cx的不定积分

不定积分

一、原函数

定义1如果对任一

Ix

，都有

)()(xfxF



或

dxxfxdF)()(

则称

)(xF

为

)(xf

在区间I上的原函数。

例如：

xxcos)(sin



，即

xsin

是xcos的原函数。

2

2

1

1

)1ln([

x

xx







，即)1ln(2xx是

21

1

x

的原函数。

原函数存在定理：如果函数

)(xf

在区间I上连续，则

)(xf

在区间I上一定

有原函数，即存在区间I上的可导函数

)(xF

，使得对任一

Ix

，有

)()(xfxF



。

注1：如果

)(xf

有一个原函数，则

)(xf

就有无穷多个原函数。

设

)(xF

是

)(xf

的原函数，则

)(])([xfCxF





，即

CxF)(

也为

)(xf

的原

函数，其中

C

为任意常数。

注2：如果)(xF与)(xG都为)(xf在区间I上的原函数，则)(xF与)(xG之

差为常数，即

CxGxF)()(

（C为常数）

注3：如果)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数，则

CxF)(

（

C

为任意

常数）可表达)(xf的任意一个原函数。

二、不定积分

定义2在区间I上，)(xf的带有任意常数项的原函数，成为)(xf在区间I

上的不定积分，记为dxxf)(

。

如果)(xF为)(xf的一个原函数，则

CxFdxxf)()(

，（

C

为任意常数）

x

y

o

)(xFy

CxFy)(

三、不定积分的几何意义

不定积分的几何意义如图5—1所示：

图5—1

设

)(xF

是

)(xf

的一个原函数，则

)(xFy

在平面上表示一条曲线，称它为

)(xf

的一条积分曲线．于是

)(xf

的不定积分表示一族积分曲线，它们是由

)(xf

的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成

的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，

其斜率都等于)(xf．

在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式

CxFy)(

，

再从中确定一个满足条件

00

)(yxy(称为初始条件)的原函数)(xyy．从几

何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(

00

yx的积分曲线．

四、不定积分的性质（线性性质）

[()()]()()fxgxdxfxdxgxdx

()()kfxdxkfxdxk（为非零常数）

五、基本积分表

∫adx=ax+C，a和C都是常数

∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

∫1/xdx=ln|x|+C

∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

∫e^xdx=e^x+C

∫cosxdx=sinx+C

∫sinxdx=-cosx+C

∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C

∫tanxdx=-ln|cosx|+C=ln|cx|+C

∫cxdx=ln|cot(x/2)|+C

=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C

=-ln|cx-tanx|+C=ln|cx+tanx|+C

∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C

=(1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C

=-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+C

∫c^2(x)dx=tanx+C

∫csc^2(x)dx=-cotx+C

∫cxtanxdx=cx+C

∫cscxcotxdx=-cscx+C

∫dx/(a^2+x^2)=(1/a)arctan(x/a)+C

∫dx/√(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C

∫dx/√(x^2+a^2)=ln|x+√(x^2+a^2)|+C

∫dx/√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C

∫√(x^2-a^2)dx=(x/2)√(x^2-a^2)-(a^2/2)ln|x+√(x^2-a^2)|+C

∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln|x+√(x^2+a^2)|+C

∫√(a^2-x^2)dx=(x/2)√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsin(x/a)+C

六、第一换元法（凑微分）

设

)(uF

为

)(uf

的原函数，即

)()(ufuF



或CuFduuf)()(

如果

)(xu

，且

)(x可微，则

)()]([)()()()()]([xxfxufxuFxF

dx

d













即

)]([xF为

)()]([xxf

的原函数，或

)(

)(

])([])([)]([)()]([

xu

xu

duufCuFCxFdxxxf













因此有

定理1设)(uF为)(uf的原函数，

)(xu

可微，则

)(

])([)()]([

xu

duufdxxxf









(2-1)

公式(2-1)称为第一类换元积分公式。

()

[()]()[()]()[()]

ux

fxxdxfxdxfudu











11

()()()[()]

uaxb

faxbdxfaxbdaxbfudu

aa



用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时

为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出

部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。

常用凑微分公式

1

()dxdaxb

a

2

1

()

2

xdxdx

2

11

()dxd

x

x



1

lndxdx

x



1

(2)dxdx

x

xxedxde

cossinxdxdxsincosxdxdx

2

2

1

ctan

cos

dxxdxdx

x

2

2

1

csccot

sin

dxxdxdx

x



2

1

arctan

1

dxdx

x



2

arcsin

1

dx

dx

x





22

1

dx

xa



111

()

2

dx

xaxa

a







111

()()

2

dxadxa

xaxa

a















1

(lnln)

2

xaxaC

a



1

(lnln)

2

xaxaC

a



22

1

dx

ax



1

ln

2

xa

C

xa

a







配方

22

dx

ax

2

1

x

d

a

x

a











arcsin(0)

x

Ca

a



22

1

dx

ax



22

1

[1()]

dx

x

a

a







2

11

()

1()

x

d

x

aa

a







1

arctan

x

C

aa



七、第二换元法

定理2设

)(tx

是单调的可导函数，且

0)(



t，又设

)()]([ttf

具有原

函数，则

)(

)()]([)(

xt

dtttfdxxf









(2-2)

其中

)(xt

为

)(tx

的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。

例1求dxxa22，

)0(a

解：令taxsin，

22



t，则

taxacos22，

tdtadxcos

，因此有

Cxax

a

x

C

a

xa

a

xa

a

x

Ctt

a

t

Ct

a

t

dt

t

tdt

tdtatadxxa



























22

2

2222

22

22

2

22

22

2

1

arcsin

2

a

2

arcsin

2

a

cossin

22

a

2sin

42

a

2

2cos1

a

cosa

coscos

例2求

22xa

dx

，

)0(a

解：令taxtan，

22



t

，则

taxac22，tdtadx2c，因此有

1

22

22

2

22

||ln||ln

|tanc|ln

c

c

c

1

CaxxC

a

x

a

xa

Ctt

tdt

tdta

ta

xa

dx



















其中aCCln

1

。用类似方法可得

Caxx

ax

dx





||ln22

22

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会

用。主要有以下几种：

achtxtaxtaxax

ashtxtaxtaxax

taxtaxxa







；；：

；；：

；：

cscc)3(

cottan)2(

cossin)1(

22

22

22

也奏效。，有时倒代换当被积函数含有

：

：

t

xcbxaxx

t

dcx

bax

dcx

bax

tbaxbax

m

nn

nn

1

)6(

)5(

)4(

2













八、分部积分法

设)(xuu，)(xvv，则有vuvuvu











)(

或dvuduvvud)(

两端求不定积分，得









dxvudxuvdxvu)(

或dvuduvvud)(

即duvvudvu

(3-1)

或





dxuvvudxvu

(3-2)

公式(3-1)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成

不定积分。具体选取、时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

例1．求xdxxcos

解：xxdxdxxsincos

Cxxx

xdxxx





cossin

sinsin

例2．求dxexx2

解：xxdexdxex22

Cexeex

dxexeex

dxxeex

dxeex

xxx

xxx

xx

xx















22

)(2

2

2

2

2

22

注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）

乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u，其余部

分取为dv。

例3求xdxxln

解：2ln

2

1

lnxdxxdxx





Cxxx

Cxxx

xdxxx

xdxxx



























22

22

2

22

4

1

ln

2

1

2

1

ln

2

1

ln

2

1

lnln

2

1

例4求xdxxarctan

解：2arctan

2

1

arctanxdxxdxx



Cxxxx

dx

x

xx

dx

x

x

xx

xdxxx











































arctanarctan

2

1

)

1

1

1(arctan

2

1

1

arctan

2

1

arctanarctan

2

1

2

2

2

2

2

2

22

注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂

函数与反三角函数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为u，其

余部分取为dv。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在dd

中，、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。，会出现循环，注意

，

，

，









)3(

sin,cos)3(

)(arcsin,arctan,ln)2(

cos,sin,)()1(

xxe

xPxxx

axaxexP

ax

m

ax

m







九、几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分

分式之和。

有理函数

)(

)(

xQ

xP

先化为多项式和真分式

)(

)(*

xQ

xP

之和，再把

)(

)(*

xQ

xP

分解为若干

个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现





n

nxa

dx

I

)(22

时，记得用递推公式：

1

21222)1(2

32

))(1(2











n

n

n

I

na

n

axna

x

I）

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

































2

tan1

2

tan1

cos

2

tan1

2

tan2

sin

2

2

2

x

x

x

x

x

x

化为有理函数可用变换

2

tan

)cos,(sin

)cos,(sinx

tdx

xxQ

xxP

的积分，但由于计算较烦，

应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成

x

x

x

x

sin

cos

cos

sin

或。再用待定系数

xbxa

xbxaBxbxaA

sincos

)sin'cos'()sincos(





来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

(3)简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现xx1和时，可令tx2tan；

同时出现xx1和时，可令tx2sin；同时出现xxarcsin12和时，可令

x=sint；同时出现xxarccos12和时，可令x=cost等等。

参考文献

1.百度文库求不定积分的方法及技巧

2.百度文库高职不定积分教案

3.百度文库不定积分的基本公式

4.百度文库不定积分的常用求法

5.百度文库不定积分解法总结