球体转动惯量

第３５卷第４期

２０１６年１２月

东华理工大学学报（社会科学版）

ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＡＳＴ ＣＨＩＮＡ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ

Ｖ０１．３５ Ｎｏ．４

Ｄｅｅ．２０１６

以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取

饶黄云， 赵鹏， 曾省辉， 黄 山

（东华理工大学抚州师范学院，江西抚州３４４０００）

摘要：恰当选取微元，是应用微元法计算刚体转动惯量的关键。通过分析均质球体转动惯量计算中微元

的选取的例子，阐明合适选取微元，必须建立好物理模型，如此，不仅计算简便，重要的是从不同角度加深了

对物理概念的理解，同时也促进对微积分的应用的再认识。

关键词：物理模型；转动惯量；均质球体；微元

中图分类号：Ｇ６４２．４２３文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－３５１２（２０１６）０４－０３８６－０３

饶黄云，赵鹏，曾省辉，等．以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取［Ｊ］．东华理工大学学报：社会科学

版，２０１６，３５（４）：３８６—３８８．

Ｒａｏ Ｈｕａｎｇ—ｙｕｎ，Ｚｈａｏ Ｐｅｎｇ，Ｚｅｎｇ Ｓｈｅｎｇ—ｈｕｉ，ｅｔ ａ１．Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔａｋ—

ｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｉｎｅｒｔｉａ ｏｆ ｅｖｅｎ ｓｐｈｅｒｅ ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏ—

ｇＹ（Ｓｏｃｉａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ），２０１６，３５（４）：３８６－３８８．

微元法是物理学分析、解决物理问题中常见

的一种方法，也是从部分到整体的思维方法。微元

法是指在处理问题时，先对事物的极小部分（微元）

分析人手，探求每个微元遵循的相同规律，然后再

进行必要的物理思想和数学方法处理，以达到解决

事物整体目的的方法。其主要思想就是“化整为

零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。微

元法在物理学各门课程中如力学、电磁学、光学等

方面都有着广泛的应用¨ ｊ。掌握微元法，对于培

养提高学生分析、解决物理问题的能力意义重大。

在刚体力学研究中，转动惯量是一个非常重要

的物理量，它是刚体转动惯性大小的量度，其作用

可类比平动中的物体的质量。现有教材 和文

献 ’ 介绍了各种计算转动惯量的方法。采用微积

分来求解物体的转动惯量实际上就是微元法思想

的应用过程。本文以微元的选取为主线，给出均匀

球体转动惯量的几种不同计算方法，其最终结果是

一致的。

收稿日期：２０１６－０４．２１

基金项目：东华理工大学大学物理教学培育团队基金资助；东华理工大

学长江学院２０１５年立项教研课题。

作者简介：饶黄云（１９６５一），男，江西抚州人，副教授，主要从事物理教学

及量子几何研究。

１ 分别选取圆环及簿圆盘为质元

（１）先考虑一个质量为ｍ，半径为Ｒ的圆环，绕

过其中心轴的转动惯量为：

Ｊ＝ｍＲ。

（２）其次将圆盘可以看成是大小不同的圆环

叠加而成的（设面密度为ｏｒ，以下相同）。

则圆盘的转动惯量为：Ｊ＝Ｊ．ｒ ｄｍ＝ ｒ ｏｒ２ｒｒｒｄｒ

Ｉ

ｍＲ

（３）再考虑均匀球体可以看成是大小不同的

圆盘叠加而成（设Ｐ为体密度，以下相同）。半径为

ｒ、厚度为 的薄圆盘微元对轴的转动惯量为：

ｄＪ＝ ２ｄｍ，ｄｍ＝ｐｃｒｒ ｄｚ ｐ７ｒ（Ｒ 一ｚ ）ｄｚ。

则均匀球体的转动惯量为：

．，＝ｆ—ｒ１ ２ｄｍ＝２ｆｌ ２ ２，

ｚ＝ Ｒ 一

。） ｄｚ＝ ｍＲ

２ 分别选取圆环带及簿球壳为质元

（１）先考虑一个质量为ｄｍ，面密度为ｏｒ，半径

第４期 饶黄云等：以计算均匀球体转动惯量为例浅谈微元的选取 ３８７

为ｒ，圆弧长为ｄｌ＝Ｒ如的圆环带（类比圆环）绕过

其中心轴的转动惯量为：

ｄＪ＝１．２ｄｍ（ｄｍ＝ｏ＇２ｚｒｒｄｌ＝ ２７ｒＲｓｉｎ Ｒｄ ），

（２）其次将簿球壳可以看成是大小不同的圆

环带叠加而成的

．，＝ ｄｌ，＝１．２ｄｍ＝ｏ＇２￣ｒＲ ｆｓｉｎ ｄ ＝

ｍ

（３）再考虑球体可以看成是大小不同的簿球

壳叠加而成的。

则均匀球体的转动惯量为：

Ｊ＝Ｊ．ｄＪ＝ｆ了２ ｒ２ｄｍ＝ｆ丁２ ｒ２ 仃ｒ２ ＝

ｍＲ。

３ 直接选取基本体积元为质元

在球面坐标系中，选取任意一体积元作为质

元。体积元的体积为：

ｄＶ＝ｒｓｉｎ￣ｏｄＯ・ｒｄ ・ｄｒ，ｄｍ＝ｐｄＶ

则均匀球体的转动惯量为：

Ｊ＝＼ｄＪ＝＼ ｄｍ＝ｐｆ？ｄｒ＼ｄ８＼ｓｉｎ３‘Ｐｄ‘Ｐ＝

ｍ

４ 利用转动－质量定义和对称性来计算

在直角坐标系中，取球心在坐标原点上，均匀

球体对各坐标轴的转动惯量之和为：

＋ ＋ ＝』（ｙ ＋ｚ ）ｄ，ｎ＋ （ ＋ｚ ）ｄｍ＋

＋ｙ２）ｄｍ＝２ｆｒ２ｄｍ

根据对称性， ＝Ｌ＝，ｚ，

有，３Ｉ，＝２ Ｆ ｄｍ

则均匀球体的转动惯量为：

Ｉ＝Ｉ ｚ＝ ＼ｒ２ｄｍ＝ ２＼ ｐ４ ｄｒ： ２ ｍ

５小结

物理学长期发展形成的科学思想和方法对整

个自然科学也包括社会科学的研究发展和进步具

有较大的影响和促进作用。从一定意义上说，学生

素质和创新能力的高低，主要体现在掌握科学思想

和方法的多少及应用方法的灵活、熟练程度 Ｊ。在

上述均匀球体转动惯量的求解方法一中，我们分别

选取圆环和薄圆盘作为微元；方法二中，我们分别

选取圆环带（类似圆环）和薄球壳作为微元；方法三

在球坐标系中，直接选取基本体积质元为微元；尤

其在方法四中，我们巧妙利用了转动惯量定义和对

称性来计算。通过比较上述求解过程，进一步研究

表明，物理模型的确立和微元的合适选取是解决问

题的关键 Ｊ。这样，不仅可以简化计算过程，更重

要的是从不同的角度深化了对物理概念及模型的

本质理解，同时也促进对微积分的应用的再认识。

当前国家积极提倡对大学生进行创新创业教育培

养，因此，我们在物理教学中，更应注意结合具体问

题的分析和求解，引导学生主动学习、开发智力，开

拓思维，并为学生提供全面发展的空间。还应不断

探索新的教学方法，采用新的教学手段，以提高教

学质量，培养国家需要的创新创业人才 。

［参考文献］

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民族师专学报，２００２（１２）：２８－２９．

［２］覃铭．微元法在力学中的应用［Ｊ］．广西右江民族师专

学报，２００２（１２）：２８－２９．

［３］张桂琴．微元法在电磁学中的应用［Ｊ］．曲靖师范学院

学报，２００２（３）：３Ｏ一３３．

［４］吴百诗．大学物理（新版）［Ｍ］．北京：科学出版社２００１，

１８８． ．

［５］周衍柏．理论力学教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社

１９８６：１７６－１８４．

［６］楼智美．巧算常见均匀旋转体对母线的转动惯量［Ｊ］．大

学物理，２００３，２２（１ １）：２６－２７．

［７］秦瑶．常见均质刚体的转动惯量的求法讨论［Ｊ］．大学物

理，２００２，２１（２）：３９４１．

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透［Ｊ］．东华理工大学：社会科学版，２００７，２６（１）：８０－

８３．

［９］黎定国，邓玲娜，刘义保，等．大学物理中微积分思想和

方法教学浅谈［Ｊ］．大学物理，２００５，２４（１２）：５１－５４．

［１０］饶黄云．“磁场与电磁波”课程的教学研究［Ｊ］．东华

理工大学：社会科学版，２０１Ｏ，２９（１）：７１－７３．

３８８ 东华理工大学学报（社会科学版） ２０１６年

Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ ｔｈｅ Ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ Ｔｈｒｏｕｇｈ Ｔａｋｉｎｇ

ｔｈｅ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｏｔａｔｉｏｎａｌｌ ｎｅｒｔｉａ ｏｆ Ｅｖｅｎ Ｓｐｈｅｒｅ ｆｏｒ Ｅｘａｍｐｌｅ

ＲＡＯ Ｈｕａｎｇ－ｙｕｎ， ＺＨＡＯ Ｐｅｎｇ， ＺＥＮＧ Ｓｈｅｎｇ—ｈｕｉ，ＨＵＡＮＧ Ｓｈａｎ

（Ｆｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＥａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｚｈｏｕ ３４４０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｏｎａｌｉｎｅｒｔｉａ ｏｆ ｒｉｇｉｄ ｂｏｄｉｅｓ

ｗｉｔｈ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｏｆ ｓｅｌｅｃｔｉｎｇ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ

ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｉｎｅｒｔｉａ ｏｆ ｅｖｅｎ ｓｐｈｅｒｅ，ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｓｔａｔｅｓ，ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｍａｋｅ ａ ｐｒｏｐｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ，

ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｍｕｓｔ ｂｅ ｆｉｒｓｔ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｃａｓｅ，ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ ｗｉｌｌ ｂｅｃｏｍｅ ｅａｓｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｉｍｐｏｒ—

ｔａｎｔ ｉｓ ｔｈａｔ ｉｔ ｗｉｌｌ ｄｅｅｐｅｎ ｔｈｅ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ ｏｆ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｆｒｏｍ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ａｎｇｌｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｍｃｔｅ ｔｈｅ ｒｅｃｏｇｎｉｔｉｏｎ

ｏｎ ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｃａｌｃｕｌｕｓ．

Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ；ｃｏｎｓｔａｎｔ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｑｕａｎｔｉｔｙ；ｅｖｅｎ ｓｐｈｅｒｅ；ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｉｍａｌ ｅｌｅｍｅｎｔｓ

（上接第３４７页）

“Ｘｉｅ’’ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ ａｎｄ Ｃｏｒｒｅｃｔ Ｉ ｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｉｔｓ Ｒｅｌａｔｅｄ Ｔｅｒｍｓ

ＳＵＮ Ｓｈｕ－ｊｕａｎ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｈｕｍａｎｉｔｉｅｓ ａｎｄ Ａｒｔｓ，Ｎａｎｃｈａｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｃｈａｎｇ ３３００９９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：“Ｊｉｘｉｅ”、‘‘Ｍａｎｘｉｅ”、“Ｓｈｕｘｉｅ’’、“Ａｎｘｉｅ”、“Ｆａｎｇｘｉｅ”、“Ｑｉｎｇｍｉａｏｄａｎｘｉｅ”、“Ｙｉｘｉｅ’’ａｎｄ“Ｘｉｅｚｈｅｎ’’ａｒｅ

ｍｉｓｉｎｔｅｒｐｒｅｔｅｄ ｂｙ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ．Ｉｎ ｆａｃｔ，“Ｊｉｘｉｅ”ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｎｓｅ ｏｆ ｂｅｓｔ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ；“Ｍａｎ ｘｉｅ’’ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ

ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｃａｓｕａｌ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ａｎｄ ｓｔｒｏｎｇ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ；“Ｓｈｕｘｉｅ’’ｉｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ；“Ａｎｘｉｅ”ｉｎｃｌｕｄｅｓ ａｎ—

ｏｔｈｅｒ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｓｅｃｒｅｔ ｅｘｐｒｅｓｓｉｎｇ；“Ｆａｎｇｘｉｅ”ｉｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｉｍｉｔａｔｉｏｎ；“Ｑｉｎｇｍｉａｏｄａｎｘｉｅ”ｉｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ

ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｗｉｔｈｏｕｔ ｍｕｃｈ ｅｆｆｏｒｔ；‘‘Ｙｉｘｉｅ”ｉｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｉｎ ａｃｃｏｒｄａｎｃｅ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎａｌ ａｎｄ

“Ｘｉｅｚｈｅｎ”ｉｓ ｔｈｅ ｍｅａｎｉｎｇ ｏｆ ｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｆｅｅｌｉｎｇｓ．

Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｄｉｃｔｉｏｎａｒｙ；“Ｘｉｅ”ｓｅｃｔｉｏｎ；ｍｉｓｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ

（上接第３５７页）

“Ｎｅｗ”ｏｒ“ＯＩｄ”Ｅｌｅｍｅｎｔａｌ Ｍｕｓｉｃ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ

ｌｖ Ｈｅ，ＺＨＵ Ｈｏｕ—ｐｅｎｇ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＡｒｔ，Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｆｕｚｈｏｕ ３４４０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：“Ｅｌｅｍｅｎｔａｌ”ｉｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｒｆｆ ｍｕｓｉｃ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｓｙｓ．

ｔｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｗｏｒｌｄ．Ｏｒｆｆ ｍｕｓｉｃ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｏｐｅｒｌｙ ｃａｌｌｅｄ‘‘ｅｌｅｍｅｎｔａｌ ｍｕｓｉｃ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ”．“Ｅｌｅｍｅｎｔａｌ

ｍｕｓｉｃ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ”ｃｏｍｐｌｉｅｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｈｕｍａｎｉｓｍ ａｎｄ ｒｅｔｕｒｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｈｕｍａｎｉｔｙ ａｎｄ ｍｕｓｉｃ．Ｉｔ ｃｏｎ．

ｎｅｃｔｓ ｔｈｅ ｍｕｓｉｃ ｏｂｊｅｃｔ ｉｔｓｅｌｆ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｏｃｉａｌ ｅｘｐｅｒｉｅｎｃｅ，ｃｕｌｔｕｒａｌ ｓｅｔｔｉｎｇｓ，ｍｅｎｔａｌ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ａｎｄ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ

ｌｅｖｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｈｕｍａｎｉｔｙ，ｅｍｐｈａｓｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ａｃｔｉｖｅ ｐａｒｔｉｃｉｐａｔｉｏｎ ｉｎ ｍｕｓｉｃ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｎａｔｕｒａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｆａｃｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ

“Ｅｕｒｏｐｅａｎ—ｃｅｎｔｒａｌｉｚｅｄ”ｔｒｅｎｄ ｉｎ ｍｕｓｉｃ ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｅｓｓｅｎｃｅ ｂｅｈｉｎｄ ｔｈｅ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ

，

ａｉ．

ｍｉｎｇ ａｔ ｌｅａｄｉｎｇ ｔｈｅ ｍｕｓｉｃ ｅｄｕｃａｔｏｒｓ ｔｏ ｒｅｌｏｃａｔｅ ｔｈｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｉｄｅｎｔｉｔｙ ａｎｄ ａｒｏｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｃｈｉｎｅｓｅ ｎａｔｉｏｎ’ｓ ｃｕｌｔｕｒａｌ

ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ ａｎｄ ｃｕｈｕｒａｌ ａｗａｒｅｎｅｓｓ．

Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ—ｅｌｅｍｅｎｔａｌ：ｅｌｅｍｅｎｔａｌ：ｅｌｅｍｅｎｔａ１ ｍｕｓｉｃ ｅｄｕｃａｔｉ０ｎ