六边形面积计算公式

正多边形和圆、弧长公式及有关计算

［学习目标］

1.正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心

距、中心角。正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的

直角三角形。

2.正多边形和圆的关系定理

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心

圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。

3.边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：

（1）半径（或边心距）的比等于相似比。

（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平

方。

4.由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形

实际就是等分圆周。

（1）画正n边形的步骤：

将一个圆n等分，顺次连接各分点。

（2）用量角器等分圆

先用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆的

，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结

各分点即得此圆的内接正n边形。

5.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、

正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。

6.圆周长公式：，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆

周长与直径的比值叫做圆周率。

7.n°的圆心角所对的弧的弧长：

n表示1°的圆心角的度数，不带单位。

8.正n边形的每个内角都等于，每个外角为，等于

中心角。

二.重点、难点：

1.学习重点：

正多边形和圆关系，弧长公式及应用。

正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。

只有正五边形、正四边形对角线相等。

2.学习难点：

解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。

【典型例题】

例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）

A.B.C.D.

解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1

又∵∠FAG＝60°

故选B

点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形

的一些特殊性质。

例2.正三角形的边心距、半径和高的比是（）

A.1∶2∶3B.

C.D.

解：如图所示，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高

设，则AO＝2r，AD＝3r

∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3

故选A

点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到

顶点距离的。通过这个定理可以使问题得到解决。

例3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积之

间的大小关系是（）

A.B.

C.D.

解析：设它们的周长为，则正三角形的边长是，正四边形

的边长为，正六边形的边长为

故选B

点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则

容易得出错误结论。

例4.如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M，求证：

（1）；

（2）

点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。

证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则

∴∠BEA＝36°

（2）

又∵公共角∠ABM＝∠EBA

∴△ABM∽△EBA

例5.已知正六边形ABCDEF的半径为2cm，求这个正六边形的边

长、周长和面积。

解：∵正六边形的半径等于边长

∴正六边形的边长

正六边形的周长

正六边形的面积

点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。

例6.已知正方形的边长为2cm，求它的外接圆的外切正三角形的

边长和面积。

解：∵正方形的边长为2cm

∴正方形的外接圆半径为cm

∴外接圆的外切正三角形一边上的高为cm

∴正三角形的边长为

∴正三角形的面积为

点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径

之间的关系。

例7.如图所示，已知⊙和⊙外切于点P，⊙和⊙的半径

分别为r和3r，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求AB与两弧

所围的阴影部分的面积。

解：连结，过点作

在中，

∴梯形的面积为：

又∵

∴扇形的面积为：

扇形的面积为：

∴阴影部分的面积为：

点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，

然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。

例8.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，

则它的弧长增加___________。

解：由弧长公式，得：

当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为

∴弧长增加，故填

点拨：本题主要考查弧长公式。

例9.如图，大的半圆的弧长为a，n个小圆的半径相等，且互相外

切，其直径和等于大半圆的直径，若n个小半圆的总弧长为b，则a

与b之间的关系是（）

A.B.C.D.

解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r

由题意，得：

∴小圆的半径

∴每个小半圆的弧长为

∴n个小半圆的总弧长

即，故选A。

点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，

然后通过弧长和半径之间的关系求解。

例10.如图所示，两个同心圆被两条半径截得的的长为，

的长为，若，则图中阴影部分的面积为（）

A.B.C.D.

解：设∠O＝α，由弧长公式得：

又

∴阴影部分的面积为：

故选C

点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，

正确运用。

例11.如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之

比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时

弦AB的长度是多少？

点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB

可通过两弧长之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就

可求。

解：作OD⊥AB于D，连结OB

∵这两段弧之比为3∶7

∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7

设这两个圆心角的度数为3x，7x，则

即

∴∠DOA＝54°，又

∴AD＝Rsin54°

∵AB＝2AD

同理可得3∶7改为m∶n时，解得：

点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助

线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。

例12.已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。

点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式，需求内切圆

的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得，

代入面积公式，即可。

解：如图所示，设正六边形的边长，内切圆的圆心为O，连

结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°

例13.已知正多边形的周长为12cm，面积为，则内切圆的半

径为__________。

解：设正多边形是正n边形，圆半径为r

∵正多边形的周长是12cm

∴正多边形的边长是

又∵正多边形的面积是

故应填2cm。

点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

一.判断题。

1.各边相等的圆外切多边形是正多边形。（）

2.各边相等的圆内接多边形是正多边形。（）

3.各角相等的圆内接多边形是正多边形。（）

4.各角相等的圆外切多边形是正多边形。（）

5.一个四边形不一定有外接圆或内切圆。（）

6.矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。（）

7.三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。（）

8.依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。（）

二.填空题。

9.若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边

形。

10.两个圆的半径比为2∶1，大圆的内接正六边形与小圆的外切正

六边形的面积比为__________。

11.有一修路大队修一段圆弧形弯道，它的半径R是36m，圆弧所

对的圆心角为60°，则这段弯道长约________m（精确到0.1m，

）。

三.解答题。

12.已知半径为R的圆有一个外切正方形和内接正方形，求这两个

正方形的边长比和面积比。

13.如图，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C、D在FG

上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A、C、D的⊙O分别交AF、AG

于点B、F。

求证：五边形ABCDE是正五边形。

14.如图：三个半径的圆两两外切，求由三条

切点弧围成的阴影图形的周长。

【试题答案】

一.判断题。

1.×2.×3.√4.√

5.√6.√7.×8.√

二.填空题。

9.正五10.3∶111.37.7

三.解答题。

12.边长比，面积比2∶1

13.易求∠F＝∠G＝36°

∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°

从而，

由△AFC≌△AGD得：AC＝AD

∴ABCDE是正五边形

14.利用弧长公式，关键是求出三段弧所对圆心角的度数。

且

∴∠B＝90°，∠A＝30°，∠C＝60°

∴阴影部分周长