函数的驻点

【20211009】【数学基础】极值点、驻点、拐点的区别和联

系

⼀、极值点

1.定义

极⼤值和极⼩值统称为极值点。

极值点是函数的某段⼦区间内极⼤值或者极⼩值的横坐标。

极值点出现在函数的驻点（导数为0）或不可导点处（导函数不存在）。

（参考：）

2.判别⽅法

（1）若f(x0)处可导

第⼀判别法：若f(x0)处的⼀阶导数，且x0左边的区间内导数>0，x0右边的区间内导数<0，那么x0为极⼤值。

第⼆判别法：若f(x0)存在⼆阶导数，且f(x0)处的⼀阶导数为0，⼆阶导数<0，则x0为极⼤值。

（2）若f(x0)处不可导

此时，需要⽤定义判断。

（参考：）

⼆、驻点

函数的⼀阶导数为0的点叫做驻点（驻点也称稳定点、临界点）。对于多元函数，驻点是所有⼀阶偏导数都为0的点。

三、拐点

拐点⼜称反曲点，指改变曲线⽅向的点（既包括横坐标，⼜包括纵坐标）。

直观的说，拐点是连续曲线凹弧和凸弧的分界点。

四、三者的区别

1.定义不同

2.性质不同

（1）驻点：⼀阶导数为0，可能改变函数的单调性；

（2）拐点：函数的凹凸性可能改变。

3.特征不同

（1）极值点不⼀定是驻点。如y=|x|，该函数在x=0处不可导，所以不是驻点，但是极⼩值点；

（2）驻点也不⼀定是极值点。如y=x^3，在x=0处导数为0，是驻点，但没有极值点；

（3）函数在拐点有⼆阶导数，则⼆阶导数在拐点处异号或不存在；

（4）极值点和驻点和函数的⼀阶导数有关，拐点和函数的⼆阶导数和三阶导数有关。

（参考：）