幂函数的导数

函数与导数

06函数幂函数

一、具体目标：

1.了解幂函数的概念.

2.结合函数

1

231

2,,,,yxyxyxyxyx的图象,了解它们的变化情况.

二、知识概述：

1.幂函数的概念

(1)一般地，形如nyx的函数叫做幂函数，其中x是自变量，n是常数．

(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数

1

231

2,,,,yxyxyxyxyx的图象的比较如下．

2.幂函数的性质：

（1）恒过点(1,1)

；

（2）在第一象限当0n时nyx是增函数，当0n时nyx是减函数；

（3）幂函数的图象不经过第四项限.

3.判数函数是幂函数的依据：

幂函数()yxR＝，其中为常数，其本质特征是以幂的底

x

为自变量，指数为常数，这是判断一个

函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．

4.在0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数

中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，

至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如

果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

5.幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

【考点讲解】

(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象

限的图像下降．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个

幂函数的图像和性质是解题的关键．

1.

【2019年高考北京文数】下列函数中，在区间

（

0

，

+



）

上单调递增的是

（）

A

．

1

2yx

B

．

y=2x

C

．1

2

logyx

D

．

1

y

x



【解析】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性问题，由题意可知函数

1

2

2,logxyyx

，

1

y

x



在区间

(0,)

上单调递减，函数

1

2yx在区间

(0,)

上单调递增

.

故选

A.

【答案】

A

2.【2018优选题】函数()952411＝－－mmfxmmx是幂函数，对任意的x

1

，x

2

∈(0，+∞)，且x

1

≠x

2

，满

足

f（x

1

）－f（x

2

）

x

1

－x

2

>0，若a，b∈R，且a＋b>0，ab<0，则f(a)＋f(b)的值()

A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断

【解析】由题意可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增．∵()952411＝－－mmfxmmx是幂函数，

∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，4m9－m5＋1＝4×29－25＋1＝2017，f(x)＝x2017

在(0，＋∞)上为增函数，符合题意；当m＝－1时，4m9－m5＋1＝4×(－1)9－(－1)5＋1＝－2,f(x)＝x-2在

(0，＋∞)上为减函数，不符合题意．∴f(x)＝x2017，该函数为R上的奇函数，且为R上的增函数．∵a＋b>0，

∴a>－b，∴f(a)>f(－b)＝－f(b)，即f(a)＋f(b)>0.故选A.

【答案】A

3.【2018优选题】在同一平面直角坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋

1

a

的图像可能是()

【真题分析】

【解析】当a＞0时，函数y＝xa在第一象限单调递增，直线y＝ax＋

1

a

经过第一、二、三象限，无选项符合

题意；当a＜0时，函数y＝xa在第一象限单调递减，直线y＝ax＋

1

a

经过第二、三、四象限，选项B符合题

意．故选B.

【答案】B

4.【2016全国Ⅲ】已知a＝

4

32，b＝

2

33，c＝

1

325，则()

A．b

【解析】∵b＝

2

33＝4

33，c＝

1

325＝

2

35＝4

35，a＝

4

32，且函数y＝

4

3x在区间(0，＋∞)上单调递增，

5>2>3，∴4

35>

4

32>4

33，∴b

【答案】A

5.【2019优选题】幂函数f(x)的图像经过点(4，2)，若0

A．f(a)









1

a









1

b

B．f









1

a









1

b

C．f(a)









1

b









1

a

D．f









1

a









1

b

【解析】设幂函数的解析式为f(x)＝xα，由f(x)的图像经过点(4，2)，得4α＝2，解得α＝

1

2

，即f(x)＝

1

2x.

∵f(x)＝

1

2x在(0，＋∞)上是增函数，且0

1

b

<

1

a

，∴f(a)









1

b









1

a

.

【答案】C

6.【2018上海卷7】已知













3,2,1,

2

1

,

2

1

,1,2，若幂函数xxf)(为奇函数，且在0（，）上递减，

则α=_____

【解析】本题考点是幂函数与奇函数的综合应用，由题意可知幂函数要满足两个条件，一个条件就是奇函

数，此时3,1,1，另一个条件是在区间0（，）上递减，此时1，所以答案是-1.

【答案】1

7.【2014上海,理9】若2

1

3

2

)(xxxf，则满足0)(xf的

x

取值范围是.

【解析】根据幂函数的性质，由于

12

23

，所以当01x时

2

1

3

2xx，当1x时，

2

1

3

2xx，因此()0fx

的解集为(0,1).

【答案】(0,1)

8.【2019优选题】幂函数1222)33)(mmxmmxf（在区间,0上是增函数，则m．

【解析】若幂函数1222)33)(mmxmmxf（在区间,0上是增函数，则由2331mm，解得：

2m或1m，2m时，fxx，是增函数，1m时，1fx，是常函数，故答案为2．

【答案】2

9.【2017优选题】幂函数1

2

223fxxx的单调递增区间是______________．

【解析】本题考点是幂函数型的复合函数的单调区间的考查.由题意可知函数1

2

223fxxx是由

外函数幂函数与内函数二次函数复合而成，要遵循同增异减的原则，因为外函数是单调递减函数，所以就

要求内函数的减区间，并且要保证内函数作为底数是正数.即，令322xxxg，在13，内的

减区间为11，，所以原函数的增区间为11，.

【答案】1,1

10.已知:p函数2lg1yaxax的定义域为R，:q函数223aayx在0,x上是减函数，若

“pq”为真，“pq”为假，试求实数

a

的取值范围．

【解析】若p为真，则210axax在R上恒成立，

当0a时，10，显然成立，

当0a时，

2

0

40

a

aa











，∴04a，

综上，04a；

若q为真，则2230aa，解有：13a，

由题知：pq、中应一真一假，

∴

04

13

a

aa











或

或

04

13

aa

a











或

，

∴3410aa或，

故：

a

的取值范围是1,03,4U．

1.【2016高考新课标Ⅲ文理】已知

4

32a，

2

54b，

1

325c，则（）



【解析】本题考点是幂函数的图象与性质．

因为

422

335244ab，

122

3332554ca，所以bac，故选A．

【答案】A

2.【2014年.浙江卷.文8】在同一坐标系中，函数)0()(xxxfa，xxg

a

log)(的图象可能是（）

【解析】本题考点是幂函数与对数函数的图象判断，由题意可知对于选项A，没有幂函数的图象，不符合题

目要求；选项B,)0()(xxxfa中1a，xxg

a

log)(中10a，不符合题意；

选项C，)0()(xxxfa中10a，xxg

a

log)(中1a，不符合题意；选项D，)0()(xxxfa中

10a，xxg

a

log)(中10a，符合题意；故选D.

【答案】D

3.已知幂函数xkxf的图象过点

















2

2

2

1

，

，则k等于()

A.

1

2

B.1C.

3

2

D.2

【模拟考场】

【解析】本题考点是幂函数的定义.由幂函数的定义知1k.又

12

()

22

f，所以

12

()

22

，解得

1

2

a，

从而

3

2

k.

【答案】C

4.已知xcxbaln,,

3

1

3

3















，当2x时，cba,,的大小关系为（）



【解析】本题考点是比较大小，利用指、对、幂函数求值中的特殊值1来比较.

取ex，则1

3

1

3

1

















e

e

a，13eb，1lne.所以bca.故选B.

【答案】B

5.当,1x时，下列函数中图象全在直线xy下方的增函数是（）

A.2

1xyB.2xyC.3xyD.1xy

【解析】当,1x时，下列函数中图象全在直线xy下方的意义就是，对任意,1x，函

数值都小于xy的函数值，因此有012

1

2

1

2

1













xxxx，01211xxxx，

012xxxx，0113xxxxx，所以当,1x时，下列函数中图象

全在直线xy下方的函数有2

1xy和1xy，而函数2

1xy是单调递增函数，函数1xy是单

调递减函数，所以答案是A.

【答案】A

6.已知函数1

2fxx，则（）

A.

0

xR，使得0fxB.0,,0xfx

C.

12

,0,xx，使得



12

12

0

fxfx

xx







D.

12

0,,0,xx使得

12

fxfx

【解析】fxx，函数的定义域为0,，函数的值域为0,，并且函数是单调递增函数，

这样A不成立，C根据单调性可知也不成立，D.应改为

12

fxfx，故选B.

【答案】B

7.已知实数m，n∈{1，2，3，4}，若m≠n，则函数()||

n

mfxmnx为幂函数且为偶函数的概率为()

A.

1

2

B.

1

4

C.

1

6

D.

2

3

【解析】函数()||

n

mfxmnx为幂函数且为偶函数，则|m－n|＝1，且n为偶数，∴(m，n)的可能情况有

(1，2)，(3，2)，(3，4)．又实数m，n∈{1，2，3，4}，∴(m，n)的所有可能情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，

(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况．

∴函数()||

n

mfxmnx为幂函数且为偶函数的概率为

3

12

＝

1

4

.故选B.

【答案】B

8．【2015山东】设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()

A．a

【解析】∵函数y＝0.6x为R上的减函数，∴a＝0.60.6>b＝0.61.5.

∵y＝x0.6在(0，＋∞)上为增函数，∴a＝0.60.6

【答案】C

9.如图6－10是幂函数y＝xn在第一象限内的图像，已知n取

1

2

，2，－2，－

1

2

四个数，则与曲线C

1

，C

2

，C

3

，

C

4

对应的n依次为()

A．2，

1

2

，－

1

2

，－2B．－2，－

1

2

，

1

2

，2C．－

1

2

，－2，2，

1

2

D．2，

1

2

，－2，－

1

2

【解析】根据幂函数的图像与性质，在直线x＝1右侧，幂函数的指数由下向上逐渐增大，∴与曲线C

1

，C

2

，

C

3

，C

4

对应的n依次为2，

1

2

，－

1

2

，－2.

【答案】A

10.已知p：幂函数21mymmx在0,上单调递增；:21qm，则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由题意，命题:p幂函数21mymmx在0,上单调递增，则

211

{,2

0

mm

m

m







，

又:2112113qmmm，故p是q的充分不必要条件，选A.

【答案】A

11.已知幂函数2223()(22)mmfxnnx,2mNm为奇函数，且在0,上是减函数，则

()fx．

【解析】由函数为幂函数得，012122

22nnnn,，解得n=1．因为函数在0,上是减函数，

所以032

2mm，解得31m．又因2mNm,,所以2m,所以

3xxf)(．同时满足函数

为奇函数，所以

3xxf)(.

【答案】

3xxf)(

12.若f(x)＝

21

32－

xx，则满足f(x)<0的x的取值范围是________．

【解析】f(x)＝

21

32－

xx<0，即

2

3x<

1

2

x.作出函数

2

3＝yx

和

1

2＝

yx的图像如图所示．

由图像可知，当0

1

2＝

yx的图像在函数

2

3＝yx

的图像的上方，∴当0

2

3x<

1

2

x，

即f(x)＝

21

32－

xx<0，∴x的取值范围为(0，1)．

【答案】(0，1)

13.给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；

③已知函数(1)yfx的定义域为[1,2]，则函数(2)yfx的定义域为[2,3]；

④定义在R上的函数()fx对任意两个不等实数a、b，总有

()()

0

fafb

ab







成立，则()fx在R上是增函数；

⑤

1

()fx

x

的单调减区间是(,0)(0,)U；正确的有．

【解析】①xy，当0x时，0y，所以不过第四象限，故正确；②奇函数当原点处没定义时，不过

原点，例如

x

y

1

，故错误；③1xf的定义域是2,1，所以3,21x，即xfy的定义域是3,2，

那么3,22x时，















2

3

,1x，所以xfy2的定义域是













2

3

1，，故错误；④对

ba时，bfaf，

所以是()fx在R上是增函数，故正确；⑤

x

y

1

在定义域内并不单调，应改为单调减区间是0-，和

，0，故错误．

【答案】①④

14.已知幂函数

1

2()fxx，若f(a＋1)

【解析】∵幂函数

1

2()fxx的定义域为{x|x>0}，在(0，＋∞)上单调递减，

∴若f(a＋1)









a＋1>0，

10－2a>0，

a＋1>10－2a，

解得3

【答案】(3，5)

15.设幂函数),()1()(QkRaxaxfk的图像过点)2,2(．

（1）求ak,的值；

（2）若函数()()2()1hxfxbfxb在]2,0[上的最大值为3，求实数b的值．

【解析】（1）211aa；kxxf)(过点)2,2(，则22)2(kk.

（2）由（1）知2)(xxf，则1)(12)(222bbbxbbxxxh.

当0b时，)(xh在]2,0[单调递减，

231)0()(

max

bbhxh；

当20b时，

（舍）或1-231)()(2

max

bbbbhxh

当2b时，)(xh在]2,0[单调递增，

)(2333)2()(

max

舍bbhxh

综上，b的值为2．

16.已知幂函数22

421mmfxmx在0,上单调递增，函数2xgxk．

（1）求

m

的值；

（2）当1,2x时，记,fxgx的值域分别为集合,AB，若ABAU，求实数k的取值范围．

【解析】（1）依题意得：211m，解得0m或2m

当2m时，2fxx在0,上单调递减，与题设矛盾，舍去．

∴0m．

（2）由（1）可知2fxx，当1,2x时，,fxgx单调递增，

∴1,2,2,4ABkk，

∵ABAU，

∴BA，∴

21

01

44

k

k

k













．故实数k的取值范围是0,1．