切线方程和法线方程

曲面的切平面与法线方程

设中曲面Σ的方程为F(x,y,z)=0，函数F(x,y,z)在曲面Σ上点处可微，且

，过点任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ。设其方程为，

且对应于点；不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有及

。该方程表示了曲面上任意一条过点的曲线在该点的切线都

与向量垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个平面就称为曲面Σ在点处的切平面.点称为切点.

向量称为曲面Σ在点处的一个法向量。记为。

基本方法：

1、设点在曲面F(x,y,z)=0上，而F(x,y,z)在点处存在连续偏导数，且三个偏导数不同时为零，

则曲面F(x,y,z)=0在点处的切平面方程为

.

法线方程为

.

2、设点在曲面z=f(x,y)上，且z=f(x,y)在点M

0

(x

0

,y

0

)处存在连续偏导数，则该曲面在点

处的切平面方程为

.

过X

0

的法线方程为

.

注：方法2实际上是方法1中取的情形.

3、若曲面∑由参数方程

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)

给出，∑上的点与uv平面上的点（u

0

,v

0

）对应，而x(u,v),y(u,v),z(u,v)在（u

0

,v

0

）处可微.曲面∑在点

X

0

处的切平面方程及法线方程分别为

和

三、答疑解惑

问题：曲面∑的参数方程为x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)，∑上的点与u,v平面上的点（u

0

,v

0

）对

应，怎样确定∑在点X

0

处的法向量？

注释：设x(u,v),y(u,v),z(u,v)在（u

0

,v

0

）处可微，考虑在∑上过点X

0

的两条曲线.

Γ

1

：x=x(u,v

0

),y=y(u,v

0

),z=z(u,v

0

);

Γ

2

：x=x(u

0

,v),y=y(u

0

,v),z=z(u

0

,v).

它们在点X

0

处的切向量分别为

当时，得∑在点X

0

处的法向量为

则∑在点X

0

处的法向量为

.

四、典型例题

例1求椭球面x2+2y2+3z2=6在（1,1,1）处的切平面方程与法线方程.

解设F(x,y,z)=x2+2y2+3z2－6，由于在全平面上处处连续，在（1,1,1）处

，椭球面在点(1,1,1)处的法向量为(2,4,6).则所求切平面方程为

，

即x+2y+3z=6.

所求法线方程为，

即.

例2求曲面平行于z=2x+2y的切平面方程.

解设切点为.曲面，因此.

则曲面在处的法向量为.

曲面在点X

0

处的切平面方程为

又切平面与已知平面z=2x+2y平行，因此

解得切点坐标为，

所求切平面方程为

，

即.

例3求曲面在点处的切平面方程

和法线方程.

解点对应曲面上的点其中

.

则曲面在点处的法向量为.

所求曲面在点X

0

处的切平面方程为

即.

所求的法线方程为

即.

例4求过直线，且与曲面相切之切平面方程.

解过直线的平面方程可设为

，

即，

其法向量为.

记，则

设所求的切平面的切点为，则曲面上处的法向量为.

且有

由(1)、(3)解得

,

代入(2)得

.

解得t

1

=1,t

2

=3，故λ

1

=3,λ

2

=7.

则所求切平面方程为

，

或.

即6x+y+2z=5或10x+5y+6z=5.

例5试证曲面上任一点处的切平面都过原点，其中f(x)为可微函数.

证明，

.

故曲面上点处的法向量为.

则过曲面上点的切平面方程为

，

整理后得

.

注意到，从上述方程得切平面方程为

.

可知其必定过原点.