八次函数

二次函数解析式的八种求法专题讲解

二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系

数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应

的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：

一、定义型：

此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a≠0；2、x的最高

次数为2次．

例1、若y=(m2+m)xm

2–2

m－1是二次函数，则m=．

解：由m2+m≠0得:m≠0，且m≠－1

由m2–2m–1=2得m=－1或m=3，∴m=3．

二、开放型

此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一．

例2、(1)经过点A（0，3）的抛物线的解析式是．

分析：根据给出的条件，点A在y轴上，所以这道题只需满足cbay2中的

C=3，且a≠0即可∴32y（注：答案不唯一）

三、平移型：

将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先

将已知函数的解析是写成顶点式y=a(x–h)2+k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在

x–h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其

平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大

小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．

例3、二次函数

2

5

3

2

1

2y的图像是由2

2

1

y的图像先向平移

个单位，再向平移个单位得到的．

解：



2

5

3

2

1

2y=23

2

1

2，

二次函数

2

5

3

2

1

2y的图像是由2

2

1

y的图像先向左平移3个单

位，再向下平移2个单位得到的．

这两类题目多出现在选择题或是填空题目中

四、一般式

当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式cbay2，转化成一个三元

一次方程组，以求得a，b，c的值；

例4、图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5），求二次函数的解析式：

解：设二次函数的解析式为：cba2，依题意得：

4

0

542

abc

abc

abc

















解得：

















3

2

1

c

b

a

322xxy

五、顶点式

若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式khxay2．这顶点坐标

为（h，k），对称轴方程x=h，极值为当x=h时，y极值=k来求出相应的系数；

例5、图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）求二次函数的解析式：

解：设二次函数解析式为：y=a(x–h)2+k，图象顶点是（－2，3）h=－2，k=3，

依题意得：5=a(－1+2)2+3，解得：a=2。y=2(x+2)2+3=11822xx

六、两根式

已知图像与x轴交于不同的两点

12

00xx，，，，设二次函数的解析式为



21

xxxxay，根据题目条件求出a的值．

例6、图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－

2

9

），求二次函数的

解析式：

解：设二次函数解析式为：y=a(x–

1

)(x–

2

)．

图像与x轴交于（－2，0），（4，0）两点，

1

=－2，

2

=4

依题意得：－

2

9

=a(1+2)(1–4)，a=

2

1

y=

2

1

(x+1)(x–4)=2

2

3

2

1

2x．

七、翻折型（对称性）：

已知一个二次函数

cba2，要求其图象关于

x

轴对称（也可以说沿

x

轴翻

折）；

y

轴对称及经过其顶点且平行于

x

轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转

180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y=a(x–h)2+k的形式．

（1）关于

x

轴对称的两个图象的顶点关于

x

轴对称，两个图象的开口方向相反，即

a

互为

相反数．

（2）关于

y

轴对称的两个图象的顶点关于

y

轴对称，两个图象的形状大小不变，即

a

相同．

（3）关于经过其顶点且平行于

x

轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方

向相反，即

a

互为相反数．

例7、已知二次函数

5632xxy

，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图

象关于

x

轴对称；（2）图象关于

y

轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于

x

轴的直线

对称．

解：

5632xxy

可转化为

2)1(32xy

，据对称式可知

①图象关于

x

轴对称的图象的解析式为

2)1(32xy

，

即：

5632xxy

．

②图象关于

y

轴对称的图象的解析式为：

2)1(32xy

，即：

5632xxy

；

③图象关于经过其顶点且平行于

x

轴的直线对称的图象的解析式为

2)1(32xy

，即

1632xxy

．

八、数形结合

数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题

转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何

知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．

例8、如图，已知抛物线cby2

7

1

和x轴正半轴交与A、B两点，AB=4，P

为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO=45，

3

7

cotPBO．1求P点的坐标；

2求抛物线的解析式．

y

MAB

Ox

P

解:设P的坐标为(－1，y)，∵P点在第三象限∴y＜0，

过点P作PM⊥X轴于点M．点M的坐标为(－1，0)

|BM|=|BA|+|AM|

∵∠PAO=45∴|PM|=|AM|=|y|=－y

∵

3

74

cot







y

y

PM

BM

PBO∴y=－3

∴P的坐标为(－1，－3)∴A的坐标为(2，0)

将点A、点P的坐标代如函数解析式



















cb

cb

7

1

3

2

7

4

0

解得：

8

7

b；

12

7

c

∴抛物线的解析式为：2

1812

777

y．