一尺之棰

芝诺悖论

摘要

巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始

人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一

倍的时间等于一半的时间。《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖

论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二

个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路

程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游

戏。”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，

虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的

四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。

关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性

Abstracts

Parmenides’student,Zenowascalledthefounderofdialectics

inphilosophybyAristotle,heputforwardfourtenparadoxes:

dichotomy,Akiracingwithtortoi,themovingarrowisunmoved,

scribedthat:”thefirst

paradoxisthedistanceofmovementisdividedlimitlessly;the

condisputsparticularemphasisonthetimeofmovementis

dividedinfinitely;thefourthisjustanumbersgame”inTheHistory

r,itisproved

ridiculousbyscholarsofparatedepochs,althoughZeno’s

Paradoxesareunreasonable,thereisgreatsignificancetoZeno’s

Paradoxesonphilosophy,math,andthewayofthinking.

Keywords:Zeno’sParadoxes;time;movement;limitations;unlimitedness

1.概述

1.1芝诺简介

芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学

家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

芝诺有一本著作《论自然》。在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的

著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能

决断，是否应当让它问世。”

柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5

世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，

但仪表堂堂，那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所

钟爱的了。”据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护，但是不象他的老师那样企

图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法

从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”

他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓

“芝诺悖论”。

芝诺是巴门尼德的学生。针对伊奥尼亚派的变化本原观，提出否认运动可能

性的四个论证。他的极端论点与其说是巴门尼德学说的引申，不如说是为了维护

巴门尼德所强调的真理而采取的矫枉过正的做法。柏拉图后来在《巴门尼德篇》

中说，他们的辩护策略是“以其人之道还治其人之身”：有人诘难说，如果承认

存在是不变的一，那么便会得出事物不能运动的荒谬结论；他们则反击说，如果

承认存在是变化的，那么也会得出事物不能运动的结论，并且这是与前提相矛盾

的悖论，更加荒谬。[1]

芝诺说：“我的这些论证的目的是保卫巴门尼得的那些论证，反对另一些取

笑他的人，他们企图指出许多可笑的和矛盾的结果来，说是从对于一的肯定中得

出来的。我的答复是说给那些拥护多的人听的，我有意把他们的攻击还给他们自

己，指出他们假定多存在的那些看法如果推下去，看来要比假定一存在更加可

笑。”

1.2芝诺悖论

1.2.1二分法

芝诺的这个“二分法”悖论有很多论述：如运动着的事物在达到目的地之前，

先要完成全程的二分之一；在达到二分之一处前，又要完成它的二分之一，如此

分割，乃至无穷，永远也达不到目的地。[1]又如向一个目的地进发，首先必须经

过到达目的路程的一半。然而要经过这路程的一半，结果这一半又成为目的地，

因而又必须先经过这一半的一半，如此类推,以至无穷。[2]再如在你穿过一定距

离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半。这样下去就会陷于无止境。[3]中国

也有类似于芝诺“二分法”悖论的表述，就是《庄子·天下》中所说的：“一尺

之棰，日取其半，万世不竭。”就是说，一尺长的木棍，今天取它的一半，剩下

一半，明天取它剩下一半的一半，就会剩下一半的一半，后天、大后天依次取它

剩下的一半，总是会有一半留下。这个木棍可以无限地分割下去，永远都分不完。

芝诺的这个“二分法”悖论，毫无疑问是在否认运动的可能性。

芝诺的“二分法”悖论虽然会给人正确的错觉，但是仔细分析，会发现芝诺

在辩证的过程中犯了几个错误。

对“二分法”，亚里士多德准确而简短地转述说：“你不能在有限时间内越过

无穷的点。在你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半。这样做

下去就会陷于无止境，所以，在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限

时间中一个一个接触无穷个点。”[4]剖析这一论证，我们可以发现：第一，芝诺

的“二分法”揭示了空间的连续性与点截性、可分性与不可分性的矛盾，但把空

间的点截性、可分性绝对化了而把时间仅仅看作是一个有限的、不可分的连续。

第二，芝诺的“二分法”揭示了有限和无限的矛盾，但是它使一方绝对化了。在

这个问题上芝诺犯这样几个错误：一是他在理解运动时仅仅强调了空间的无限

性，而忽略了空间的有限性。二是在同一个论证中，他强调了时间韵有限性，而

忽略了时间的无限性。而这两个性质相同，方向相反的错误相结合，使他产生了

第三个错误，把本来具有高度一致性的时间和空间绝对地对立起来，轻率地断言，

空间是无限的，而时间却是有限的。[5]

对于芝诺的“二分法”，想证明它正确与否，必须辩证地看待这个问题，其

中必须考虑它的前提条件。若不把运动看成连续性的，不把速度因素算在内，设

从A到B的这段路程100米，要想从A走到B，要先走100米的50米，再走50

米的25米，再走25米的12.5米，依次走下去，永远也不能到达B点。正如“一

尺之棰，日取其半，万世不竭”，若假设存在可以无限取这一尺之锤的工具，那

么可以得出，一尺约等于33.3333厘米，今天取其一半，还剩约等于16.66665

厘米，明天取剩下一半的一半，还剩约等于8.333325厘米，后天取剩下一半的

一半，还剩剩下约等于4.1666625厘米，如此取下去，永远也取不到尽头。但是，

对于芝诺的“二分法”，若把运动看成连续性的，同时也把速度因素算在内，路

程等于速度乘以时间，设速度为每秒一米，那么从A到B的100米路程只需100

秒就可以走完，若非要以芝诺的“二分法”来描述，那么就先走100米的50米，

需要50秒，再走50米的25米，需要25秒，再走25米的12.5米，需要12.5

秒，依次走下去，这时，需要注意的是，当最后剩下的路程小于1米的时候，那

么一步就可以走到终点。正如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，当这个“棰”

只剩下1毫米时，肉眼可能已经不能看到，当它已经不可以称之为“棰”的时候，

我们又是在取什么的一半呢？更何况当这个“棰”更小的时候，可能不会存在可

以继续把这个“棰”分割下去的工具了。

总之，芝诺的“二分法”，虽然揭示了时间、空间所固有的可分和不可分、

有限和无限、连续性和间断性等辩证矛盾，但是，他最终创裂了这些矛盾，把其

中一个侧面孤立起来，加以绝对化，否定了另一个侧面。并用主观任竟的联系，

似是而非的论证否定了运动的真实性，借以证明只是不变不动的存在才是唯一真

实的，充分基露了芝诺哲学的诡辩实质。[5]因此，芝诺的“二分法”悖论是荒谬

的。

1.2.2阿基里和乌龟赛跑

设想奥林匹克赛跑冠军阿基里和乌龟赛跑，乌龟先爬一段路程；当阿基里跑

完这段路程时，乌龟又向前爬了一段路程；当阿基里跑完这一段时，乌龟又再向

前爬了一段；一追一爬，以至无穷，阿基里永远也赶不上乌龟。这个悖论说明，

运动中的事物没有快慢之分。[1]阿基里斯是古希腊神话中的英雄，海洋女神忒提

斯的儿子，他健步如飞，能日行千里。在这里，芝诺借助推理的方法，提出了时

间和空间可以无限分割的问题。他推理的前提是：在有限的时间内要通过无穷个

点是不可能的。他的推理过程是：阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟的起

点处A，而当阿基里斯赶到A点时，乌龟已向前跑了一段路S1，到了B点；当阿

基里斯跑完S1这段路程到达B点时，乌龟又向前跑了一段路S2到达C点；当阿

基里斯赶到C点时，乌龟又向前跑了一段路S3到达D点，如此下去，虽然S2

比S1小，S3比S2小，但总是还有一段距离存在。Sn会越来越小，但由于时空

是无限可分的，所以总有比Sn更小的Sn+1存在，那么点与点的距离虽然不断缩

小，但永远不会重合。所以，阿基里斯虽然健步如飞，日行千里，但在他前面却

永远有着新的Sn+x等待着他去超越，阿基里斯永远也别想追上乌龟。[6]

在芝诺的这个悖论里，同样需要辩证地看待。当把速度因素算在这个悖论中

时，这个悖论就是完全不合理的。按照常识，我们假设乌龟的速度是0.01米每

秒，阿基里的速度是1米每秒，阿基里的速度是乌龟的100倍。这时，我们假设

从A到B有100米，阿基里从A到B需要100秒，而乌龟从A到B则需要10000

秒，就算乌龟先跑一段，以阿基里的速度同样是可以追上乌龟的。因此，虽然芝

诺的这个悖论乍一看好像是正确的，但是只要仔细辩证，就会发现芝诺的这个悖

论如此荒谬。

历史上很多哲学家都对芝诺的这个悖论进行了反驳。亚里士多德说：“在它

领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距

离的话，那么它也是可以被赶上的。”[7]黑格尔则说：“运动的意思是，在这个地

点同时又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，并且这才是使得运动可能

的条件。而芝诺在他一贯的推理里把这两个点弄得严格地相互反对了。”[4]

因此，芝诺的这个悖论看似完美无缺，但实际上却是荒谬的。

1.2.3飞矢不动

飞矢在一段时间里通过一段路程，这一段时间可被分成无数时刻；在这一个

时刻，箭矢都占据着一个位置，因此是静止不动的；就是说，它停驻在这段路程

的各个不同位置上，而不是从一个位置飞至另一个位置。[1]

飞矢不动可以表达为：一个确定的时刻对应一个确定的位置，即飞着的箭头

也就没发生位置改变(运动被定义为位置的改变)，于是“飞着的矢也不动了”。

“飞矢不动”命题实质是否定无限可分的连续结构，如果结构是连续的，无限的

可分，即使分到时刻与位置一一对应，也会出现“飞着的矢也不动了”。[8]

这个悖论在我看来问题更多，如果飞矢静止时占据着一个位置，这个当它处

于占据着一个位置的点的时候，它是静止的，又怎么可以说它是运动的呢？

黑格尔也曾说过：“它所根据的假定是时间由霎间组成，如果不承认这个假

定，就不会得出这个结论。”黑格尔指出：“当我们一般地说到运动时，我们总是

这样说，物体在这一个地点，然后走向另一个地点。由于它在运动，它已不复在

第一个地点，但是也还不在第二个地点，如果它在两个地点中的一个地点，则它

就是静止的。人们说，它是介于两个地点之间，但这并没有说明什么，因为介于

两个地点之间它还是在一个地点，因此，这里还是存在着同样的困难。但运动的

意思是说，在这个地点而同时又不在这个地点，这就是空间和时间的连续性—并

且这才是使得运动可能的条件，芝诺在他的一贯的推理里把这两点弄得严格地相

互反对了。”[4]

1.2.4一倍的时间等于一半的时间

设B、C两系列运动速度相同，A、B、C三系列的每一部分大小相同；那么，

A1A2A3A4

B1B2B3B4—→

←—C1C2C3C4

B4到达A4的时间与C1到达A1的时间相等，但B系列的运动时间是C系列运动

时间的一半（因为相对于A只移动了两格），或者说，C系列的运动时间比B系

列运动时间多一倍（因为相对于B移动了四格）。两者应该相等却有差别，固有

“一倍的时间等于一半的时间”的悖论。[1]

“第四论涉及两排东西，每排都由数目相同、体积相等的物体所组成，此两

排在一跑道中相对运动，他们前进的速度相等而方向相反；有一排居于跑道的中

点和终点之间，另一排位中点和始点之间。他认为这种情形包含如下结论：一给

定时间之半多于该时间的两倍，[7]

这个论证所讨论的是存在于相反运动中的矛盾。运动不仅具有绝对性，而且

具有相对性。“运动应该从它的反面即从静止中找到它的量度”，比较运动要有确

定的参考系，某一运动，相对于不同的参考系，会得出不同的速度，在两种以上

的运动状态中，不同的矢量关系也会有不同的运动结果，芝诺不懂这个道理，主

观随意假定参考系，并从两个不同性质的参考系中作出量度，所以，他把全部问

题搞乱了。当他说B、C在时间t内走过同样的一段距离（2a）时，是相对于静

止的参考系A说的，并抽掉了运动的矢量。可是当他说B越过C列物体的数目要

比越过A列物体的数目多一倍（4a）时,是运动着的B相对于与它矢量相反，速

度相同的运动物体C作参考系说的。如此混淆不堪,当然只能得出荒谬的结论。

其实,由于B、C是以相反的矢量、相何的速度同时运动的,因此在时间t中,B、

C互为越过的距离是B、C共同完成的。在这个时段中，B、C谁也没有真正通过

4a，而是各自运动了2a。因此，根本不能得出“一倍的时间等于一半的时间”

的结论。[9]

2.总结

很多哲学教材中都有对芝诺悖论的评价，如《西方哲学通史》中作者对芝诺

悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则

侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分

性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。”[10]《欧洲哲学通史》中也

认为：“‘二分法’和‘阿基里斯追龟’说的是，某一有限的距离可以无限分割，

‘飞矢不动’说的是运动的物体在每一个瞬间都处在一个静止的点上。‘运动场’

说的是物体的绝对运动和相对运动的矛盾。”[11]

芝诺继承了思辨的风格，首次运用悖论方法进行诘难。这些悖论在人们习以

为常的运动观念中提出连续和间断、无限和有限、整体和部分的矛盾，深化了早

期自然哲学家关于一和多、不变和变之间的讨论。[1]因此，芝诺在哲学上被亚里

士多德誉为辩证法的发明人是当之无愧的。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指

出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。

虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。

虽然芝诺悖论可以说是荒谬的，但是不可否认，芝诺悖论给人类带来了很多进步，

无论是哲学上、数学上还是思维方法上，因此，芝诺悖论中蕴含的深远意义也是

怎么也无法抹杀的。

参考文献

[1]赵敦华.西方哲学简史[M].北京大学出版社,2001.

[2]张荣国.论素质与知识能力的辨证关系[J].中青年学者论坛,2009,5.

[3]管平.知识、能力、素质与高技能人才成长模式研究[J].机械职业教育,2006,1.

[4]黑格尔.哲学史讲演录.商务印书馆,1960.

[5]陈克良.芝诺的“二分法”辫证.浙江师大学报(社会科学版),1998,2.

[6]唐平.阿基里斯追不上乌龟和飞矢不动——芝诺的悖论及其给我们的启示.

[7]亚里士多德.物理学.商务印书馆,1982.

[8]佟春燕,蒋万清.芝诺悖论.产业与科技论坛,2009.

[9]郑明鲁,陈克良.芝诺的哲学思想是人类认识发展过程中的一个重要环节.

[10]赵敦华.西方哲学通史(第一卷)古代中世纪部分[M].北京大学出版社,1996.

[11]冒从虎.欧洲哲学通史[M].南开大学出版社,1985.