对角线相等的四边形

1

四边形专题

平行四边形

定义:在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

特点

⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）

⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

判定

1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.对角线互相平分的四边形是平行四边形

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

性质

⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

⑵如果一个四边形的对角线互相平分，

那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。

⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补

⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）

平行四边形中常用辅助线的添法

一、连结对角线或平移对角线

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形

三、连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平

行或中位线

四、连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角

形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

面积与周长

1.平行四边形的面积可以底乘高（推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，

“s平“表示平行四边形面积，

则S平=ah

2

2.平行四边形周长可以二乘（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c平

“表示平行四边形周长，

则C平=2（a+b）

周长与面积

类别

1.平行四边形属于平面图形。

2.平行四边形属于四边形。

3.平行四边形中还包括特殊的平行四边形:长方形、正方形和菱形。

菱形

菱形定义

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

性质

对角线互相垂直且平分；

四条边都相等；

对角相等，邻角互补；

每条对角线平分一组对角，

菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形

在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。

菱形具备平行四边形的一切性质。

判定

一组邻边相等的平行四边形是菱形

四边相等的四边形是菱形

关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形

对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎

样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形（对角线互

相垂直的四边形的中点四边形定为矩形），对角线相等的四边形的中点四边形定为

菱形。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行

四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平

行四边形的判定方法。

菱形面积

1.对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；

3

2.底乘高=菱形面积。

特征

顺次连接菱形各边中点为矩形

正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图

形不只是正方形。

矩形

O

D

C

B

A

矩形定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。也就是长方形。

性质

1．矩形的四个角都是直角

2．矩形的对角线相等

3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连

线）。

5．对边平行且相等

6．对角线互相平分

判定

1．有一个角是直角的平行四边形是矩形

2．对角线相等的平行四边形是矩形

3．有三个角是直角的四边形是矩形

4．四个内角都相等的四边形为矩形

5．关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形

6．对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行

四边形为矩形

7．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

8．对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形

矩形面积

S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)

S=ab(注:a为长,b为宽)

4

正方形

O

B

D

C

A

定义

四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。

有一个角为直角的菱形是正方形。

对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。

性质

边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

内角：四个角都是90°；

对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；

对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

判定方法

1：对角线相等的菱形是正方形。

2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。

3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

7.有一个角为直角的菱形是正方形。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎

样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。

面积计算公式：S=a×a

或：S=对角线×对角线÷2

周长计算公式:C=4a

5

梯形

梯形定义

梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底

边，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰

垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。

等腰梯形的性质

1．等腰梯形的两条腰相等

2．等腰梯形在同一底上的两个底角相等

3．等腰梯形的两条对角线相等

4．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线

5．等腰梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之

一

判定

1．一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形

2．两腰相等的梯形是等腰梯形

3．同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

4．有一个角是直角的梯形是直角梯形

5．对角线相等的梯形是等腰梯形．

周长、面积

梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2。

用字母表示：（a+b）×h÷2

梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰

用字母表示：a+b+c+d

常用辅助线

1．作高（一条或两条，根据实际题目确定）

2．平移一腰

3．平移对角线

4．延长两腰交于一点

5．取一腰中点，另一腰两端点连接并延长。

6

例题选讲

例1.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折

痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

例2.如图，四边形ABCD中，//ADBC，且

,6ADBCBCcm

，动点

P

、

Q

分别从

A

、

C同时出发，P以1厘米/秒的速度由A向D运动，

Q

以2厘米/秒的速度由C向B移动，

几秒钟后四边形

ABQP

成为平行四边形？

例3.如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF,

请回答下列问题：

（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形.

CB

F

D

E

A

A

BC

D

E

F

D′

7

例4.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．

（1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，

并证明你的猜想．

例5.如图，在菱形ABCD中，E为AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于F.求证：AB与EF互

相平分

例6.如图9，在直角坐标平面内，函数

x

m

y(x>0，m是常数）的图象经过A(1,4)，B(a,

b)，其中a>1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，

DC，CB．

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；

（2）求证：DC∥AB；

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

D

CF

E

B

A

H

G

图9

x

CO

D

B

A

y

8

例7.如图，在等腰梯形ABCD中，

//,,ADBCABDC

点P为BC边上一点，

,,,PEABPFCDBGCD

垂足分别为E，F，G，求证：.PEPFBG

P

G

F

E

D

CB

A

例8.已知：如图，等腰梯形ABCD的面积为100，

//,ABCDABBC

，且ACBD，

求梯形的高。

D

C

B

A

作业

一、选择题

1、下列命题中，错误的是（）

A．矩形的对角线互相平分且相等

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．等腰梯形的两条对角线相等

D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等

2、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，

OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）

(A)4cm(B)6cm

(C)8cm(D)10cm

3、如图2，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点

E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（）

（A）34（B）33（C）24（D）８

A

B

C

D

O

E

A

B

C

D

E

F

图2

9

4、在下列命题中，正确的是（）

A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是()

A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形

6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的

中点，则下列式子中一定成立的是（）

A．AC=2OEB．BC=2OE

C．AD=OED．OB=OE

7、下列命题中的假命题是()．

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

c一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

8、在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且cmAC5，BD=12c

m，则梯形中位线的长等于（）

A.7.5cmB.7cmC.6.5cmD.6cm

9、如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（）

（A）四边形ABCD是平行四边形（B）AC⊥BD

（C）△ABD是等边三角形（D）∠CAB＝∠CAD

10、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场

上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、

绿、橙、紫6种颜色的花．如果有ABEFDC∥∥，

BCGHAD∥∥，那么下列说法中错误的是（）

A．红花、绿花种植面积一定相等

B．紫花、橙花种植面积一定相等

C．红花、蓝花种植面积一定相等

D．蓝花、黄花种植面积一定相等

11、如图（1），在平面四边形ABCD中，CEAB⊥，E为垂

足．如果125A∠，则BCE∠（）

Ａ．55Ｂ．35Ｃ．25Ｄ．30

12、下列命题中，真命题是（）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形

Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

13、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若150，则AEF等于（）

Ａ．115Ｂ．130

Ｃ．120Ｄ．65

黄

蓝

紫

橙

红

绿

A

G

E

D

H

C

F

B

第10题

A

B

C

D

A

E

B

C

D

图（1）

A

B

C

D

E

F

1

图1

10

A

B

C

D

E

F

O

14、．如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中一定成立的是()

A．AC⊥BDB．OA=0C

C．AC=BDD．A0=OD

二、填空题

1、四边形的内角和等于__________．360°

2、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、

AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满

足的一个条件是。

3、已知矩形ABCD，分别为AD和CD为一边向矩形外作正三角形

ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则

BF

BE

的值等于。

4、如图7，若□ABCD与□EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE＝

90°，则∠F＝°．

5、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是__

___．

6、如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形

状的四边形，请写出其中一种四边形的名称．

7、菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为。

8、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别

交AD和BC于点E、F，23ABBC，，则图中阴影部分的面积

为．

9、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点

CD，分别落在CD



，的位置上，EC



交AD于点

G．已知58EFG°，那么BEG

___________°．

10、如图，如果要使ABCD成为一个菱形，需要添

加一个条件，那么你添加的条件是

．

11、如图3，矩形ABCD中，MN∥AD，PQ∥AB，则S

1

与S

2

的

大小关系是______。

第6题图

B

图7

E

A

F

D

C

A

B

E

C

D

F

G

C



D



A

D

CB

AE

C

B

D

G

H

F

(第2题图)

11

三、解答题

1．如图6，点

EFGH，，，

分别为四边形ABCD的边

ABBCCDDA，，，

的中点，试判

断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．

2．如图所示，在□ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E，若AD＝3cm，AB＝5cm，试求

EC之长．

3．已知：如图所示，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C

处，CB

交AD

于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．

4．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，E为OB上一点，DF⊥CE于F，

交OC于G，试问OE与OG能相等吗?为什么?

AB

C

G

D

H

F

E

图6

12

5．在△ABC中，AD⊥BC于D，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，连结DE，EF，

FD，当△ABC满足条件________时，四边形AEDF是矩形．

6．如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且

交∠CBE的平分线于N．

(1)试说出DM＝MN的理由．

(2)若将上述条件中的“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，则

结论“MD＝MN”还会成立吗?试说明理由．

7.如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所

示的平行四边形．

（1）求梯形ABCD四个内角的度数；

（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的

等量关系，并说明理由；

8.如图，边长为a的菱形ABCD中，60DAB，E为AD上异于A、D两点的一动

点，F是CD上一动点，且.AECFa

（1）证明：不论EF、怎样移动，BEF总是正三角形．

（2）求出BEF的面积的最小值．

13

9．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E、F分别是AB、CD的中点

⑴在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点G恰好落在EF上，设BM与EF

相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形

⑵设P是AD上一点，∠PFB＝3∠FBC，求线段AP的长

10．已知：如图所示，在矩形ABCD平面内有一点P，且PA＝PD．求证：PB＝PC．请你

将上述条件中的“矩形ABCD”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“PB＝PC”仍

然成立，再根据改编后的题目画出图形，并说明理由．

11、用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三

角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向

旋转．

（1）当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BEEF，相交于点GH，时，如

图8甲，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论．

（2）当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点GH，时（如

8图乙），你在图8甲中得到的结论还成立吗？简要说明理由．（广东梅州）

A

E

B

MPD

F

C

N

G

A

B

GCE

H

F

D

图8甲

A

B

G

C

E

H

F

D

图8乙

14

12、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，

点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D．

(1)求点B的坐标；

(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这

时点P的坐标；

(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且

AB

BD

=

8

5

，求这时点P的坐标。（广东）

13、已知：在四边形ABCD中，AB＝1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，

且AE＝BF＝CG＝DH。设四边形EFGH的面积为S，AE＝x(0≤x≤1)。

(1)如图①，当四边形ABCD为正方形时，

<1>求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S

0

；

<2>在图②中画出<1>中函数的草图，并估计S＝0.6时x的近似值(精确到0.01)；

(2)如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A＝30°时，四边形EFGH的面积是否存在

最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。（广东佛山）

A

E

B

H

DG

C

F

(图①)

O

y

x

图②)

方格边长0.1

(图③)

AEB

H

DG

C

F