ln2等于多少

3.2.1对数

江苏省新海高级中学李静

教材分析:

本章是第2章《函数》内容的继续和具体化，是对函数内容的深化和提高．本章内容是

学生学习函数知识的过程中的重要环节，既是函数知识的进一步扩展，也是函数思想方法的

具体运用．

在上一节，学生已经学习了指数及指数函数的相关内容，这为过渡到本节的对数学习起

着铺垫作用．对数是学习对数函数的基础，而对数函数是本章学习的重要的基本初等函数之

一，作为常用数学模型在解决社会生活中的实例有广泛的应用．

本节课的主要内容是对数概念及指、对数互化、对数运算等内容．本节学习内容蕴含转

化、化归数学思想，类比与对比等基本数学方法．对数与指数的互化是对指数函数及其性质

的巩固，也是后面学习对数函数的基础．

教学目标：

1．理解对数的概念；能熟练地进行指数式与对数式的互化；会根据对数的概念求一些特

殊的对数式的值；了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法．

2．通过观察、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等，培养学生理性思维能力．经历

以实际问题为知识生长点抽象出数学概念的过程．

3．通过对数概念的学习，使学生体会到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互

转化的思想，感受数学的整体性，同时使学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用，从

而激发学生的学习兴趣．

4．通过了解对数的发明者与发展史及其价值，使学生明白社会需求是数学发展的动力，

感受数学对社会发展的推动作用，了解数学家的创新精神，从而逐步形成正确的数学观，激

发学生学习数学的兴趣和欲望，丰富学生的学习数学的情感，增强学生的数学素养．

教学重点：对数概念的理解，指数式和对数式的互化．

教学难点：对数概念的引入与理解．

教学方法：互动探究

教学过程：

一、设置问题、产生矛盾：

很高兴来到美丽的辅仁高级中学．曾子曰：“君子以文会友，以友辅仁．”希

望通过这节课的交流，我们可以成为朋友，共同提升数学素养．就让我们从一个

实际问题开始：

问题一：光在某种介质中传播，每经过1cm，其强度减弱为原来的一半，假

设最初的强度是1，

（1）经过2cm后，强度是多少？

（2）经过xcm后，强度y是多少？

（3）经过多少cm，强度为0.125？

（4）经过多少cm，强度为

6

1

呢？

师：问题（4）我们只要研究

6

1

2

1













x

的解．

问题二：方程

6

1

2

1













x

的解存在吗？是多少？

师：请同学们先来判断一下，这个解存在吗？唯一吗？（讨论后提问）

师：借助图像可以说明有解，这个解就是在函数

x

y















2

1

中，与函数值

6

1

相对应的

变量x．同学们都说有解，那么这个解是多少？你会表示吗？用我们学过的运算能

求出来吗？（思考）

显然，我们无法在以前学习的知识中找到一种运算求出这个解．在我们以往

的学习历程中是否遇到过类似的困境：明知有解，却苦于无法表示？

【设计意图】问题一到问题二是由实际需要抽象出数学问题．问题二由浅入

深，通过先研究存在性，再追究“解是多少”，降低了问题研究难度的同时，体现

了研究该问题的可行性．通过存在而无法求解，引起冲突，生成知识增长点．

二、追溯历史、推出定义：

让我们共同追溯数字运算的学习历程，看看能不能从中得到一些启示．这是

小学课本上的问题：

分数问题：“4个苹果平均分成2份，每人分得2个；2瓶矿泉水平均分成2

份，每人分得1瓶；（这些都能用自然数表示）1个蛋糕平均分成2份，每人分得

半个，”半个能不能用自然数表示？（不能）我们如何解决的？引入一个新的符号

——分号，得到一个新形式的数——分数．

大家想一想，初中遇到过类似的状况吗？（提问）

平方根问题：时光飞逝，到了初中，我们学习了平方的概念后，知道了方程

42x的解为有理数2和-2，而方程22x的解能不能用有理数表示呢？（不能）

我们同样发现有解却无法表示，于是引入一个新的符号——根号，得到一个新形

式的数“

2

”．

师：请大家总结一下，在这两个例子中，我们突破运算困境的途径是什么呢？（引

入新的符号）

实际上，像这样的困境我们今后还会遇到．

【设计意图】对数概念理解难，体会对数符号生成的必要性更难．在问题二

后，不急于像课本一样，直接给出对数概念．所谓“授人以鱼，不如授人以渔”．通

过温故知新，让学生感受引入新概念的必要性，水到渠成引入概念，培养学生面

对新的运算瓶颈如何突破的能力，为后面的学习（例如复数运算）培养自学能力，

做到承前启后．同时，让学生经历数学运算的发展历程，感受数学文化．

师：回到刚才的问题“方程

6

1

2

1













x

的解是多少？”，你有办法了吗？

生：创造新的符号．

师：是的．创造一个新的符号，引进一个新形式的数．引进一个什么形式的数呢？

这里的指数是由什么确定的呢？（提问）

师：是的．这个指数是由

2

1

和

6

1

确定的．因此我们要创造一个用

2

1

和

6

1

表示的数！

早在400年前，数学家纳皮尔就为我们创造好了这样的符号，同学们想不想欣赏

一下这块数学瑰宝呢？

建构1：对数运算

如果

x

满足

6

1

2

1













x

，记

x=

6

1

2

1

log

，也就是底数为

2

1

时，与幂值

6

1

相对

．

应的

数

．

，简称对数．

对于这个新形式的数，大家有什么认识？它表示什么？（畅所欲言）

师：显然

6

1

2

1

log

是一个数，一个新形式的数，一个无理数，一个使得

6

1

2

1













x

成

立的数．同时，

6

1

2

1

log

也表示一种运算，由底数和幂求指数的运算——对数运算．

师：你能由此说出6

1

2

1log

2

1













等于多少吗？（分别从代数关系和图形关系解读）

师：至此，我们可以回答开头的问题，经过

6

1

2

1

log

cm

，强度是

6

1

．我们用科学计

算器可以算出这个数约等于

2.58cm

．

师：这个指数方程的解你会表示了，其它的指数方程呢？

6

2

1













x

？

6

1

2x？

师：对于任意的指数式

Nab

，你都能用表示出这里的指数

b

吗？让我们看完整

的定义！

建构2：对数概念

对数的概念：一般地，如果)1,0(aaa的

b

次幂等于N，即Nab，那么就称

b

是以a为底N的对数，记作bN

a

log，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．

点评：1、对于这个新符号，请大家注意规范书写，尤其注意将底数写在下标的位

置，同时也要注意它的规范读法，按照定义读．

log

a

N

指数对数

NabbN

a

log

幂真数

底数

2、我们把Nab叫做指数式，把bN

a

log叫做对数式．

【设计意图】建构1一方面从指数运算与对数运算的互逆关系出发，体会指

数式与对数式的内在联系，解决上一环节中提出的问题，另一方面也为学生在建

构2自主研究对数的概念做铺垫．

探究

1

：（字母名称）你能说出

a

，

b

，

N

在两式中的名称吗？（见上图）．

师：原来指、对数运算的关系就如同加减运算和乘除运算一样，当数字的位置发

生了变化，其含义和名称也随之改变，而底数是未变的．

探究2：（底数和真数的范围）两式中三个量的名称不尽相同，范围相同吗？

生：相同．a>0且a≠1，b∈R，N>0．

师：没错，也就是说，“真数”一定是“正数”，负数与零没有对数．

师：由定义可知，指数式

Nab

与对数式

bN

a

log

表示的是

a

，

b

，

N

这三个量

之间的同一个关系的不同形式，在底数一定的情况下，指数运算是由

b

求

N

，对

数式是由

N

求

b

，可见，指对数运算是一对逆运算！

【探究1~2设计意图】探究1进一步揭示指对数的内在联系，同时强化字母

名称，为后面的指对数互化打下基础．探究2由指对数的等价关系指出了范围的

等价性，同时范围的等价性也使得指对数等价关系更加完整．

三、应用定义、深化理解：

师：大家共同努力，给出对数的定义，并且明确了指、对数的关系．同学们掌握

了吗？我们改写两个试试看！(82=64、

3

log92=

)

老师考考大家，你能不能快速完成这些式子的改写呢？

例1．将下列指数式改写成对数式：

⑴24=16；⑵

x











6

2

1

；⑶2010a；⑷e0=1．

解：⑴416log

2

=;⑵6

2

1

logx=;⑶a20log

10

;⑷

01log=

e

．

师：如何将指数式化为对数式？(底数依然是底数，指数变为对数，幂为真数)

师：（3）、（4）两题中的底数，我们今后会经常在计算中遇到．

常用对数：

由于我们通常所用的数字是以10为基数的，因此以10为底的对数称为常用

对数，如12log,2log

1010

等，数学讲求简洁美，我们给它一个特殊的符号，将对数

N

10

log简记为Nlg，如12lg,2lg等．（3）中的对数式还能怎么写呢？(20lg＝a)

自然对数：

在自然科学中经常会用到一个无理数e（e=2.71828…），在我们今后的计算中

也会经常出现．以e为底的对数称为自然对数，正数N的自然对数N

e

log一般简

记为Nln，如15log,2log

ee

分别记为15ln,2ln．（4）中的对数式还能怎么写呢？

(

01ln

)

由指数式能改成对数式，逆回来，对数式能改写成指数式，你会吗？

例2．将下列对数式改写成指数式：

⑴

225log

5



；⑵

23log

3

1



；⑶-1.699alg

；（

4

）

b12ln

．

解：⑴2552；⑵3

3

12















；⑶1.69910a；（4）eb=12．

师：如何将对数式化为指数式？（底数依然是底数，对数为指数，真数为幂）

师：在例1、例2的互化中，底数始终不变．因此关键在于认清底数．对于隐性的

底数改写时要还原出来．

【例1、例2设计意图】对数式与指数式的互化是在解决对数问题时运用化归

思想的桥梁．在刚开始学习对数问题时，我们可以把它化归为指数问题，利用分

数指数幂有关的运算的性质及其方法技巧来解决；反过来我们也可以把较复杂的

指数式的有关问题转化为对数问题，从而使问题得到简捷的解法．可见指对数式

的互化是进一步研究的基础，同时也是对概念的巩固．

师：在例2中如果不给出结果，要你求出对数值，你还会吗？

例3．求下列各式的值：

（

1

）64log

2

；（

2

）27log

9

．

解：（

1

）

664log

2



；（怎么算出？引导回归定义，直接由指数式化为所求的对数

式）

（

2

）（引导回归定义，向指数式寻求帮助）

设

27log

9

x

，则根据对数的定义知，

279x，即3233x，

得

32x

，（此处的推理依据是什么呢？）（指数函数的单调性）

因此，

2

3

x

，所以

2

3

27log

9



．

【例

3

设计意图】由例

3

的过程再次让学生感受

log

a

N

首先是一个符号：它

是用底数

a

和幂

N

表示对应的指数的符号，是指数式xaN

的另一种等价表示形

式

log

a

Nx

；其次由例

3

的结果明白

log

a

N

是一种运算：已知底数

a

和幂

N

求指

数的运算，即求关于

x

的方程xaN

的解的运算．

四、归纳类比、提升能力：

其他同学跃跃欲试，那就让我们趁热打铁，求几个值，动动手，试试看！

探究3：（几个重要等式）

练习：（1）=lg100（2）=32log

8

（3）=1log

5

1

（4）=3log

3

（5）=81log

3

（6）=

3

1

log

3

师：通过计算我们可以反思，是不是每一个对数式都需要化为指数式求解呢？

实际上，通过定义可以看出，N

a

log的含义也就是“求N是a的多少次方”．那么，

大家看

100lg

就是求什么呢？（求100是10的多少次方）

师：对于简单的对数求值，解读符号的含义就可以直接得到答案．

师：我们再来回顾一下求值过程．大家可以试着从中提取出更加一般的公式．（变

式引导归纳）大胆猜想还要小心求证．这些等式成立吗？（逐个证明）

生

1

：

(1)

0=1log

a

；（

1

的对数等于

0

）

(2)

1=loga

a

；（底数的对数等于

1

）

(3)

bab

a

log

．

生

2

：如果将

bab

a

log

，化成指数式，就是bbaa

，显然是成立的．

生

3

：设b

a

axlog

，则根据对数的定义知，bxaa

，得

bx

，所以

bab

a

log

．

师：两个方法都是从定义出发，一个是指对数互化，一个是像例三这样利用方程

思想以求代证．看来定义是我们解决问题的重要依据，那就让我们重新观察一下

定义中的两个式子，你能由定义直接证出这个等式吗？（引导观察）由定义中的

两式能不能直接推导出

bab

a

log

？（引导观察字母变化）

师：真是众里寻它千百度，原来它在定义中啊！原来只要将指数式代入对数式，

消去

N

就可以得到结论了．如果尝试将对数式代入到指数式，能得到怎样的等式

呢？（

NaN

alog）

师：大家是否见过类似结构的式子？（

6

1

2

16

1

log

2

1













）

师：这个等式我们称为对数恒等式．这几个等式将会简化我们求对数值的过程，

后两个公式在运用时一定要注意整理成“同底”的结构，希望大家能通过具体运

算记住它们．

【探究

3

设计意图】探究

3

让学生体验由计算结果“广泛联系、思维发散”，

再“高度概括，思维敛聚”的过程，通过归纳类比得到两个性质和指对数恒等式，

是对本节课内容的总结提升．在教学中，不仅注重公式本身的运用，更加注重在

公式生成过程中学生思维能力的提升．

五、回顾反思，完善认知：

这节课我们认识了一种新形式的数——对数，对数让我们称为了朋友，亲爱

的朋友们，你们都掌握了哪些关于对数的知识呢？（提问）

师：总结的很全面！这节课同学们很好地展示了风采！不愧为钱钟书老先生的校

友！老师也诗兴大发，赋诗一首，送给大家：

“心生疑惑求解难，

追溯历史引概念；

互化求值导公式，

一切尽在定义间！”

备用练习：求下列各式的值：

（

1

）

64log

4

；（

2

）7log

7

；（

3

）

8

1

log

2

；（

4

）

2

1

ln

e

；（

5

）

1000lg

；（

6

）

lg(lne)

．

答案：（

1

）

3

；（

2

）

2

1

；（

3

）

-3

；（

4

）

-2

；（

5

）

3

；（

6

）

0

．

数学史简介：（备用）在

16

、

17

世纪之交，天文、航海等事业中的计算越来

越精确，数字计算的工作量也越来越繁重，迫切需要改进计算方法．在这样的历

史条件下，纳皮尔创立了对数表，并发表了《论述对数的奇迹》一书．“对数”这

个术语的意思是“对照表中的数”．同学们可能想象不到，那时指数的概念尚未完

成，也没有指数符号！直到

18

世纪，欧拉才发现指数与对数的天然关系．对数的

建立先于指数，堪称历史上的珍闻！纳皮尔不从指数出发，怎样得到对数的概念

的呢？有兴趣的同学们可以课后上网查找资料．

六、课后巩固，矫正反馈：

1、课本P79习题3.2(1)1，2，3(1)～(4)．

2、阅读79页的材料，了解对数的发展史．

3、预习下一节《对数的运算性质》．