

.

2。

n

n

n

n

x

1

3

)1(2

1







；,5.05.0,Dx

六。应用题型（14分）

1。一容器的内表面为由2xy绕y轴旋转而形成的旋转抛物面，其内现

有水



（3m），若再加水7



（3m）,问水位升高了多少米？

.

.

2.把由xey，x轴，y轴和直线

x0所围平面图形绕x轴旋转得

一旋转体,求此旋转体的体积V，并求满足条件



VaV



lim

2

1

的a。

.

.

七．证明题型(10分）

已知xf与xg均在［a，b]上连续，且在［a,b］上恒有xgxf,但xf

不恒等于xg，证明:

b

a

b

a

dxxgdxxf)()(

.

.

2013—-—2014学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院班级学号(后两位）姓名

题号

一二三四五六七总分核分人

得分

一、判断题(每小题2分,共18分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1。对任何可导函数xf而言，Cxfdxxf

成立。()

2。若函数xf在ba,上连续，则dttfxF

b

x必为xf在ba,上

的原函数。（)

3。若级数

1n

n

a收敛，必有0lim



n

x

na。（）

4。若1lim



n

n

n

a,则级数

1n

n

a发散.

5。若幂级数

1n

n

n

xa在2x处收敛,则其在［—2，2]上一致收敛.（）

6.如果xf

在以a，b为端点的闭区间上可积，则必有

dxxfdxxfb

a

b

a.（）

.

.

7。设xf在,1上有定义，则dxxf

1

与级数

1n

nf同敛散。（）

8。设xf在ba,任子区间可积，b为xf的暇点,则b

a

dxxf与

dt

t

t

bf

ab

2

1

11

















同敛散。（）

9.设xf

n

在bxxaD,,

00

上一致收敛,且

nn

xx

axf



0

limNn存

在，则xfxf

n

nxx

n

xxn

limlimlimlim

00

。

二。单项选择题（每小题3分，共15分）

1。函数

)(xf

在],[ba上可积的必要条件是（）

A连续B有界C无间断点D有原函数

2.下列说法正确的是(）

A.

1n

n

a和

1n

n

b收敛,

1n

nn

ba也收敛

B.

1n

n

a和

1n

n

b发散，





1

)(

n

nn

ba发散

C。

1n

n

a收敛和

1n

n

b发散，





1

)(

n

nn

ba发散

D.

1n

n

a收敛和

1n

n

b发散，

1n

nn

ba发散

3。)(

1

xa

n

n



在],[ba收敛于)(xa,且)(xa

n

可导，则（)

.

.

A。xaxa

n

n









)(

1

B。

)(xa

可导

C。









b

a

n

b

a

n

dxxadxxa)()(

1

D。

1

)(

n

n

xa一致收敛,则

)(xa

必连续

4.级数









1

2

111

n

n

n

n

A。发散B.绝对收敛C。条件收敛D。不确定

5.幂级数





0

21

2

n

n

n

x

n

的收敛域为：

A.（—0。5,0.5）B.[-0.5,0。5］C.5.0,5.0D.5.0,5.0

三。求值与计算题（每小题4分，共16分）

1。

dx

x

xx



2sin2

cossin

2。

dx

xx

x



12

.

.

3.n

n

nnnn

n

11

1

lim





4.

dxbax

b

a2

.

.

四。判别敛散性（每小题4分,共16分)

1。

dx

x

xx



1

31

arctan

；

x

x





1

01

3。











1

1

1

1n

n

n

n

n

。

.

.

4。

















1

1

cos1

n

n

n

五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分,共10分)

.

.

1.













1)1/(1,0

)1/(10,)1(1

xn

nxxn

xf

n

1,0.,2,1xn

2。













1

2

1

)(

1

n

n

nnx

),(x

六。应用题型（16分）

1.试求由曲线2xy及曲线22xy所平面图形的面积.

.

.

2。将

1

0

2

cos1

dx

x

x

表达为级数形式,并确定前多少项的和作为其近似,可使

之误差不超过十万分之一。

.

.

七.（9分）证明:若函数项级数xu

n满足：

（ⅰ)2,1)(,naxuDx

nn

;（ⅱ)n

a收敛。则函数项级数

xu

n在D上一致收敛.

.

.

014---2015学年度第二学期

《数学分析2》A卷•答案

三.判断题（每小题3分，共21分)

1.✔2.✘3.✔4.✘5.✔6。✔7。✘

二.单项选择题(每小题3分，共15分）

B,C,C,D，A

三.计算与求值（每小题5分,共10分）

1.解：原式=n

nn

n

nn













































1

2

1

1

1lim

=

































n

k

nnn

k

1

1

1lnexplim

———-——--—-——---———

————--——-2分

=

































n

k

nnn

k

1

1

1lnlimexp—-—-—————-—-——----

———————3分

=

2

1

lnexpxdx=14e——--——--—————--—--

—————-——-5分

2.原式=xdxtansinln-———-——-———-———-——-—

—-——---———-2分

=xdxxxxcottantansinln

—-——--———----———

.

.

————4分

=Cxxxtansinln——-——————-—————

———-———-----5分

四。判断敛散性（每小题5分，共15分)

1.

3

1

13

lim

2

2

3







xx

x

x

x



—-—-———--———---—————

—-—-—---2分

且

1

2

3

p

——-——--——--———---———-

—-—--—-————-3分

由柯西判别法知,

dx

xx

x







0

21

13

收敛。--—-—————5分

2.由比式判别法





n

n

na

a

1lim















nn

n

n

n

n

n!

1

!1

lim

1



1

/11

1

lim1







e

nn

----—4分

故该级数收敛.—-—---———————-—-—-—

——-—-————-——5分

3。解：由莱布尼兹判别法知，交错级数









1

1

n

n

n

收敛----—-—--

—-2分

.

.

又1

21

1

1

21

2

0









nn

n

知其单调且有界，-—-———--—4

分

故由阿贝尔判别法知，级数收敛。--———-—-——-——-——-—

——————--—-————5分

五。1。解:极限函数为Dxxfxf

n

n





0lim————--——-----—

--—--—-2分

又

nn

nx

xfxf

n

1sin

——--———-—---——-—-—--

———---—-—--—-4分

0suplim



ff

n

n

故知该函数列在D上一致收敛。--————--—

——5分

2。解：因当Dx时,

nnn

n

n

x

n

x

n

xu

2

222

——--—--—-————

--———-—--3分

而正项级数n

n

2

2

收敛,—-————-—-——--————

—---——-——--—4分

由优级数判别法知,该函数列在D上一致收敛.———-——--—--——

—-5分

.

.

六．已知一圆柱体的的半径为R,由圆柱下底圆直径线并保持与底圆面030

角向斜上方切割,求所切下这块立体的体积。（本题满分10分）

解：在底圆面上以所截直径线为x轴，底圆的圆心为原点示坐标系，

过x处用垂直x轴的平面取截该立体,所得直角三角形的面积为：

2202230tan

2

1

xRxRxS

-——-—-—-———————-—

--———————-—--—-5分

22

6

3

xR

故所求立体的体积为：





R

R

dxxRV22

6

3

———-——-——-——7分=3

9

32

R

—---——-10分

.

.

七。解:建立图示坐标系（竖直方向为x轴)

则第一象限等腰边的方程为

10yx

-—-—-—-————-—-————

--—-——--——--———-——3分

压力微元为：dxxdxxxdF2100210102

故所求为

dxxF10

0

21002

——--—————————————

---—-——--—————-————-———7分

吨33.1333千牛67.13066——-———10分

八。证明：2,1

cos

3

n

n

nx

xu

n

每一项在,上连续，

又

33

1cos

nn

nx

xu

n

而3

1

n

收敛

所以3

cos

n

nx

在,上一致收敛,---————--——--—————

—-—-————--———3分

.

.

故由定理结论知



3

cos

n

nx

xf

在,上连续，——-—--—--——————-

————-———-———-—5分

再者

22

1sin

nn

nx

xu

n









而2

1

n

收敛

所以

xu

n

在,上一致收敛，结合xu

n



在,上的连续性

可知

3

cos

n

nx

xf

在,上有连续的导函数。——--——-——

—————-—9分

.

.

2014---2015学年度第二学期

《数学分析2》B试卷

学院班级学号（后两位）姓名

题号

一二三四五六七八总分核分人

得分

二、判断题（每小题3分，共21分，正确者括号内打对勾，否则打叉）

1.若xf为偶函数，则dxxf

必为奇函数（）。

2.xysgn为符号函数,则上限函数y=x

a

dttsgn在,上连续

（).

3。若dxxf

a

收敛，必有0lim



xf

x

（)。

4.若

n

f在区间I上内闭一致收敛，则

n

f在区间I上处处收敛（）。

5.若

1

)(

n

n

xu在ba,上内闭一致收敛，则

1

)(

n

n

xu在ba,上一致收敛（).

6。若数项级数

1n

n

a绝对收敛，则经过任意重拍后得到的新级数仍然绝

对收敛，并且其和不变（)。

7。若函数项级数)(xu

n在ba,上的某点收敛，且)(xu

n

在ba,上一

.

.

致收敛，则)(xu

n也在ba,上一致收敛（).

二。单项选择题（每小题3分，共15分)

1.函数

)(xf

是奇函数,且在

],[aa

上可积,则（）

A



aa

a

dxxfdxxf

0

)(2)(

B0)(

a

a

dxxf

C



aa

a

dxxfdxxf

0

)(2)(

D)(2)(afdxxfa

a



2.关于积分

dx

xx

x





1

0

21

sin

,正确的说法是（)

A。此为普通积分B.此为瑕积分且瑕点为0

C.此为瑕积分且瑕点为1D.此为瑕积分且瑕点为0，1

3.就级数

nnpln

1

2

（0p）的敛散性而言，它是（)

A.收敛的B.发散的

C.仅

1p

时收D。仅

1p

时收敛

4.。函数列

n

f在区间I上一致收敛于0的充要条件是（）

A.0lim,



xfIx

n

n

B.0lim,



n

n

n

xfIx

C.0lim





xfNn

n

x

D。0suplim





xf

n

Ix

n

5。幂级数





0

21

2

n

n

n

x

n

的收敛域为：

A。(—0。5,0。5）B。［—0。5,0。5］C.5.0,5.0D.5.0,5.0

.

.

三.求值与计算题（每小题5分，共10分)

exx

x

x

n

n





3

1

0

223sin

lim

2。设

x

x

xf

sin

sin2

，求dxxf

x

x



1

四。判别敛散性(每小题5分,共10分）

1.

dx

x

x





1

0

21

arctan

.

.

2.



2

lnln

1

n

nn

五.判别在所示区间上的一致收敛性(每小题5分,共15分)

1.,0,2,1,

1

2

Dn

n

xxf

n



.

.

2。]1,1[,

3

sin2D

x

n

n

.

.

3。









,,

1

2

D

nx

n

六。设平面区域D是由圆222yx,抛物线2xy及x轴所围第一象限部分，

求由D绕y轴旋转一周而形成的旋转体的体积(本题满分10分)

.

.

七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计)，内中盛满水,求

从中将水抽出需要做多少功?（本题满分10分）

.

.

八．设2,1nxu

n

是

],[ba

上的单调函数，证明:若au

n

与bu

n

都绝对收敛,则xu

n

在

],[ba

上绝对且一致收敛。(本题满分9分）