极限点

实变函数-集合与点集

集合

递减集合列

递增集合列

上极限集

下极限集

集合语⾔的相互转化

任意:交集

存在：并集

映射

单射：

⼀对⼀

满射：

每个元素都有对应的像

对等：

若存在⼀个A->B的映射，可以把A，B中所有的元素⼀⼀联系起来，则称为A~B（A,B对等）

证明集合对等:

若X与Y的某个真⼦集对等，Y与X的某个真⼦集对等则X～Y

基数：

若A~B则A和B基数相等，⾃然数集的基数为N

0

，(0,1]的基数为N

1

记为c=2

N

0

⼀些常见的对偶集:

N~{y:y=2n}y=2*x

N*N~Nf(i,j)=2

i-1

(2*j-1)

N~Z

可列集：

⾃然数集的基数为N

0

，与⾃然数集对等的集合称作可列集

在众多的⽆限集中，最⼩的基数是N

0

可数集：

可列集和有限集统称可数集

集合在映射下的分解：

对于集合X，Y

X=x1∪x2

Y=y1∪y2

若存在单射fX->Y,gY->X

则有f(x1)=y1g(y2)=x2

点集的直径:diam(E)=sup(|x-y|),若diam(E)<正⽆穷，则称为有界集，

极限点：对于集合E，若存在E中的互异点列{x

k

}若lim

k->∞

|x

k

-x|=0,x是E中的极限点，极限点集⼀般写为E'

孤⽴点：若x属于E，且x不是E中的极限点，则x为E的孤⽴点

R

n

中任意有界⽆限集⾄少有⼀个孤⽴点

闭集：设E⊂R

n

且E包含E中的所有极限点，则称为闭集

有限个闭集的并任是闭集

闭集族的交集为闭集

闭集套定理

若集列F为飞空有界，单调递减的闭集列

那么他的下极限不为空集