阿基米德三角形

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阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。

阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封

闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。

阿基米德三角形的性质：

设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为

底边AB的中点，Q为两条切线的交点。

性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。

性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶

点Q的轨迹为。

性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。

性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三

角形的底边过定

点。

性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。

性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线

的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。

性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。

性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线

交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。

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性质9|AF|·|BF|=|QF|2.

性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。

性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的

倍。

高考题中的阿基米德三角形

例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:Cyx的焦点为F，

动点P在直线:20lxy上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，

且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明∠PFA=∠PFB.

解：（1）设切点A、B坐标分别为22

01110

(,)(,)(()xxxxxx和，

∴切线AP的方程为：2

00

20;xxyx

切线BP的方程为：2

11

20;xxyx

解得P点的坐标为：01

01

,

2PP

xx

xyxx

所以△APB的重心G的坐标为，

所以234

pGG

yyx，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方

程为：

（2）方法1：因为22

01

000111

111

(,),(,),(,).

4244

xx

FAxxFPxxFBxx

由于P点在抛物线外，则||

x

y

O

A

B

P

Fl

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同理有

2

01

101101

222

11

111

()()

2444

cos,

1

||||||

||()

4

xx

xxxxxx

FPFB

BFP

FPFBFP

FPxx

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当101000

0,,0,0,xxxxxy时由于不妨设则所以P点坐标为1(,0)

2

x，

则P点到直线AF的距离为：2

1

1

1

1

1

||

1

4

;:,

24

x

x

dBFyx

x

而直线的方程

即2

111

11

()0.

44

xxxyx

所以P点到直线BF的距离为：

22

111

11

1

2

2

222

1

11

||

11

|()|()

||

42442

12

1

()()

4

4

xxx

xx

x

d

x

xx

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当10

0xx时，直线AF的方程：2

0

2

000

0

1

111

4

(0),()0,

4044

x

yxxxxyx

x

即

直线BF的方程：2

1

2

111

1

1

111

4

(0),()0,

4044

x

yxxxxyx

x

即

所以P点到直线AF的距离为：

同理可得到P点到直线BF的距离10

2

||

2

xx

d，因此由d

1

=d

2

，可得到∠

AFP=∠PFB

例2(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、

B是抛物线上的两动点，且AF

→

＝λFB

→

（λ＞0）．过A、B两点分别作抛

物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明FM

→

·AB

→

为定值；

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（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF

→

＝λFB

→

，

即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，









－x

1

＝λx

2

①

1－y

1

＝λ(y

2

－1)②

将①式两边平方并把y1＝

1

4

x12，y2＝

1

4

x22代入得y1＝λ2y2③

解②、③式得y1＝λ，y2＝

1

λ

，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，

抛物线方程为y＝

1

4

x2，求导得y′＝

1

2

x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y＝

1

2

x1(x－x1)＋y1，y＝

1

2

x2(x－x2)＋y2，

即y＝

1

2

x1x－

1

4

x12，y＝

1

2

x2x－

1

4

x22．

解出两条切线的交点M的坐标为(

x

1

＋x

2

2

，

x

1

x

2

4

)＝(

x

1

＋x

2

2

，－

1)．……4分

所以FM

→

·AB

→

＝(

x

1

＋x

2

2

，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝

1

2

(x22－x12)－

2(

1

4

x22－

1

4

x12)＝0

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所以FM

→

·AB

→

为定值，其值为0．……7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝

1

2

|AB||FM|．

|FM|＝(

x

1

＋x

2

2

)

2

＋(－2)

2

＝

1

4

x

1

2

＋

1

4

x

2

2

＋

1

2

x

1

x

2

＋4

＝y

1

＋y

2

＋

1

2

×(－4)＋4＝λ＋

1

λ

＋2＝λ＋

1

λ

．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以

|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋

1

λ

＋2＝(λ＋

1

λ

)2．

于是S＝

1

2

|AB||FM|＝(λ＋

1

λ

)3，

由λ＋

1

λ

≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

例3（2007江苏卷，理19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴

正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂

直于x轴的直线，分别与线段AB与直线:lyc交于

,PQ，

（1）若

2OAOB

，求c的值；（5分）

（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的

切线；（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

解：（1）设过C点的直线为ykxc，所以20xkxcc，即20xkxc，

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设A1122

,,,xyBxy，

OA

=11

,xy，

22

,OBxy，因为

2OAOB

，所以

1212

2xxyy，即1212

2xxkxckxc，22

121212

2xxkxxkcxxc

所以222ckckckc，即220,cc所以21cc舍去

（2）设过Q的切线为111

yykxx，/2yx，所以11

2kx，即

22

11111

222yxxxyxxx，它与yc的交点为M1

1

,

22

x

c

c

x

，又

2

1212,,

2222

xxyy

kk

Pc，所以Q,

2

k

c，因为12

xxc,所以2

1

c

x

x

，所

以M12,,

222

xx

k

cc,所以点M与点Q重合，也就是QA为此抛物线

的切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q,

2

k

c，因为PQx轴，所

以,

2P

k

Py

因为12

22

xx

k，所以P为AB的中点。

例4（2008山东卷，理22题）如图，设抛物线

方程为22(0)xpyp，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，

切点分别为AB，．

（Ⅰ）求证：AMB，，三点的横坐标成等差数列；

（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p，时，410AB．求此时抛物线的方程；

（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线

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22(0)xpyp上，其中，点C满足

OCOAOB

（O为坐标原点）．若存在，

求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）证明：由题意设22

12

12120

(2)

22

xx

AxBxxxMxp

pp

，，，，，，．

由22xpy得2

2

x

y

p

，得x

y

p

，

所以1

MA

x

k

p

，2

MB

x

k

p

．

因此直线MA的方程为1

0

2()

x

ypxx

p

，直线MB的方程为2

0

2()

x

ypxx

p

．

所以2

11

10

2()

2

xx

pxx

pp

，①2

22

20

2()

2

xx

pxx

pp

．②

由①、②得12

1202

xx

xxx，

因此12

02

xx

x，即012

2xxx．

所以AMB，，三点的横坐标成等差数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当0

2x时，

将其代入①、②并整理得：

所以12

xx，是方程22440xxp的两根，

因此12

4xx，2

12

4xxp，

又

22

21

120

21

22

2AB

xx

xxx

pp

k

xxpp

，所以2

AB

k

p

．

由弦长公式得222

1212

2

4

1()411616ABkxxxxp

p

．

第8页

又410AB，所以1p或2p，

因此所求抛物线方程为22xy或24xy．

（Ⅲ）解：设33

()Dxy，，由题意得1212

()Cxxyy，，

则CD的中点坐标为123123

22

xxxyyy

Q，，

设直线AB的方程为0

11

()

x

yyxx

p

，

由点Q在直线AB上，并注意到点1212

22

xxyy

，也在直线AB上，代入得

0

33

x

yx

p

．

若33

()Dxy，在抛物线上，则2

3303

22xpyxx，

因此3

0x或30

2xx．即(00)D，或2

0

0

2

2

x

Dx

p

，．

（1）当0

0x时，则120

20xxx，此时，点(02)Mp，适合题意．

（2）当0

0x，对于(00)D，，此时22

12

0

2

2

xx

Cx

p

，，

22

12

0

2

2CD

xx

p

k

x

22

12

0

4

xx

px

，

又0

AB

x

k

p

，ABCD，所以2222

01212

2

0

1

4

4ABCD

xxxxx

kk

ppx

p

，

即222

12

4xxp，矛盾．

对于2

0

0

2

2

x

Dx

p

，，因为22

12

0

2

2

xx

Cx

p

，，此时直线CD平行于y轴，

又00

AB

x

k

p

，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，

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所以0

0x时，不存在符合题意的M点．

综上所述，仅存在一点(02)Mp，适合题意．

例5（2008江西卷，理21题）设点00

,Pxy在直

线,01xmymm上，过点P作双曲线

221xy的两条切线PAPB、，切点为AB、，定点

M(

1

m

，0)．

（1）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所

在的曲线方程；

（2）求证：AMB、、三点共线．

证明：（1）设1122

(,),(,)AxyBxy，由已知得到12

0yy，且22

11

1xy，22

22

1xy，

设切线PA的方程为：11

()yykxx由11

22

()

1

yykxx

xy

得

从而22222

1111

4()4(1)()4(1)0kykxkykxk,

解得1

1

x

k

y

因此PA的方程为：11

1yyxx同理PB的方程为：22

1yyxx

又0

(,)Pmy在PAPB、上，所以101

1yymx，202

1yymx

即点1122

(,),(,)AxyBxy都在直线0

1yymx上

又1

(,0)M

m

也在直线0

1yymx上,所以三点AMB、、共线

（2）垂线AN的方程为：11

yyxx，

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由11

0

yyxx

xy

得垂足1111(,)

22

xyxy

N，

设重心(,)Gxy

所以11

1

11

1

11

()

32

1

(0)

32

xy

xx

m

xy

yy

解得1

1

3

93

4

1

93

4

xy

m

x

yx

m

y

由22

11

1xy可得11

(33)(33)2xyxy

mm

即22

12

()

39

xy

m

为重心G所在

曲线方程.