椭圆离心率公式

离心率的五种求法

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离心率的五种求法

椭圆的离心率10e，双曲线的离心率1e，抛物线的离心率1e．

一、直接求出

a

、

c

，求解

e

已知圆锥曲线的标准方程或

a

、

c

易求时，可利用率心率公式

a

c

e来解决。

例

1

：已知双曲线12

2

2

y

a

x

（0a）的一条准线与抛物线xy62的准线重合，则该双曲线的离心

率为（）

A.

2

3

B.

2

3

C.

2

6

D.

3

32

解：抛物线xy62的准线是

2

3

x，即双曲线的右准线

2

3122







c

c

c

a

x，则02322cc，

解得2c，3a，

3

32



a

c

e，故选

D

变式练习

1

：若椭圆经过原点，且焦点为0,1

1

F

、0,3

2

F

，则其离心率为（）

A.

4

3

B.

3

2

C.

2

1

D.

4

1

解：由0,1

1

F

、0,3

2

F

知132c，∴1c，又∵椭圆过原点，∴1ca，3ca，∴2a，

1c，所以离心率

2

1



a

c

e.

故选

C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）

A.

2

3

B.

2

6

C.

2

3

D2

解：由题设2a，62c，则3c，

2

3



a

c

e，因此选C

变式练习

3

：点

P

（

-3

，

1

）在椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ba）的左准线上，过点P且方向为5,2a的

光线，经直线

2y

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

A

3

3

B

3

1

C

2

2

D

2

1

解：由题意知，入射光线为3

2

5

1xy，关于2y的反射光线（对称关系）为0525yx，

则















055

3

2

c

c

a

解得

3a

，1c，则

3

3



a

c

e，故选A

二、构造

a

、

c

的齐次式，解出

e

根据题设条件，借助

a

、b、

c

之间的关系，构造

a

、

c

的关系（特别是齐二次式），进而得到关于

e

的

一元方程，从而解得离心率

e

。

离心率的五种求法

第2页共10页

例

2

：已知

1

F

、

2

F

是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

（

0,0ba

）的两焦点，以线段

21

FF

为边作正三角形

21

FMF

，

若边

1

MF

的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.324B.13C.

2

13

D.13

解：如图，设

1

MF

的中点为P，则P的横坐标为

2

c

，由焦半径公式

aexPF

p



1

，

即

a

c

a

c

c















2

，得022

2





























a

c

a

c

，解得

31

a

c

e（31舍去），故选

D

变式练习1：设双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

（ba0）的半焦距为

c

，直线L过0,a，b,0两点.已知原点到

直线的距离为c

4

3

，则双曲线的离心率为()

A.2B.3C.2D.

3

32

解：由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得c

ba

ab

4

3

22





，

又222bac,∴234cab,两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，

得42e或

3

4

2e，又ba0，∴21

2

2

2

22

2

2

2





a

b

a

ba

a

c

e，∴42e，∴2e，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为

1

F、

2

F，0

21

120MFF，则双曲线的离心率

为（）

A3B

2

6

C

3

6

D

3

3

解：如图所示，不妨设bM,0，0,

1

cF，0,

2

cF，则

22

21

bcMFMF，又cFF2

21

，

在

21

MFF中，由余弦定理，得

21

2

21

2

2

2

1

212

cos

MFMF

FFMFMF

MFF





,

即



22

22222

2

4

2

1

bc

cbcbc





，∴

2

1

22

22







cb

cb

，

离心率的五种求法

第3页共10页

∵222acb，∴

2

1

222

2







ac

a

，∴2223ca，∴

2

3

2e，∴

2

6

e，故选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为

1

F、

2

F，过

2

F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若

21

PFF为等腰直角

三角形，则椭圆的离心率是________。

解：

12

12

1

222

22

2

2

21















cc

c

PFPF

c

a

c

a

c

e

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：设椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0,0ba）的右焦点为

1

F，右准线为

1

l，若过

1

F

且垂直于

x

轴的弦的长等于点

1

F到

1

l的距离，则椭圆的离心率是.

解：如图所示，AB是过

1

F且垂直于

x

轴的弦，∵

1

lAD于D，∴AD为

1

F到准线

1

l的距离，根据椭

圆的第二定义，

2

1

2

1

1

AD

AB

AD

AF

e

变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的

离心率为（）

A2B

2

2

C

2

1

D

4

2

解：

2

2

1

22

2

AD

AF

e

五、构建关于

e

的不等式，求

e

的取值范围

例

5

：设













4

,0



，则二次曲线1tancot22yx的离心率的取值范围为（）

A.

2

1

B.

















2

2

,

2

1

C.

















2,

2

2

D.,2

另：由

1tancot22yx，













4

,0



，得tan2a，cot2b,

∴cottan222bac,∴





2

2

2

2cot1

tan

cottan







a

c

e

∵













4

,0



，∴1cot2,∴22e，∴2e，故选D

离心率的五种求法

第4页共10页

例6：如图，已知梯形ABCD中，CDAB2，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、

E三点，且以A、B为焦点．当

4

3

3

2

时，求双曲线离心率e的取值范围。

解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为

x

轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy，则yCD轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线

的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记0,cA，











h

c

C,

2

，

00

,yxE，

其中ABc

2

1

为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

由定比分点坐标公式得























12

2

1

2

0

c

c

c

x，









10

h

y，设双曲线的方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

，则离

心率

a

c

e，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得1

42

2

2

2



b

h

a

c

①

将点E的坐标代入双曲线方程得1

11

2

4

2

2

2

2

2

2











































b

h

a

c

②

再将

a

c

e①、②得1

42

22



b

he

，∴1

4

2

2

2



e

b

h

③

1

11

2

4

2

2

2

2

2











































b

he

④

将③式代入④式，整理得2144

4

2



e

，∴

2

3

1

2



e

，由题设

4

3

3

2

得：

4

3

2

3

1

3

2

2







e

，解得

107e

，所以双曲线的离心率的取值范围为10,7

离心率的五种求法

第5页共10页

配套练习

1.设双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0,0ba）的离心率为

3

，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，

则此双曲线的方程为（）

A.1

2412

22



yx

B.1

9648

22



yx

C.1

3

2

3

22



yx

D.1

63

22



yx

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）

A．

3

1

B．

3

3

C．

2

1

D．

2

3

3．已知双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的一条渐近线方程为xy

3

4

，则双曲线的离心率为（）

A

3

5

B

3

4

C

4

5

D

2

3

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

A2B

2

2

C

2

1

D

4

2

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为

2

1

，则该双曲线的离心

率为（）

A

2

2

B2C2D22

6．如图，

1

F和

2

F分别是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0,0ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

1

OF

为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF

2

是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A

3

B

5

C

2

5

D

13

7.设

1

F、

2

F分别是椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为

c3

（

c

为

半焦距）的点，且PFFF

221

，则椭圆的离心率是（）

A

2

13

B

2

1

C

2

15

D

2

2

离心率的五种求法

第6页共10页

8．设

1

F、

2

F分别是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使0

21

90AFF，且

21

3AFAF，则双曲线离心率为（）

A

2

5

B

2

10

C

2

15

D5

9．已知双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0,0ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的

右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）

A2,1B2,1C,2D,2

10．椭圆1

2

2

2

2



b

y

a

x

（0ba）的焦点为

1

F、

2

F，两条准线与

x

轴的交点分别为M、N，若

21

2FFMN，则该椭圆离心率的取值范围是（）

A．













2

1

,0B．













2

2

,0C．











1,

2

1

D．















1,

2

2

离心率的五种求法

第7页共10页

答案：1.由3,

c

a



2

1

a

c

可得

3,6,

故选D

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴2ab，椭圆的离心率

3

2

c

e

a

，选D。

3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得

224345

,

333

bc

e

aa



可得

,故选A

4.不妨设椭圆方程为

22

22

1

xy

ab

（ab0），则有

222

21

ba

c

ac

且，据此求出e＝

2

2

5.不妨设双曲线方程为

22

22

1

xy

ab

（a0，b0），则有

2221

2

2

ba

c

ac

且，据此解得e＝2，选C

6.解析：如图，

1

F和

2

F分别是双曲线)0,0(1

2

2

2

2

ba

b

r

a

x

的两个焦点，A和B是以O为圆心，以

1

FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF

2

是等边三角形，连接AF

1

，∠AF

2

F

1

=30°，|AF

1

|=c，

|AF

2

|=3c，∴2(31)ac，双曲线的离心率为31，选D。

7.由已知P（c

c

a

3,

2

），所以22

2

)3()(2cc

c

a

c化简得

2

2

0222

a

c

eca

．

8.设F

1

，F

2

分别是双曲线

22

22

1

xy

ab

的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F

1

AF

2

=90º，且|AF

1

|=3|AF

2

|，

设|AF

2

|=1，|AF

1

|=3，双曲线中

12

2||||2aAFAF，22

12

2||||10cAFAF，∴离心率

10

2

e，选B。

9.双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只

有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b

a

，∴

b

a

≥

3

，离心率

e2=

222

22

cab

aa



≥4，∴e≥2，选C

10.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的焦点为

1

F，

2

F，两条准线与

x

轴的交点分别为MN，，若

2

||2

a

MN

c

，

12

||2FFc，

12

MNFF≤，则

2

2

a

c

c

，该椭圆离心率e≥

2

2

，选D

离心率的五种求法

第8页共10页

椭圆离心率

a

c

e的求法

1.椭圆方程01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于BA,两点，直线l的倾

斜角为60°，FBAF2,求椭圆的离心率？（焦半径公式

11

exaPF，

22

exaPF的应用左加右减，

弦长公式为直线的斜率kxxkd,1

21

2）

2.椭圆方程01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足

线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的范围？（焦准距

c

b2

的应用）

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于ca,的二元二次

方程

022pcnacma

解法）

4.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴上的一个端点，线段BF的延长线交C于D,且FDBF2,则C

的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例的应用）

5.过椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左焦点F,右顶点为A,点B在椭圆上，且xBF轴，直线AB交y

轴于点P，若PBAP2，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）

6.过椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左焦点

1

F作

x

轴的垂线交椭圆于点P,

2

F为右焦点，若

60

21

PFF，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积)(

2

tan

21

2PFFbS



）

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质222cba的应用）

8.椭圆1422yx的离心率为?（椭圆基本性质222cba的应用）

9.椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的焦点为

21

,FF，两条准线与

x

轴的交点为NM,，若

21

2FFMN，

则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质222cba的应用）

10.设

21

,FF分别是椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，使线段

1

PF的

中垂线过点

2

F，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距

c

b2

；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线

离心率的五种求法

第9页共10页

段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边应用）

11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？

（通径

a

b22

，焦准距

c

a2

）

12.已知椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左右焦点分别为

21

,FF，若椭圆上存在点P使

1221

sinsinFPF

c

FPF

a

，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

，第

一定义aPFPF2

21

）

13.在平面直角坐标系中，

2121

,,,BBAA为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线

21

BA与直线FB

1

相交于

点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为？

（直线方程交点坐标）

14.在ABC中，

18

7

cos,BBCAB.若以BA,为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为？（余

弦定理Abccbacos2222，第一定义）

15.已知正方形ABCD，则以BA,为焦点，且过两点DC,的椭圆的离心率为？（通径

a

b22

）

16.已知椭圆的焦距为c2，以点O为圆心，

a

为半径作圆M。若过点

















0,

2

c

a

P作圆M的两条切线相互垂

直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）

17.已知

21

,FF分别是椭圆的左、右焦点，满足0

21

MFMF的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取

值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90°）

18.过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于BA,两点，若FBFA

2

3

，则椭圆的离心率为?（焦

半径公式，弦长公式

21

21xxk）

19.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？

20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？

21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为

21

,BB，左右焦点分别为

21

,FF，长轴右端点为A，若

0

2222

BFBFAF，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）

22.若以椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的右焦点F为圆心，

a

为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两

离心率的五种求法

第10页共10页

点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距

c

a2

）

23.已知点bA,0，B为椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C的左准线与x轴的交点，若线段的中点C在椭圆

上，则该椭圆的离心率为？

24.若斜率为

2

2

的直线l与椭圆01:

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C有两个不同的交点，且这两个交点在x轴上的

射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径

a

b22

）

25.已知BA,两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若0BFAB，则椭圆C的

离心率为？（两直线垂直，有1

21

kk）