一个元一个黾

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一元一次方程的定义及解法

方程定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子

都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方

程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a0）。

方程简介

一元一次方程(linearequationinone）通过化简，只含有一

个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式，叫

一元一次方程。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a0）。

一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式。一元指

方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知

数的系数不为0。我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是

已知数，并且a0）叫一元一次方程的标准形式。这里a是未

知数的系数，b是常数，x的次数必须是1。即一元一次方程

必须同时满足4个条件：（1）它是等式；（2）分母中不含有

未知数；（3）未知数最高次项为1；(4)含未知数的项的系数

不为0。

方程一词来源于我国古算术书《九章算术》。在这本著作中，

已经会列一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数

通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，

方程一直是代数的核心内容。

详细内容

合并同类项

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1.依据：乘法分配律2.把未知数相同且其次数也相同的相合

并成一项；常数计算后合并成一项3.合并时次数不变，只是

系数相加减。

移项

1.含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的

项移到右边。2.依据：等式的性质3.把方程一边某项移到另

一边时，一定要变号。性质

性质

等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同

一个整式，等式仍然成立。等式的性质二:等式两边同时扩

大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。等式的性质

三：等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。解方程

都是依据等式的这三个性质等式的性质一:等式两边同时加

一个数或减同一个数，等式仍然成立

解法步骤

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一般解

法：1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不

含分母的项也要乘）；2.去括号：先去小括号，再去中括号，

最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）3.

移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到

方程的另一边；移项要变号4.合并同类项：把方程化成

ax=b(a0)的形式；5.系数为成1：在方程两边都除以未知数

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的系数a，得到方程的解x=b/a.同解方程如果两个方程的解

相同，那么这两个方程叫做同解方程。方程的同解原理：⒈

方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与

原方程是同解方程。⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0

的数所得的方程与原方程是同解方程。做一元一次方程应用

题的重要方法：⒈认真审题（审题）⒉分析已知和未知量⒊

找一个合适的等量关系⒋设一个恰当的未知数⒌列出合理

的方程（列式）⒍解出方程（解题）⒎检验⒏写出答案（作

答）ax=b解：当a0，b=0时，ax=0x=0当a0时，x=b/a。当

a=0，b=0时，方程有无数个解(注意：这种情况不属于一元

一次方程，而属于恒等方程）当a=0，b0时，方程无解例：

（3x+1）/2-2=（3x-2）/10-（2x+3）/5去分母（方程两边

同乘各分母的最小公倍数）得，

5(3x+1)-102=(3x-2)-2(2x+3)去括号得，

15x+5-20=3x-2-4x-6移项得，

15x-3x+4x=-2-6-5+20合并同类项得，

16x=7系数化为1得，

x=7/16。字母公式

a=ba+c=b+ca-c=b-ca=bac=bca=bc(c0)=ac=bc

求根公式

由于一元一次方程是基本方程，故教科书上的解法只有上述

的方法。但对于标准形式下的一元一次方程aX+b=0可得出

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求根公式X=-(b/a)

学习实践

在小学会学习较浅的一元一次方程，到了初中开始深入的了

解一元一次方程的解法和利用一元一次方程解较难的应用

题。一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、

种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流

顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。列方

程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，

写出含有未知数的等式方程（equation)。

1.4x=242.1700+150x=24503.0.52x-(1-0.52)x=80分析实际

问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数

学解决实际问题的一种方法。

教学设计示例

教学目标

1．使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步

骤，并会列出一元一次方程解简单的应用题；2．培养学生

观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力；3．使学

生初步养成正确思考问题的良好习惯．

重点和难点

一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．

教学过程设计

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一、从学生原有的认知结构提出问题：在小学算术中，我们

学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实

际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样

解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比

较，它有什么优越性呢？为了回答上述这几个问题，我们来

看下面这个例题．例1某数的3倍减2等于某数与4的和，

求某数．(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)解

法1：(4+2)(3-1)=3．答：某数为3．(其次，用代数方法来

解，教师引导，学生口述完成)解法2：设某数为x，则有

3x-2=x+4．解之，得x=3．答：某数为3．纵观例1的这两

种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列

出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为

易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的

之一．我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示

了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，

应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示

成方程．本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等

的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．二、师

生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤

例2某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42500千克，

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这个仓库原来有多少面粉？师生共同分析：1．本题中给出

的已知量和未知量各是什么？2．已知量与未知量之间存在

着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩余重量)3．若

设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用

上述相等关系，如何布列方程？上述分析过程可列表如下：

解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，

得x-15%x=42500，所以x=50000．答：原来有50000千克面

粉．此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式

以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？(还有，原

来重量=运出重量+剩余重量；原来重量-剩余重量=运出重量)

教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与原来重量-运

出重量=剩余重量，虽形式上不同，但实质是一样的，可以

任意选择其中的一个相等关系来列方程(2)例2的解方程过

程较为简捷，同学应注意模仿．依据例2的分析与解答过程，

首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；

然后，采取提问的方式，进行反馈。最后，根据学生总结的

情况，教师总结如下：(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄

清已知量、未知量及其相互关系，并用字母(如x)表示题中

的一个合理未知数(2)根据题意找出能够表示应用题全部含

义的一个相等关系．(这是关键一步)；(3)根据相等关系，

正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程

两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏

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也不能将一个条件重复利用等；(4)求出所列方程的解；(5)

检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检

验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义。（6）

最好能用计算器再进行一次验算。