101是质数吗

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质数与合数

知识精讲

什么是质数？

每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1

乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6=2×3，8=2×4=2×2×2，

12=2×6=3×4=2×2×3；……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，

我们把这样的数称为合数。而像2，3，7，…这些不能拆成若干个不为1的数相

乘形式的数，我们称之为质数。如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，

合数就是“拆得开”的数。

严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还

能被其他数整除的数。注意，1既不是质数也不是合数。

我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出有颠倒

个位十位之后还是质数的两位质数

(填写在横线上）

相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松。质数是我们后面

学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数。请同学们在下面的横线上

写出100以内的所有质数：

同学们还可以这样做：从大到小写出100以内的质数.如果你能一个不少地写出

说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了。

当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角。在100以上还有无穷

多个质数,比如接着100的就有四个质数：101、103、107、109。

例题1

下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌。

将诗中56个字，从第1行左边第一字起逐行逐字编为1~56号，再将号码中的质

数由小到大找出来，将它们对应的汉字依次排成一行，组成一句话，请写出这句

话。

「分析」1~56中的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这

句话就出来了。

练习1

2

自然数

N

是一个两位数，它是一个质数，而且

N

的个位数字与十位数字都是质

数，这样的自然数有多少个？

例题2

（1）如果两个不同的质数相加等于26，那么这两个质数的乘积可能是多少？请

全部写出。

（2）如果两个不同的质数相加等于25，那么这两个质数的乘积可能是多少？请

全部写出。

（3）三个互不相同的质数相加，和为40，这三个质数的乘积可能是多少？请全

部写出。

「分析」对于第1小题，依次枚举即可，可知这两个不同的质数一定都是奇数。

那么后两小题中的质数可以都是奇数吗？

练习2

如果三个互不相同的质数相加，和为52，这三个质数可能是多少？

通过前面的学习，我们对质数已经有了基本了解。下面我们来学习这一讲中最进

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要的内容：分解质因数。分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式，如：

30=2×3×5，100=2×2×5×5，280=2×2×2×5×7。同学们请注意：分解时应

该把质因数按从小到大的顺序写好，每个数分解质因数的形式是唯一的。

分解质因数的方法一般是短除法，如下图所示，我们将30分解质因数，在计算

的过程屮要善用各种特殊数的整除特性。

在分解质因数时也可以写成：2252100

；280在分解质因数时也可以写成

7522803，这种写法更简洁更方便，其中位于质因数右上角，表示质因数

个数的数叫作指数，如：

这里280的分解式中5和7的指数都是1，写的时候可以省略。

如何确定一个大数是不是质数呢？我们要判断197是不是质数，难道需要验算

197以内的所有质数吗？

同学们不用担心，数学家们早就为我们准备了简单的方法，只需要试很少的几个

就能判断。例如我们要判断197是否为质数，只需要验算15以内的质数就足够

了！因为15×15=225比197大。类似的，如果我们要判断2011是不是质数，只

需要验算45以内的质数，因为45×45=2025比2011大。有了这个方法，同学们

以后判断一个大数是不是质数就非常方便了。

例题3

请把下面的数分解质因数：

（1）360；（2）539；（3）999；（4）10101。

「分析」将一个数分解质因数，可以从最小的质数开始，一个一个去试商，写成

短除的形式。

练习3

4

请把下面的数分解质因数：（1）373；（2）12660。

在数论问题中，有一类特殊的问题，专求乘积末尾连续0的个数。解决这类问题

的方法同样分解质因数。下面我们来看一个例题。

例题4

算式1×2×3×……×100计算结果的末尾有多少个连续的0？

「分析」乘积的末尾要出现一个0，只需要乘数凑出一个10，那么能凑出来几个

10，末尾就有多少个连续的0。注意到10=2×5，我们只需要计算这个算式中包

含的质因数2和5的个数就可以了。

练习4

算式1×2×3×……×30的计算结果的末尾有多少个连续的0？

挑战极限

分解质因数是学习数论何题时非常重要的方法，大家一定要能熟练地将一个数分

解质因数，这应该作为一项基本的能力来培养。下面我们来看看如何利用分解质

因数来解决实际的问题。

例题5

5

三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个数的和等于多少？

「分析」39270是三个自然数的乘积，于是先将39270分解质因数，再对这些质

因数进行适当的组合，凑出题目中的三个连续自然数。由于连续自然数相互之

间比较接近，所以凑的时候也必须尽量接近。

例题6

360与一个三位数的乘积是完全平方数，这个三位数最小是多少？

「分析」完全平方数是两个相同数的乘积，那么分解后它的每个质因数的指数都

是偶数。而53236023，它不是一个平方数，它最小再乘上多少，结果就是

平方数了？

通过上面的例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处。它就像手术刀一

样，把整数解剖开来，让我们把整数的组成结构看得一清二楚。很多看似复杂的

问题，如果从分解质因数的角度来看，就会变得非常简单。

作业

1.（1）如果两个不同的质数相加等于39，那么这两个质数的乘积是多少？

（2）三个互不相同的质数相加，和为30，这三个质数的乘积是多少？

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2.自然数49、87、101、103、121中，哪些是质数？

3.请把下面的数分解质因数：（1）240、（2）1080。

4.三个连续自然数的乘积为336，则这三个数的和是多少？

5.算式1×2×3×……×35的计算结果的末尾有多少个连续的0？