曲线的法线

习题二

（A）

1、求曲线3xy在8x处的切线方程和法线方程。

解：

22)(f

，3

2

3

1



x)x(f，

12

1

8

3

1

83

2



)(f，切线斜率

12

1

k

，切

线方程为

)x(y8

12

1

2

，即

01612yx

；法线斜率12

1

k，法线方程为

)x(y8122

，即

09812yx

。

3、当x取何值时，曲线2xy和3xy的切线平行？

解：设2x)x(fy，3x)x(gy，

x)x(f2



，23x)x(g



，两切线

平行，所以232xx，解得0x，

3

2

x

。

4、设

)x(f

可导，求下列极限：

（1）

x

)xx(f)xx(f

lim

x



0

；

解：

x

)xx(f)xx(f

lim

x



0



x

)x(f)xx(f)x(f)xx(f

l

x





0

x

)x(f)xx(f

lim

x





0x

)x(f)xx(f

lim

x





0

)x(f)x(f)x(f











2。

5、设函数













01

01

x,x

x,x

)x(f，讨论该函数在

0x

处是否连续、是否可

导？若可

导，则求出)(f0



。

解：因为)(f)x(lim)(f

x

01100

0





，所以)x(f在0x处左连续；

)(f)x(lim)(f

x

01100

0





，所以)x(f在0x处右连续；则函数)x(f在

0x处连续。因为坐导数

x

)(f)x(f

lim)(f

x











00

0

0

1

11

0









x

x

lim

x

；

而右导数

x

)(f)x(f

lim)(f

x











00

0

0

1

11

0









x

x

lim

x

；)(f)(f00









，所以函

数

)x(f

在0x处不可导。

7、设函数

















00

0

1

x,

x,

x

sinx

)x(f，证明该函数在

0x

处连续、但在

0x

处不可导。

证：因为

)(f

x

sinxlim)x(flim

xx

00

1

00





（因为11

x

sin有界，而

0

0





xlim

x

无穷小量），所以

)x(f

在0x处连续；

x

)(f)x(f

lim

x





00

0x

x

sinx

lim

x











0

1

0x

sinlim

x





1

0

不存在，所以

)x(f

在

0x

处不可导。

8、计算下列函数的导数：

（1）54

1

2

x

x)x(f

；解：)

x

(

x

)x(f

2

1

2

1

2



2

11

x

x

。

（3）3

4

5x)x(f；解：24

5

x)x(f，1

24

5

24

5



x)x(f24

19

24

5x。

（4）

12



x

x

)x(f

；解：

22

2

1

21

)x(

xxx

)x(f









22

2

1

1

)x(

x





。

（6）

xcotxxtan)x(f

；解：xcscxxcotxc)x(f22



。

（7）

xln

xln

)x(f







1

1

；解：

21

1

1

1

1

)xln(

)xln(

x

)xln(

x

)x(f









21

2

)xln(x

。

（8）nxcosxsinyn：解：nxsinnxsinnxcosxcosxsinnynn

1

)nxsinxsinnxcosx(cosxsinnn1x)ncos(xsinnn11。

（9）xlnxsinxy；

解：

x

xsinxxlnxcosxxlnxsiny

1





xsinxlnxcosxxlnxsin。

（10）321xcoty；

解:)x(xcscy





3232211)x()x(xcsc





2

3

2

232211

3

1

1

x)x(xcsc21

3

1

13

2

2322

322

3

22

1

13

2

xcsc

)x(

x







。

（12）3222)ax(xy

；解：

xaxx)ax(xy2

2

3

2222322



2232232axx)ax(x222225ax)ax(x

。

9、计算下列函数的导数：

（1）

yxysin

，求

dx

dy

；

解：方程两端对x求导，

dx

dy

)

dx

dy

xy(xycos

，解得

xycosx

xycosy

dx

dy





1

。

（2）yarctanyx，求

dx

dy

；解：方程两端对x求导，

dx

dy

y

dx

dy

21

1

1



，

dx

dy

)

y

(

21

1

11



，

dx

dy

y

y

2

2

1

2

1







，得

2

1

2

2







y

y

dx

dy

。

（3）

)yxcos(xsiny

，求

dx

dy

；解：方程两端对x求导，

)

dx

dy

)(yxsin(xcosyxsin

dx

dy

1

，

xsin)yxsin(

)yxsin(xcosy

dx

dy





。

（4）083332xyyxx，求

0xdx

dy

；解：方程两端对x求导，

0333322

dx

dy

xy

dx

dy

yx

，解得

xy

yx

dx

dy

33

323

2



，当0x时，2y，

代入

0xdx

dy

4

1

23

233

2









。

（5）x

xxxxxy，求

dx

dy

；

解：令xxy，xlnxyln，两端对x求导，1



xln

y

y

，

)x(lnx)x(lnyyx11



，即)x(lnx)x(xx1



；令x

xxy，xlnxylnx，

两端对x求导，

x

xxln)x(lnx

y

y

xx

1

1



11xxxxln)x(lnx，

11





xxxxxln)x(lnxy)x(yx11xxxxxln)x(lnxxx，则

dx

dy1111xxxxxxln)x(lnxx)x(lnxx。

（6）x)

x

x

(y





1

，求

dx

dy

；

解：

)

x

x

ln(xyln





1xln)xln(x1，两端对x求导，

1

1

11

1

1

1

















x

x

x

x

ln)

xx

(xxln)xln(

y

y

，

)

x

x

x

x

(lnyy

dx

dy

1

1

1















)

xx

x

(ln)

x

x

(x

1

111









。

（7）











tcosax

tsinay

3

3

，求

dx

dy

；解：

ttan

)tsin(tcosa

tcostsina

dt

dx

dt

dy

dx

dy







2

2

3

3

。

（9）











tcosatx

tsinaty

，求

dx

dy

；解：

tsinttcos

tcosttsin

tsinattcosa

tcosattsina

dt

dx

dt

dy

dx

dy













。

10、设)(xf可导，且)x(cosf)x(sinfy22，求

4



xdx

dy

。

解：

)xsin(xcos)x(cosfxcosxsin)x(sinf

dx

dy









2222

)x(cosf)x(sinfxsin222







，

4



xdx

dy0

444

222













)(cosf)(sinfsin

。

11、求下列函数的导数：

（2）设321)x()x(f，求

2

2

dx

yd

；解：

2

1

2

2

1

21321

2

3

)x(x)x()x(

dx

dy



，

)x()x(x)x(

dx

yd

21

2

1

3132

1

2

2

1

2

2

2



2

1

22

2

1

21313)x(x)x(

2

2

1

123

x

)x(







。

（5）设函数

6

1

2



xx

)x(f

，求)x(f)n(。

解：

6

1

2



xx

)x(f

)x)(x(23

1



)

xx

(

2

1

3

1

5

1









，由公式

)n()

ax

(



1

1

1







n

n

)ax(

!n)(

，则)x(f)n(

112

1

3

1

5

1













n

n

n

n

)x(

!n)(

)x(

!n)(



112

1

3

1

5

1











nn

n

)x()x(

!n)(

。

12、证明：函数xxeey满足方程

0

4

1

2

1









yyyx

。

证：xxe

x

e

x

y



2

1

2

1

，xxxxe

x

e

x

e

x

e

x

y







4

1

44

1

4

2

3

2

3

，

yyyx

4

1

2

1









)e

x

e

x

e

x

e

x

(xxxxx





4

1

44

1

4

2

3

2

3

)e

x

e

x

(xx

2

1

2

1

2

1

)ee(xx

4

1

xxxxee

x

ee

x







4

1

44

1

4

2

1

2

1

xxe

x

e

x



4

1

4

1

0

4

1

4

1

xxee

。

14、求下列函数的微分：

（1）

1

1

2

2







x

x

y，求

yd

；解：

22

2222

1

1111

)x(

)x)(x(d)x)(x(d

dy







22

22

1

1212

)x(

)x(xdx)x(xdx





dx

)x(

x

221

4



。

（2）

xsin

xsin

lny







1

1

，求yd；解：)xsinln()xsinln(y11

2

1

，



xsin

)xsin(d

xsin

)xsin(d

dy













1

1

1

1

2

1

xsin

xdxcos

xsin

xdxcos











112

1

dx)

xsinxsin

(

xcos









1

1

1

1

2xcos

dx

dx)

xsinxsin

(

xcos











1

1

1

1

2

。

（4）523322yyxyx，求

yd

；解：方程两端微分，

03263222dyydyxydydxyxdx，解得

dx

yxy

yx

dy

2

2

362

32







。

（5）

xyxysin

，求

yd

；解：方程两端微分，

)xy(d)xy(xydcos

，

xdyydx)xdyydx(xycos

，解得dx

x

y

dx

xycosxx

yxycosy

dy





。

（6）yxey，求

yd

；解：方程两端微分，dyxedxedyyy，解得

y

y

xe

dxe

dy





1

。

15、计算下列函数在指定点处的微分值：

（2）2

xey，1

0

x，



，求

yd

。

解：dxxedyx

22，1

0

x，



代入，

020

。

（B）

7、证明：曲线2

1

2

1

2

1

ayx上任意一点上的切线在两坐标轴的解距之和等

于a。

证：设曲线上任意一点)y,x(

00

，则2

1

2

1

0

2

1

0

ayx

，方程两端对x求导，

0

22

1







y

y

x

，

x

y

y



，在点)y,x(

00

处的切线斜率为

0

0

x

y

k，切线方程为

)xx(

x

y

yy

0

0

0

0

，令0x，得y轴上的截距

00000

0

0yyxyx

x

y

y

0000

ya)yx(y，令0y，得x轴上

的截距

000

xyxx

0000

xa)yx(x，二截距之和为

00

xayaaaa)xy(a

00

。

8、证明可导的偶函数的导数是奇函数，可导的奇函数的导数是偶函数。

证：

)(xf

为偶函数，

)()(xfxf

，两端对x求导，

)()(xfxf









，即

)()(xfxf







，

)(xf



为奇函数；

)(xf

为奇函数，

)()(xfxf

，两端对x求

导，

)()(xfxf









，即

)()(xfxf







，

)(xf



为偶函数。